Κύκλοι σε ισόπλευρο

KARKAR · #1

: Κύκλοι σε ισόπλευρο.png (19.29 KiB) Προβλήθηκε 792 φορές

Στις πλευρές BA,BC

, του πλευράς

ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , παίρνουμε σημεία P,S

αντίστοιχα , ώστε : BP=2

και

. Γράφουμε τους κύκλους (A,P,S)

, ακτίνας

και

, ακτίνας

. Βρείτε το λόγο $\dfrac{r}{R}$ των ακτίνων των δύο αυτών κύκλων .

#2

KARKAR έγραψε:Κύκλοι σε ισόπλευρο.pngΣτις πλευρές , του πλευράς ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , παίρνουμε σημεία

αντίστοιχα , ώστε : και . Γράφουμε τους κύκλους , ακτίνας

και , ακτίνας . Βρείτε το λόγο $\dfrac{r}{R}$ των ακτίνων των δύο αυτών κύκλων .

Καλημέρα Θανάση!

: Κύκλοι σε ισόπλευρο.png (18.49 KiB) Προβλήθηκε 781 φορές

Με νόμο συνημιτόνων στα τρίγωνα BPS, ABS, BPC

βρίσκω $PS=\sqrt 7, AS=PC=\sqrt{19}.$ Είναι ακόμα:

$\displaystyle{\frac{{(APS)}}{{(ABS)}} = \frac{3}{5},\frac{{(ABS)}}{{(ABC)}} = \frac{3}{5} \Rightarrow }$ $\boxed{\frac{(APS)}{(ABC)}=\frac{9}{25}}$ και ομοίως $\boxed{\frac{(CPS)}{(ABC)}=\frac{4}{25}}$ Άρα:

$\displaystyle{\dfrac{{(CPS)}}{{(APS)}} = \dfrac{4}{9} \Leftrightarrow \dfrac{{\dfrac{{2\sqrt 7 \sqrt {19} }}{{4R}}}}{{\dfrac{{3\sqrt 7 \sqrt {19} }}{{4r}}}}=\frac{4}{9} \Leftrightarrow }$ $\boxed{\frac{r}{R}=\frac{2}{3}}$

#3

Πριν γράψω κύκλους θεωρώ στη πλευρά

σημείο

με $AQ = 2 \Rightarrow QC = 3$ .

Το $\vartriangle QPS$ είναι ισόπλευρο και έστω

το μέσο του

. Στην ευθεία

ανήκουν

τα κέντρα : $O\,\,\kappa \alpha \iota \,\,K$ των κύκλων $(A,P,S)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(P,S,C)$ αντίστοιχα .

Αν M,N

τα μέσα των $AP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SC$ οι $OM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KN$ είναι μεσοκάθετες σ αυτές .

: Κύκλοι και ισόπλευρο_KARKAR.png (40.41 KiB) Προβλήθηκε 753 φορές

Επειδή $\displaystyle{\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{\omega _1}} = \widehat {{\omega _2}}}$ ( με τη βοήθεια εγγραψίμων…)

και $\widehat {MTN} = 120^\circ$ ( απλό λήμμα) θα είναι $\boxed{\widehat x = \widehat y}$ .

Από την ομοιότητα των τριγώνων $AQO\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CQK$ έχω : $\dfrac{{OA}}{{KC}} = \dfrac{{QA}}{{QC}} \Rightarrow \boxed{\dfrac{r}{R} = \dfrac{2}{3}}$

Για όποια απορία στην διάθεση σας .

#4

: Κύκλοι και ισόπλευρο αλλιώς_1o βήμα.png (29.75 KiB) Προβλήθηκε 720 φορές

a) Τα τρίγωνα $\vartriangle ASC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CPB$ είναι ίσα αφού

$AC = CB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SC = PB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {ACS} = \widehat {CBP} = 60^\circ$ , άρα $\boxed{\widehat {{a_4}} = \widehat {{a_5}}}$ που μας

εξασφαλίζει ότι τα σημεία B,S,T,P

ανήκουν στον ίδιο κύκλο , έστω κέντρου

και ακτίνας

.

: Κύκλοι και ισόπλευρο αλλιώς_2o βήμα.png (37.08 KiB) Προβλήθηκε 720 φορές

b) γράφω τώρα τον κύκλο $(O,r) \to (A,P,S)$ κι επειδή ως γνωστό

$\vartriangle ASB \approx \vartriangle OSL \Rightarrow \boxed{\frac{{AS}}{{SB}} = \frac{{OS}}{{SL}} = \frac{r}{u}}\,\,(1)$ .

: Κύκλοι και ισόπλευρο αλλιώς_3o βήμα.png (51.65 KiB) Προβλήθηκε 720 φορές

c) Γράφω ακόμα και τον κύκλο $(K,R) \to (P,S,C)$ που η

τον τέμνει

ακόμα στο

. Εδώ $\vartriangle GSB \approx \vartriangle KSL \Rightarrow \boxed{\frac{{SG}}{{SB}} = \frac{{SK}}{{SL}} = \frac{R}{u}}\,\,(2)$ .

: Κύκλοι και ισόπλευρο αλλιώς_4o βήμα.png (59.97 KiB) Προβλήθηκε 720 φορές

c) διαιρώ κατά μέλη τις $(1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2)$ κι έχω : $\boxed{\frac{{AS}}{{SG}} = \frac{r}{R}}\,\,(3)$ επειδή όμως

d) $AS = PC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle BSG \approx \vartriangle BPC\,\,(\widehat {{a_2}} = \widehat {{a_1}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat B\,\,$ κοινή) θα είναι :

$\boxed{\frac{{AS}}{{SG}} = \frac{{PC}}{{SG}} = \frac{{PB}}{{BS}} = \frac{2}{3}}$ η (3)

δίδει : $\boxed{\frac{r}{R} = \frac{2}{3}}$ .

Κύκλοι σε ισόπλευρο

Κύκλοι σε ισόπλευρο

Re: Κύκλοι σε ισόπλευρο

Re: Κύκλοι σε ισόπλευρο

Re: Κύκλοι σε ισόπλευρο

Μέλη σε σύνδεση