Κυνήγι πλευρών

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5545
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Κυνήγι πλευρών

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από george visvikis » Δευ Ιούλ 17, 2017 1:03 pm

Κυνήγι πλευρών.png
Κυνήγι πλευρών.png (8.4 KiB) Προβλήθηκε 131 φορές

Έστω I το έγκεντρο τριγώνου ABC, με BI=15. Να βρεθούν οι πλευρές a,b,c, αν γνωρίζουμε ότι αποτελούν

(με τη σειρά που δίνονται) γνησίως αύξουσα αριθμητική πρόοδο με θετικούς και ακέραιους όρους.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1043
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Κυνήγι πλευρών

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Ορέστης Λιγνός » Δευ Ιούλ 17, 2017 2:38 pm

Έστω D \equiv BI \cap AC.

Οι a,b,c είναι όροι αριθμητικής προόδου, άρα a+c=2b.

Είναι \dfrac{BI}{ID} \mathop = \limits^{\textnormal{ \gr Θεώρημα Διχοτόμου}} \dfrac{BA}{AD}=\dfrac{c}{\dfrac{bc}{a+c}}=\dfrac{a+c}{b}=2, οπότε BI=2ID, και αφού BI=15 , είναι ID=\dfrac{15}{2}, και άρα BD=BI+ID=\dfrac{45}{2}.

Όμως είναι γνωστό ότι (αποδεικνύεται εύκολα με διαδοχική εφαρμογή του Ν. Συνημιτόνων) BD=\sqrt{ac(1-\dfrac{b^2}{(a+c)^2})}.

Από την a+c=2b προκύπτει BD=\sqrt{ac(1-\dfrac{b^2}{(a+c)^2})}=\sqrt{\dfrac{3}{4}ac}.

Όμως, BD=\dfrac{45}{2} \Rightarrow \sqrt{\dfrac{3}{4}ac}=\dfrac{45}{2} \Rightarrow ac=675.

Έστω τώρα a=a, b=a+\omega,c=a+2\omega, και a(a+2\omega)=675.

Επίσης, a+b>c \Rightarrow 2a+\omega>a+2\omega \Rightarrow a>\omega (2).

Έτσι, 675=a(a+2\omega)<3a^2 \Rightarrow a>15 (3).

Ακόμη, 675=a(a+2\omega)>a^2 \Rightarrow a \leqslant 25 (4).

Επίσης, a(a+2\omega)=675 \Rightarrow a \mid 675 (5).

Από (3), (4),(5) προκύπτει ότι a=25, \omega=1 και τελικά \boxed{a=25,b=26,c=27}.


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5545
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κυνήγι πλευρών

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από george visvikis » Δευ Ιούλ 17, 2017 6:26 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε:Έστω D \equiv BI \cap AC.

Οι a,b,c είναι όροι αριθμητικής προόδου, άρα a+c=2b.

Είναι \dfrac{BI}{ID} \mathop = \limits^{\textnormal{ \gr Θεώρημα Διχοτόμου}} \dfrac{BA}{AD}=\dfrac{c}{\dfrac{bc}{a+c}}=\dfrac{a+c}{b}=2, οπότε BI=2ID, και αφού BI=15 , είναι ID=\dfrac{15}{2}, και άρα BD=BI+ID=\dfrac{45}{2}.

Όμως είναι γνωστό ότι (αποδεικνύεται εύκολα με διαδοχική εφαρμογή του Ν. Συνημιτόνων) BD=\sqrt{ac(1-\dfrac{b^2}{(a+c)^2})}.

Από την a+c=2b προκύπτει BD=\sqrt{ac(1-\dfrac{b^2}{(a+c)^2})}=\sqrt{\dfrac{3}{4}ac}.

Όμως, BD=\dfrac{45}{2} \Rightarrow \sqrt{\dfrac{3}{4}ac}=\dfrac{45}{2} \Rightarrow ac=675.

Έστω τώρα a=a, b=a+\omega,c=a+2\omega, και a(a+2\omega)=675.

Επίσης, a+b>c \Rightarrow 2a+\omega>a+2\omega \Rightarrow a>\omega (2).

Έτσι, 675=a(a+2\omega)<3a^2 \Rightarrow a>15 (3).

Ακόμη, 675=a(a+2\omega)>a^2 \Rightarrow a \leqslant 25 (4).

Επίσης, a(a+2\omega)=675 \Rightarrow a \mid 675 (5).

Από (3), (4),(5) προκύπτει ότι a=25, \omega=1 και τελικά \boxed{a=25,b=26,c=27}.


Πολύ ωραία Ορέστη :clap2:



Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης