Σελίδα 1 από 1

Τριγωνομετρία

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιούλ 17, 2017 1:15 pm
από KARKAR
Τριγωνομετρία.png
Τριγωνομετρία.png (11.94 KiB) Προβλήθηκε 687 φορές
Η χορδή BS του ημικυκλίου διαμέτρου AB , σχηματίζει γωνία \theta με τη διάμετρο ,

έχει μέσο το M και εφάπτεται του μικρότερου ημικυκλίου , διαμέτρου AKC

στο σημείο P . Αν είναι : AP \parallel KM , δείξτε ότι : \sin\theta=2\tan^2\theta .

Re: Τριγωνομετρία

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιούλ 17, 2017 5:49 pm
από george visvikis
KARKAR έγραψε:Τριγωνομετρία.pngΗ χορδή BS του ημικυκλίου διαμέτρου AB , σχηματίζει γωνία \theta με τη διάμετρο ,

έχει μέσο το M και εφάπτεται του μικρότερου ημικυκλίου , διαμέτρου AKC

στο σημείο P . Αν είναι : AP \parallel KM , δείξτε ότι : \sin\theta=2\tan^2\theta .
Έστω O το κέντρο του μεγάλου ημικυκλίου και r, R(R>r) οι ακτίνες του μικρού και του μεγάλου ημικυκλίου αντίστοιχα.
Τριγωνομετρία..png
Τριγωνομετρία..png (18.59 KiB) Προβλήθηκε 651 φορές
\displaystyle{B{O^2} - M{O^2} = M{B^2} = BC \cdot BO \Leftrightarrow {R^2} - M{O^2} = 2R(R - r) \Leftrightarrow } \boxed{M{O^2} = R(2r - R)} (1)

\displaystyle{\frac{{MO}}{r} = \frac{{BO}}{{BK}} = \frac{R}{{2R - r}} \Leftrightarrow } \boxed{MO = \frac{{Rr}}{{2R - r}}} (2) Από (1), (2) με απαλοιφή του OM, βρίσκω \boxed{r=R(2-\sqrt 2} (3)

\displaystyle{\sin \theta  = \frac{{OM}}{R}\mathop  = \limits^{(2)} \frac{r}{{2R - r}}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(3)} \sin \theta  = \sqrt 2  - 1 \Leftrightarrow \frac{{{{\tan }^2}\theta }}{{1 + {{\tan }^2}\theta }} = {(\sqrt 2  - 1)^2} \Leftrightarrow {\tan ^2}\theta  = \frac{{{{(\sqrt 2  - 1)}^2}}}{{\sqrt 2 (2 - \sqrt 2 )}} \Leftrightarrow }

\boxed{2{\tan ^2}\theta  = \sqrt 2  - 1 = \sin \theta }

Re: Τριγωνομετρία

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιούλ 17, 2017 6:13 pm
από george visvikis
Πιο εύκολα για τη σχέση \boxed{r=R(2-\sqrt 2}
Τριγωνομετρία.b.png
Τριγωνομετρία.b.png (18.73 KiB) Προβλήθηκε 643 φορές
\displaystyle{\frac{{AK}}{{KB}} = \frac{{PM}}{{MB}} = \frac{{KO}}{{OB}} \Leftrightarrow \frac{r}{{2R - r}} = \frac{{R - r}}{R} \Leftrightarrow } \boxed{r=R(2-\sqrt 2}, κλπ...