Τριγωνομετρία

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8681
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τριγωνομετρία

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από KARKAR » Δευ Ιούλ 17, 2017 1:15 pm

Τριγωνομετρία.png
Τριγωνομετρία.png (11.94 KiB) Προβλήθηκε 114 φορές
Η χορδή BS του ημικυκλίου διαμέτρου AB , σχηματίζει γωνία \theta με τη διάμετρο ,

έχει μέσο το M και εφάπτεται του μικρότερου ημικυκλίου , διαμέτρου AKC

στο σημείο P . Αν είναι : AP \parallel KM , δείξτε ότι : \sin\theta=2\tan^2\theta .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5545
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τριγωνομετρία

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από george visvikis » Δευ Ιούλ 17, 2017 5:49 pm

KARKAR έγραψε:Τριγωνομετρία.pngΗ χορδή BS του ημικυκλίου διαμέτρου AB , σχηματίζει γωνία \theta με τη διάμετρο ,

έχει μέσο το M και εφάπτεται του μικρότερου ημικυκλίου , διαμέτρου AKC

στο σημείο P . Αν είναι : AP \parallel KM , δείξτε ότι : \sin\theta=2\tan^2\theta .


Έστω O το κέντρο του μεγάλου ημικυκλίου και r, R(R>r) οι ακτίνες του μικρού και του μεγάλου ημικυκλίου αντίστοιχα.
Τριγωνομετρία..png
Τριγωνομετρία..png (18.59 KiB) Προβλήθηκε 78 φορές

\displaystyle{B{O^2} - M{O^2} = M{B^2} = BC \cdot BO \Leftrightarrow {R^2} - M{O^2} = 2R(R - r) \Leftrightarrow } \boxed{M{O^2} = R(2r - R)} (1)

\displaystyle{\frac{{MO}}{r} = \frac{{BO}}{{BK}} = \frac{R}{{2R - r}} \Leftrightarrow } \boxed{MO = \frac{{Rr}}{{2R - r}}} (2) Από (1), (2) με απαλοιφή του OM, βρίσκω \boxed{r=R(2-\sqrt 2} (3)

\displaystyle{\sin \theta  = \frac{{OM}}{R}\mathop  = \limits^{(2)} \frac{r}{{2R - r}}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(3)} \sin \theta  = \sqrt 2  - 1 \Leftrightarrow \frac{{{{\tan }^2}\theta }}{{1 + {{\tan }^2}\theta }} = {(\sqrt 2  - 1)^2} \Leftrightarrow {\tan ^2}\theta  = \frac{{{{(\sqrt 2  - 1)}^2}}}{{\sqrt 2 (2 - \sqrt 2 )}} \Leftrightarrow }

\boxed{2{\tan ^2}\theta  = \sqrt 2  - 1 = \sin \theta }


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5545
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τριγωνομετρία

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από george visvikis » Δευ Ιούλ 17, 2017 6:13 pm

Πιο εύκολα για τη σχέση \boxed{r=R(2-\sqrt 2}
Τριγωνομετρία.b.png
Τριγωνομετρία.b.png (18.73 KiB) Προβλήθηκε 70 φορές

\displaystyle{\frac{{AK}}{{KB}} = \frac{{PM}}{{MB}} = \frac{{KO}}{{OB}} \Leftrightarrow \frac{r}{{2R - r}} = \frac{{R - r}}{R} \Leftrightarrow } \boxed{r=R(2-\sqrt 2}, κλπ...



Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες