Στριφνή διχοτόμηση

KARKAR · #1

Α) Επιβεβαιώστε ότι ο αριθμός : $\displaystyle x=\dfrac{2-\sqrt[3]{4}}{2}$ , είναι η μοναδική ( πραγματική )

ρίζα της συνάρτησης : f(x)=2x^3-6x^2+6x-1

.

: Στριφνή διχοτόμηση.png (15.34 KiB) Προβλήθηκε 812 φορές

Β) Πάνω στο ύψος

του ορθογωνίου (στο

) τριγώνου $\displaystyle ABC$ , εντοπίστε σημείο

, ώστε

η κάθετη πλευρά

του επίσης ορθογωνίου SBP

, να διχοτομεί το εμβαδόν του ADC

.

Το σχήμα είναι εμπνευσμένο από τον σημερινό Παγκύπριο διαγωνισμό .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 02, 2017 8:06 pm
Α) Επιβεβαιώστε ότι ο αριθμός : $\displaystyle x=\dfrac{2-\sqrt[3]{4}}{2}$ , είναι η μοναδική ( πραγματική )

ρίζα της συνάρτησης : .

Για το Α δεν χρειάζεται να επιβεβαιώσουμε τίποτα. ο λόγος του Θανάση είναι εγγύηση!
(Άσε που υποψιάζομαι ότι δίνεται ως σκαλοπάτι για το επόμενο, αλλά εμείς έχουμε πάρει άλλο μονοπάτι...

: 02-12-2017 Γεωμετρία.jpg (39.52 KiB) Προβλήθηκε 806 φορές

Είναι $\displaystyle \frac{{DP \cdot DS}}{{DC \cdot AD}} = \frac{1}{2}$

Έστω D(0,0), C(1, 0), A(0, a), a > 0, P(t, 0), 0 < t < 1

,

οπότε $\displaystyle \frac{{t \cdot DS}}{a} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow DS = \frac{a}{{2t}}$ άρα $\displaystyle S\left( {0,\;\frac{a}{{2t}}} \right)$ .

Είναι $\displaystyle AC:\;\;y = - ax + a$ και $\displaystyle BA \bot AC$ οπότε $\displaystyle BA:\;\;y = \frac{1}{a}x + a$ , άρα $\displaystyle B\left( { - {a^2},\;0} \right)$ .

Είναι $\displaystyle PS:\;\;y = - \frac{a}{{2{t^2}}}x + \frac{a}{{2t}}$ και $\displaystyle BS \bot SP$ οπότε $\displaystyle BS:\;\;y = \frac{{2{t^2}}}{a}x + \frac{a}{{2t}}$ .

Αφού το

ανήκει στην

, είναι $\displaystyle 0 = \frac{{2{t^2}}}{a}\left( { - {a^2}} \right) + \frac{a}{{2t}} \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow t = \sqrt[3]{{\frac{1}{4}}}$ .

Οπότε $\displaystyle S\left( {0,\;\frac{{a\sqrt[3]{4}}}{2}} \right)$ .

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 02, 2017 8:06 pm

Στριφνή διχοτόμηση.pngΒ) Πάνω στο ύψος του ορθογωνίου (στο ) τριγώνου $\displaystyle ABC$ , εντοπίστε σημείο , ώστε

η κάθετη πλευρά του επίσης ορθογωνίου , να διχοτομεί το εμβαδόν του .

Το σχήμα είναι εμπνευσμένο από τον σημερινό Παγκύπριο διαγωνισμό .

: Στριφνή διχοτόμηση.png (13.26 KiB) Προβλήθηκε 757 φορές

$\displaystyle \frac{{(SDP)}}{{(ADC)}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{DP \cdot DS}}{{DC \cdot DA}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{DP\sqrt {BD \cdot DP} }}{{DC\sqrt {BD \cdot DC} }} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{D{P^3}}}{{D{C^3}}} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow$ $\boxed{DC = DP\sqrt[3]{4}}$ (1)

$\displaystyle S{D^2} = BD \cdot DP\mathop = \limits^{(1)} BD \cdot \frac{{DC}}{{\sqrt[3]{4}}} = \frac{{A{D^2}}}{{\sqrt[3]{4}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{SD = \frac{{AD}}{{\sqrt[3]{2}}}}$

Στριφνή διχοτόμηση

Στριφνή διχοτόμηση

Re: Στριφνή διχοτόμηση

Re: Στριφνή διχοτόμηση

Μέλη σε σύνδεση