Άλλος τ(ρ)όπος

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9116
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Άλλος τ(ρ)όπος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Δεκ 07, 2017 8:34 am

Άλλος τ(ρ)όπος.png
Άλλος τ(ρ)όπος.png (13.32 KiB) Προβλήθηκε 123 φορές
Οι κύκλοι (O,3) , (K,2) εφάπτονται εξωτερικά . Αναζητούνται όλα τα σημεία S στο

εξωτερικό των δύο κύκλων , ώστε για τα εφαπτόμενα προς αυτούς τμήματα SP,ST

να ισχύει : SP=2ST . Εντοπίστε εκείνο το S , για το οποίο είναι SP+ST=6 .
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Πέμ Δεκ 07, 2017 12:54 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9675
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άλλος τ(ρ)όπος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Δεκ 07, 2017 8:53 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Δεκ 07, 2017 8:34 am
Άλλος τ(ρ)όπος.pngΟι κύκλοι (O,3) , (K,3) εφάπτονται εξωτερικά . Αναζητούνται όλα τα σημεία S στο

εξωτερικό των δύο κύκλων , ώστε για τα εφαπτόμενα προς αυτούς τμήματα SP,ST

να ισχύει : SP=2ST . Εντοπίστε εκείνο το S , για το οποίο είναι SP+ST=6 .
Μάλλον απλή για Ολυμπιάδες.

Mε αρχή των αξόνων το O(0,0) με S(x,y) , και δεδομένου ότι OP\perp PS, \, ST\perp TK , η συνθήκη SP^2=4ST^2 , γράφεται

(x^2+y^2)-3^2= 4[ (x-5)^2 + y^2 - 2^2]. Ισοδύναμα

3x^2+3y^2-40x + 93= 0 (κύκλος). Τα υπόλοιπα, άμεσα.

Π.χ. η τελευταία συνθήκη SP+ST=6 ισοδυναμεί με SP=4, άρα OS = 5, που μας δίνει εύκολα το S ως τομή δύο κύκλων.

Edit: Διόρθωσα λογιστικό σφάλμα που μου επεσήμανε ο Θανάσης, το οποίο ευχαριστώ.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Πέμ Δεκ 07, 2017 1:32 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9116
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Άλλος τ(ρ)όπος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Δεκ 07, 2017 9:58 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πέμ Δεκ 07, 2017 8:53 am
Μάλλον απλή για Ολυμπιάδες.
Μιχάλη ευχαριστώ για την ενασχόληση :clap2: Θέλω όμως να επισημάνω μια πιθανή παρεξήγηση :

Ο φάκελος είναι "Γεωμετρία - επίπεδο Θαλή - Ευκλείδη" . Ανώτερος του είναι ο φάκελος

"Γεωμετρία - επίπεδο Αρχιμήδη " και παραπάνω ο "Γεωμετρία - Προχωρημένο επίπεδο " .

Το θέμα τοποθετήθηκε στο πρώτο ( κατώτερο ) φάκελο ...


Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9675
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άλλος τ(ρ)όπος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Δεκ 07, 2017 1:08 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Δεκ 07, 2017 9:58 am
Ο φάκελος είναι "Γεωμετρία - επίπεδο Θαλή - Ευκλείδη" . Ανώτερος του είναι ο φάκελος

"Γεωμετρία - επίπεδο Αρχιμήδη " και παραπάνω ο "Γεωμετρία - Προχωρημένο επίπεδο " .

Το θέμα τοποθετήθηκε στο πρώτο ( κατώτερο ) φάκελο ...
Θανάση, ορθότατα.

Το σχόλιό μου δεν ήταν κριτική στην άσκηση. Απευθυνόμουν στους μαθητές που διαβάζουν θέματα
Ολυμπιάδων. Είναι σαφές ότι τα θέματα Ολυμπιάδων έχουν ευρύ φάσμα απαιτήσεων, από ήπιες έως σκληρές.
Δεδομένου ότι οι περισσότεροι μαθητές βλέπουν τα θέματα Ολυμπιάδων με δέος, ήθελα να διαβαθμίσω
την δυσκολία του συγκεκριμένου προβλήματος για να γνωρίζει ο μαθητής (αν την λύσει) πώς αξιολογείται η επιτυχία του.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6095
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Άλλος τ(ρ)όπος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Δεκ 07, 2017 1:48 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Δεκ 07, 2017 8:34 am
Άλλος τ(ρ)όπος.pngΟι κύκλοι (O,3) , (K,2) εφάπτονται εξωτερικά . Αναζητούνται όλα τα σημεία S στο

εξωτερικό των δύο κύκλων , ώστε για τα εφαπτόμενα προς αυτούς τμήματα SP,ST

να ισχύει : SP=2ST . Εντοπίστε εκείνο το S , για το οποίο είναι SP+ST=6 .
Με Ευκλείδεια.

Έστω A το σημείο επαφής των κύκλων και CA,AD οι διάμετροι των (O), (K) αντίστοιχα. Η SA τέμνει τους κύκλους κατά

σειρά στα σημεία M, N. Θέτω ST=x, οπότε SP=2x και φέρνω από το S κάθετη στην SN που τέμνει την CD στο B.
Άλλος τ(ρ)όπος.png
Άλλος τ(ρ)όπος.png (26.72 KiB) Προβλήθηκε 76 φορές
\displaystyle \left\{ \begin{gathered} 
  {x^2} = SM \cdot SA \hfill \\ 
  4{x^2} = SA \cdot SN \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{SN=4SM} (1)

Από τις παραλληλίες είναι \displaystyle \frac{{AM}}{{AN}} = \frac{2}{3},\frac{{AM}}{{AS}} = \frac{4}{{AB}},\frac{{AN}}{{AS}} = \frac{6}{{AB}} και από την (1) προκύπτει ότι \displaystyle SM = \frac{5}{6}AM,

οπότε \displaystyle \frac{4}{{AB}} = \frac{{AM}}{{SA}} = \frac{6}{{11}} \Leftrightarrow \boxed{AB=\frac{22}{3}} Άρα η AB είναι σταθερή κατά θέση και μέγεθος κι επειδή A\widehat SB=90^0,

ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι ο κύκλος διαμέτρου AB.


Αν ST+SP=6, τότε x=2 και \displaystyle 4 = SM \cdot SA \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow \frac{5}{{11}}S{A^2} = 4 \Leftrightarrow \boxed{SA = \sqrt {\frac{{44}}{5}} }


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης