Μέγιστο τραπεζίου

KARKAR · #1

: Μέγιστο τραπεζίου.png (11.62 KiB) Προβλήθηκε 933 φορές

Στις κάθετες πλευρές AB=3 , AC=4

, του ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , θεωρούμε

σημεία : S,T

αντίστοιχα , ώστε : AS=AP

και ονομάζω S',P'

τις προβολές τους στην

υποτείνουσα

. Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του ορθογωνίου τραπεζίου SS'P'P

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 27, 2017 8:53 pm
Στις κάθετες πλευρές , του ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , θεωρούμε

σημεία : αντίστοιχα , ώστε : και ονομάζω τις προβολές τους στην

υποτείνουσα . Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του ορθογωνίου τραπεζίου .

Καλησπέρα και Χρόνια Πολλά...

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Μέγιστο τραπεζίου 1.png (23.91 KiB) Προβλήθηκε 908 φορές

Από θεώρημα Θαλή και από ομοιότητες τριγώνων εύκολα διαπιστώνουμε:

$\displaystyle{SS'=\frac{4(3-x)}{5},\ \ PP'=\frac{3(4-x)}{5}}$

καθώς και

$\displaystyle{BS'=\frac{3(3-x)}{5}, \ \ CP'=\frac{4(4-x)}{5}}$

Άρα το εμβαδόν του τραπεζίου $\displaystyle{(SS`P`P)}$ είναι:

$\displaystyle{E(x)=(ABC)-(ASP)-(BSS')-(CPP')=...=-\frac{49}{50}x^2+\frac{84}{25}x \ \ (1)}$

Η σχέση (1) ως τριώνυμο δίνει το ζητούμενο, δηλαδή:

για

$\displaystyle{x=-\frac{b}{2a}=...=\frac{84}{49}}$

δίνει τη μέγιστη τιμή που είναι:

$\displaystyle{E_{max}=\frac{4ac-b^2}{4a}=...=\frac{72}{25} }$

Παραθέτω και το δυναμικό σχήμα όπου φαίνεται η συνολική συμπεριφορά
των τιμών της $\displaystyle{E(x)}$

Μέγιστο τραπεζίου 1.ggb: (16 KiB) Μεταφορτώθηκε 41 φορές

Κώστας Δόρτσιος

#3

Μια διαφορετική λύση για να πώ κι από εδώ Χρόνια Πολλά στους αγαπητούς φίλους Κώστα και Θανάση.

: 29-12-2017 Γεωμετρία.png (25.71 KiB) Προβλήθηκε 859 φορές

Έστω

με

.

Είναι $\displaystyle BC:\;y = - \frac{4}{3}x + 4$ .

Η πρόβολή του

στην

έχει εξίσωση $\displaystyle y = \frac{3}{4}x - \frac{{3a}}{4}$ και την τέμνει στο $\displaystyle S'\left( {\frac{{9a + 48}}{{25}},\;\frac{{36 - 12a}}{{25}}} \right)$ .

Η πρόβολή του

στην

έχει εξίσωση $\displaystyle y = \frac{3}{4}x + a$ και την τέμνει στο $\displaystyle P'\left( {\frac{{48 - 12a}}{{25}},\;\frac{{16a + 36}}{{25}}} \right)$ .

Τότε $\displaystyle \left( {PSS'P'} \right) = \left( {ABC} \right) - \left( {OSP} \right) - \left( {BSS'} \right) - \left( {CPP'} \right) =$

$\displaystyle = \frac{{3 \cdot 4}}{2} - \frac{{{a^2}}}{2} - \frac{{\left( {3 - a} \right)\left( {\frac{{36 - 12a}}{{25}}} \right)}}{2} - \frac{{\left( {4 - a} \right)\left( {\frac{{48 - 12a}}{{25}}} \right)}}{2} = \frac{{ - 49{a^2} + 168a}}{{50}}$ .

Το τριώνυμο $\displaystyle f\left( a \right) = - \frac{{49}}{{50}}{a^2} + \frac{{168}}{{50}}a$ έχει μέγιστο για $\displaystyle a = \frac{{168}}{{98}} = \frac{{84}}{{49}}$ ,

το $\displaystyle f\left( {\frac{{84}}{{49}}} \right) = \frac{{ - 49 \cdot \frac{{{{84}^2}}}{{{{49}^2}}} + 168 \cdot \frac{{84}}{{49}}}}{{50}} = \frac{{ - {{84}^2} + 2 \cdot {{84}^2}}}{{50 \cdot 49}} = \frac{{72}}{{25}}$ .

edit: Ευχαριστώ τον Θανάση την διόρθωση στο αποτέλεσμα.

#4

Γενίκευση στο εμβαδόν τραπεζίου με τυχαίο ορθογώνιο ( στο ) τρίγωνο .

Αντί $S',\,\,P'\,$ έχω E,Z

( κάποιο πρόβλημα στο MathType

)

Φέρνω το ύψος AH = h

, τη διχοτόμο

και $SK \bot PZ$ θεωρώ δε, χωρίς βλάβη της γενικότητας b > c

.

Μετασχηματίζω το εμβαδόν του τραπεζίου σε ισοδύναμο τρίγωνο $\vartriangle ZET$ . Φέρνω δηλαδή ST// = EP

.

$\boxed{(ZET) = \frac{1}{2}EZ \cdot TZ\,\,(1)}$ , όμως θα δείξω ότι πάντα EZ + ZT = 2h = 2AH

( ύψος του $\vartriangle ABC$ ) και άρα έχω μεγιστοποίηση όταν $\displaystyle \boxed{EZ = ZT = h}$ (2)

Έχω : $ME + ZT = a - (kc + mb) + (kb + mc) = a - (m - k)(b - c)\,\,(3)$

Από την άλλη μεριά επειδή τα τρίγωνα $HAD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KPS\,\,$ είναι όμοια θα έχω :

$\dfrac{{AH}}{{SK}} = \dfrac{{HD}}{{PK}}\,\,(4)$ ,

Αλλά $HD = BD - BH = \dfrac{{ac}}{{b + c}} - \dfrac{{{c^2}}}{a} = \dfrac{{bc(b - c)}}{{a(b + c)}} \Rightarrow \boxed{HD = h\frac{{b - c}}{{b + c}}}\,\,(5)$ Γιατί bc = ah

.

: γενίκευση περι εμβαδού τραπεζίου.png (36.62 KiB) Προβλήθηκε 826 φορές

Ενώ προφανώς: $\left\{ \begin{gathered} SK = EZ = a - (kc + mb) \hfill \\ PK = mc - kb \hfill \\ \end{gathered} \right.$ κι έτσι η (4)

δίδει.

$\dfrac{h}{{a - (kc + mb)}} = \dfrac{h}{{mc - kb}} \cdot \dfrac{{b + c}}{{b - c}}$ και άρα $\boxed{\frac{{a - (kc + mb)}}{{mc - kb}} = \frac{{b + c}}{{b - c}}}\,\,(6)$

Η τελευταία πρώτου βαθμού ως προς

και δεδομένου ότι ${a^2} = {b^2} + {c^2}$ , δίδει :

$k = m - \dfrac{{b - c}}{a} \Leftrightarrow m - k = \dfrac{{b - c}}{a} \Leftrightarrow (m - k)a = b - c$ . Πολλαπλασιάζω με (b - c)

και προκύπτει :

$(m - k)(b - c)a = {(b - c)^2} \Leftrightarrow (m - k)(b - c) = \dfrac{{{{(b - c)}^2}}}{a}$ . Τώρα η (3)

δίδει :

$ME + ZT = a - \dfrac{{{{(b - c)}^2}}}{a} = \dfrac{{{a^2} - {b^2} - {c^2} + 2bc}}{a} = \dfrac{{2bc}}{a} = 2h$ .

Μετά απ’ αυτά : Το μέγιστο εμβαδόν είναι $\boxed{{{(SEZP)}_{\max }} = \frac{1}{2}{h^2}}$ .

Για την κατασκευή αρκεί να διχοτομήσω τις ορθές γωνίες $\widehat {AHD}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {AHC}$

ή εναλλακτικά να γράψω τον περιγεγραμμένο κύκλο του $\vartriangle AHD$ .

KARKAR · #5

: Μέγιστο τραπεζίου γενίκευση.png (12.75 KiB) Προβλήθηκε 793 φορές

Η γενίκευση κάπως δοιαφορετικά : Είναι :

$SS'=(c-x)sinB=\dfrac{bc}{a}-\dfrac{bx}{a}$ και ομοίως : $PP'=\dfrac{bc}{a}-\dfrac{cx}{a}$

Επίσης : $S'D=xcosB=\dfrac{cx}{a}$ και ομοίως : $P'D=\dfrac{bx}{a}$ . Επομένως :

$E(x)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2bc}{a}-\dfrac{(b+c)x}{a}\right)\cdot\dfrac{(b+c)x}{a}=\dfrac{b+c}{2a^2}\left(-(b+c)^2x^2+2bcx\right)$ .

Έχουμε λοιπόν μέγιστο για : $x=\dfrac{-2bc}{-2(b+c)}=\dfrac{bc}{b+c}$ , το οποίο είναι το :

$E_{max}=E(\dfrac{bc}{b+c})=\dfrac{b^2c^2}{2a^2}=\dfrac{h^2}{2}$ , αφού ( bc=ah)

.

Μέγιστο τραπεζίου

Μέγιστο τραπεζίου

Re: Μέγιστο τραπεζίου

Re: Μέγιστο τραπεζίου

Re: Μέγιστο τραπεζίου

Re: Μέγιστο τραπεζίου

Μέλη σε σύνδεση