Μέγιστο τραπεζίου
Μέγιστο τραπεζίου
σημεία : αντίστοιχα , ώστε : και ονομάζω τις προβολές τους στην
υποτείνουσα . Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του ορθογωνίου τραπεζίου .
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Μέγιστο τραπεζίου
Καλησπέρα και Χρόνια Πολλά...
Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:
Από θεώρημα Θαλή και από ομοιότητες τριγώνων εύκολα διαπιστώνουμε:
καθώς και
Άρα το εμβαδόν του τραπεζίου είναι:
Η σχέση (1) ως τριώνυμο δίνει το ζητούμενο, δηλαδή:
για
δίνει τη μέγιστη τιμή που είναι:
Παραθέτω και το δυναμικό σχήμα όπου φαίνεται η συνολική συμπεριφορά
των τιμών της
Κώστας Δόρτσιος
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5284
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Μέγιστο τραπεζίου
Μια διαφορετική λύση για να πώ κι από εδώ Χρόνια Πολλά στους αγαπητούς φίλους Κώστα και Θανάση.
Έστω με .
Είναι .
Η πρόβολή του στην έχει εξίσωση και την τέμνει στο .
Η πρόβολή του στην έχει εξίσωση και την τέμνει στο .
Τότε
.
Το τριώνυμο έχει μέγιστο για ,
το .
edit: Ευχαριστώ τον Θανάση την διόρθωση στο αποτέλεσμα.
Έστω με .
Είναι .
Η πρόβολή του στην έχει εξίσωση και την τέμνει στο .
Η πρόβολή του στην έχει εξίσωση και την τέμνει στο .
Τότε
.
Το τριώνυμο έχει μέγιστο για ,
το .
edit: Ευχαριστώ τον Θανάση την διόρθωση στο αποτέλεσμα.
Re: Μέγιστο τραπεζίου
Γενίκευση στο εμβαδόν τραπεζίου με τυχαίο ορθογώνιο ( στο ) τρίγωνο .
Αντί έχω ( κάποιο πρόβλημα στο )
Φέρνω το ύψος , τη διχοτόμο και θεωρώ δε, χωρίς βλάβη της γενικότητας .
Μετασχηματίζω το εμβαδόν του τραπεζίου σε ισοδύναμο τρίγωνο . Φέρνω δηλαδή .
, όμως θα δείξω ότι πάντα
( ύψος του ) και άρα έχω μεγιστοποίηση όταν (2)
Έχω :
Από την άλλη μεριά επειδή τα τρίγωνα είναι όμοια θα έχω :
,
Αλλά Γιατί .
Ενώ προφανώς: κι έτσι η δίδει.
και άρα
Η τελευταία πρώτου βαθμού ως προς και δεδομένου ότι , δίδει :
. Πολλαπλασιάζω με και προκύπτει :
. Τώρα η δίδει :
.
Μετά απ’ αυτά : Το μέγιστο εμβαδόν είναι .
Για την κατασκευή αρκεί να διχοτομήσω τις ορθές γωνίες
ή εναλλακτικά να γράψω τον περιγεγραμμένο κύκλο του .
Αντί έχω ( κάποιο πρόβλημα στο )
Φέρνω το ύψος , τη διχοτόμο και θεωρώ δε, χωρίς βλάβη της γενικότητας .
Μετασχηματίζω το εμβαδόν του τραπεζίου σε ισοδύναμο τρίγωνο . Φέρνω δηλαδή .
, όμως θα δείξω ότι πάντα
( ύψος του ) και άρα έχω μεγιστοποίηση όταν (2)
Έχω :
Από την άλλη μεριά επειδή τα τρίγωνα είναι όμοια θα έχω :
,
Αλλά Γιατί .
Ενώ προφανώς: κι έτσι η δίδει.
και άρα
Η τελευταία πρώτου βαθμού ως προς και δεδομένου ότι , δίδει :
. Πολλαπλασιάζω με και προκύπτει :
. Τώρα η δίδει :
.
Μετά απ’ αυτά : Το μέγιστο εμβαδόν είναι .
Για την κατασκευή αρκεί να διχοτομήσω τις ορθές γωνίες
ή εναλλακτικά να γράψω τον περιγεγραμμένο κύκλο του .
Re: Μέγιστο τραπεζίου
και ομοίως :
Επίσης : και ομοίως : . Επομένως :
.
Έχουμε λοιπόν μέγιστο για : , το οποίο είναι το :
, αφού ( .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες