Αλλάζοντας μηδενικά

[Al.Koutsouridis]

Δίνεται ο αριθμός ( μηδενικά). Ζητείται να αντικατασταθούν κάποια δυο μηδενικά με μη μηδενικά ψηφία έτσι, ώστε μετά την αντικατάσταση να προκύψει αριθμός, που διαιρείται με το . Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό;

[achilleas]

Δίνεται ο αριθμός ( μηδενικά). Ζητείται να αντικατασταθούν κάποια δυο μηδενικά με μη μηδενικά ψηφία έτσι, ώστε μετά την αντικατάσταση να προκύψει αριθμός, που διαιρείται με το . Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό;

Είναι .

Έστω ότι αντικαθιστούμε δύο μηδενικά με τα ψηψία και και προκύπτει ο .

Προφανώς, ο διαιρείται με το 5. Για να διαιρείται με το 9 θα πρέπει ο να διαιρείται με το 9,

ενώ για να διαιρείται με το 11, θα πρέπει o να διαιρείται με το 11.

Αφού , από την τελευταία παίρνουμε δύο περιπτώσεις:

(i) όταν το πλήθος των 0 ανάμεσα στο και το είναι περιττός

ή

(ii) όταν το πλήθος των 0 ανάμεσα στο και το είναι άρτιος.

Εάν , τότε ο διαιρείται με το 9.

Εάν , τότε ο διαιρείται με το 9 αν και μόνο αν

Άρα ή το είναι ένα από τα , , , .

Για το , το πλήθος των 0, λοιπόν, ανάμεσα στο και το θα είναι 98 ή 96 ή ... ή 0. 'Ετσι, για το έχουμε 100 επιλογές, και για το έχουμε επιλογές. Συνεπώς, μπορούμε να αντικαταστήσουμε δύο μηδενικά με 1 και 1 με τρόπους.

Για καθένα από τα , , , , το πλήθος των 0, λοιπόν, ανάμεσα στο και το , θα είναι 97 ή 95 ή ...ή 1. Έτσι, για το έχουμε 100 επιλογές, και για το έχουμε επιλογές. Έτσι, για καθένα από αυτά τα ζευγάρια παίρνουμε τρόπους.

Συνεπώς, το συνολικό πλήθος των ζητούμενων αριθμών είναι



Φιλικά,

Αχιλλέας