Κριτήριο ισοπλεύρου

#1

Το εμβαδόν

τριγώνου

με διαμέσους m_a, m_b, m_c

δίνεται από τον τύπο

$E=\dfrac{\sqrt{m_a^4+m_b^4+m_c^4}}{3}.$ Να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

Manolis Petrakis · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 26, 2023 11:58 am
Το εμβαδόν τριγώνου με διαμέσους δίνεται από τον τύπο

$E=\dfrac{\sqrt{m_a^4+m_b^4+m_c^4}}{3}.$ Να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

Η αντικατάσταση $m_a=\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$ κυκλικά θα δώσει μετά από πράξεις στην παραπάνω σχέση
$E=\dfrac{\sqrt{a^4+b^4+c^4}}{4}$ .
Όμως το εμβαδόν τριγώνου από τον τύπο του Ήρωνα είναι:
$E=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\dfrac{\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}{4}=\dfrac{\sqrt{2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4+b^4+c^4}}{4}$
Από τις δύο παραπάνω σχέσεις έχουμε:
$\dfrac{\sqrt{a^4+b^4+c^4}}{4}=\dfrac{\sqrt{2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4+b^4+c^4}}{4}$

$\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4+b^4+c^4$

$\Leftrightarrow (a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)=0$
$\Leftrightarrow a=b=c$
Άρα το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

Κριτήριο ισοπλεύρου

Κριτήριο ισοπλεύρου

Re: Κριτήριο ισοπλεύρου

Μέλη σε σύνδεση