Όσο πιο κοντά γίνεται

KARKAR · #1

: Όσο πιο κοντά γίνεται.png (13.94 KiB) Προβλήθηκε 221 φορές

Το σημείο

κινείται στην ευθεία y=-4

. Σχεδιάζουμε το ισόπλευρο τρίγωνο OST

.

Να βρεθεί η ελάχιστη δυνατή απόσταση του σημείου

, από το σημείο A( 0 , 4 )

.

S.E.Louridas · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 27, 2024 8:21 pm
Το σημείο κινείται στην ευθεία . Σχεδιάζουμε το ισόπλευρο τρίγωνο . Να βρεθεί η ελάχιστη δυνατή απόσταση του σημείου , από το σημείο .

Η ιδέα είναι να βρούμε το γεωμετρικό τόπο του σημείου

που είναι ευθεία και μετά παίρνουμε την απόσταση του

από αυτή. Για να βρούμε τελείως με Ευκλείδεια Γεωμετρία τον γεωμετρικό τόπο του

θα γράψουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο του ισόπλευρου τριγώνου OST

που κινείται στη τυχούσα θέση του κατά τη διαδικασία της Ανάλυσης.

edit: Άρση της απόκρυψης μετά την πανέμορφη λύση του Νίκου κάτω.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 27, 2024 8:21 pm
Όσο πιο κοντά γίνεται.pngΤο σημείο κινείται στην ευθεία . Σχεδιάζουμε το ισόπλευρο τρίγωνο .

Να βρεθεί η ελάχιστη δυνατή απόσταση του σημείου , από το σημείο .

Θεωρώ την οριακή θέση της κορυφής

ότι βρίσκεται στο σημείο $\left( {0, - 4} \right)$ . Τότε το

θα είναι το σταθερό σημείο ${T_0}\left( {2\sqrt 3 , - 2} \right)$ .

Επειδή η γωνία $\widehat {{T_0}Ox} = 30^\circ$ το

θα κινείται στην ευθεία με κλίση $\lambda = \tan \left( {60^\circ } \right) = \sqrt 3$ άρα θα έχει εξίσωση :

: Οσο πιο κοντά γίνεται.png (24.01 KiB) Προβλήθηκε 160 φορές

$L:y + 2 = \sqrt 3 \left( {x - 2\sqrt 3 } \right) \Leftrightarrow y + 2 = \sqrt 3 x - 6 \Leftrightarrow \sqrt 3 x - y - 8 = 0$ . Η πιο κοντινή απόσταση του $A\left( {0,4} \right)$ δίδεται από την σχέση :

$\boxed{d\left( {A,L} \right) = \frac{{\left| {0 \cdot \sqrt 3 - 4 - 8} \right|}}{{\sqrt {3 + 1} }} = 6}$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 27, 2024 8:21 pm
Όσο πιο κοντά γίνεται.pngΤο σημείο κινείται στην ευθεία . Σχεδιάζουμε το ισόπλευρο τρίγωνο .

Να βρεθεί η ελάχιστη δυνατή απόσταση του σημείου , από το σημείο .

$\displaystyle \cos \theta = \cos (120^\circ - \varphi ) = - \frac{1}{2}\cos \varphi + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin \varphi = \frac{{x\sqrt 3 - 4}}{{2\sqrt {{x^2} + 16} }}$ και με νόμο συνημιτόνου στο AOT:

: Όσο πιο κοντά γίνεται.Κ1.png (10.1 KiB) Προβλήθηκε 151 φορές

$\displaystyle A{T^2} = 16 + {x^2} + 16 - 8\sqrt {{x^2} + 16} \frac{{x\sqrt 3 - 4}}{{2\sqrt {{x^2} + 16} }} \Leftrightarrow A{T^2} = {x^2} - 4x\sqrt 3 + 48,$

που ως τριώνυμο παρουσιάζει για $\boxed{x=2\sqrt 3}$ ελάχιστη τιμή ίση με $\boxed{A{T_{\min }} = 6}$

Όσο πιο κοντά γίνεται

Όσο πιο κοντά γίνεται

Re: Όσο πιο κοντά γίνεται

Re: Όσο πιο κοντά γίνεται

Re: Όσο πιο κοντά γίνεται

Μέλη σε σύνδεση