Μεγαλοδιάμεσος

KARKAR · #1

: Μεγαλοδιάμεσος.png (19.15 KiB) Προβλήθηκε 276 φορές

Σε κύκλο ακτίνας r=8

, εγγράφουμε ισοσκελές τρίγωνο ABC

,

με

. Υπολογίστε το μέγιστο μήκος της διαμέσου

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 05, 2024 1:57 pm
Μεγαλοδιάμεσος.pngΣε κύκλο ακτίνας , εγγράφουμε ισοσκελές τρίγωνο ,

με . Υπολογίστε το μέγιστο μήκος της διαμέσου .

: Μεγαλοδιάμεσος.K.png (14.97 KiB) Προβλήθηκε 265 φορές

$\displaystyle si{n^2}\frac{A}{2} + {\cos ^2}\frac{A}{2} = 1 \Leftrightarrow {\left( {\frac{{NC}}{{AC}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{AM}}{{AO}}} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{{4{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{256}} = 1 \Leftrightarrow {a^2} = \frac{{{b^2}(256 - {b^2})}}{{64}}$

Από τον τύπο της διαμέσου, $\displaystyle B{M^2} = \frac{{2{a^2} + {b^2}}}{4}$ και με αντικατάσταση $\displaystyle B{M^2} = \frac{{ - {b^4} + 288{b^2}}}{{128}},$ που ως τριώνυμο

παρουσιάζει μέγιστο $\boxed{ B{M_{\max }} = 9\sqrt 2}$ όταν $\boxed{b=12}$

KARKAR · #3

Αγαπητοί θαμώνες του Mathematica .

Νιώθω την ανάγκη να εκφράσω την απεριόριστη εκτίμησή μου , στον εκπληκτικό λύτη Γιώργο Βισβίκη

Διαπιστώνετε και σεις την ταχύτητα των απαντήσεων , την σχεδόν απόλυτη ευστοχία και σαφήνεια των λύσεων .

Αναρτώντας ένα θέμα , πολλές φορές στριφνό ή άκομψο ή και "ακατάλληλο" , έχω σχεδόν την βεβαιότητα , ότι

θα τύχει μιας τουλάχιστον αντιμετώπισης . Γιώργο , νάσαι καλά

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 05, 2024 1:57 pm
Μεγαλοδιάμεσος.pngΣε κύκλο ακτίνας , εγγράφουμε ισοσκελές τρίγωνο ,

με . Υπολογίστε το μέγιστο μήκος της διαμέσου .

Επειδή $OM \bot AC$ το σημείο

ανήκει σε κύκλο διαμέτρου OA = 8

. Θέτω $AB = AC = 2x\, > 0\,\kappa \alpha \iota \,\,BM = y > 0$ .

Θ. συνημίτονου στο $\vartriangle ABM$ . ${y^2} = 5{x^2} - 4{x^2}\cos 2\theta \,\,\,\,\left( 1 \right)$ . Αλλά $\cos \theta = \dfrac{x}{8} \Rightarrow \cos 2\theta = 2{\cos ^2}\theta - 1 = \dfrac{{{x^2}}}{{32}} - 1\,\,\left( 2 \right)$ .

: Μεγαλοδιάμεσος_1.png (20.97 KiB) Προβλήθηκε 164 φορές

Λόγω των $\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right)$ προκύπτει : $B{M^2} = {y^2} = f\left( x \right) = - \dfrac{1}{8}{x^4} + 9{x^2}$ . Η

μορφής τριωνύμου, παρουσιάζει

Μέγιστο για x_0^2 = 36

. Έτσι για ${x_0} = 6$ έχω , $\boxed{B{M_{\max }} = \sqrt {f(6)} = 9\sqrt 2 }$ .

Μεγαλοδιάμεσος

Μεγαλοδιάμεσος

Re: Μεγαλοδιάμεσος

Re: Μεγαλοδιάμεσος

Re: Μεγαλοδιάμεσος

Μέλη σε σύνδεση