Διαβολική αναλογία

KARKAR · #1

: Διαβολική αναλογία.png (10.89 KiB) Προβλήθηκε 163 φορές

Με σημείο

διαιρέσαμε την πλευρά

του τετραγώνου ABCD

, σε λόγο : $\dfrac{AS}{SB}=\lambda , \lambda <1$ .

Κύκλος εφάπτεται στις πλευρές AB , AD

του τετραγώνου , στα σημεία

και

. Φέρουμε και

το εφαπτόμενο τμήμα

. Η χορδή

προεκτεινόμενη , τέμνει την πλευρά

στο σημείο

.

Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{PT}{TQ}$ . Ειδικότερα βρείτε το $\lambda$ , ώστε να είναι : PT=TQ

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 08, 2024 1:34 pm
Διαβολική αναλογία.pngΜε σημείο διαιρέσαμε την πλευρά του τετραγώνου , σε λόγο : $\dfrac{AS}{SB}=\lambda , \lambda <1$ .

Κύκλος εφάπτεται στις πλευρές του τετραγώνου , στα σημεία και . Φέρουμε και

το εφαπτόμενο τμήμα . Η χορδή προεκτεινόμενη , τέμνει την πλευρά στο σημείο .

Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{PT}{TQ}$ . Ειδικότερα βρείτε το $\lambda$ , ώστε να είναι : .

Έστω $SB=x, AS=\lambdax.$ Οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες (καθεμία είναι συμπληρωματική της πράσινης).

Άρα, SB=BT=BQ=x

και $QE=x(1-\lambda).$

: Διαβολική αναλογία.png (14.09 KiB) Προβλήθηκε 130 φορές

$\displaystyle P{Q^2} = {(\lambda + 1)^2}{x^2} + {(1 - \lambda )^2}{x^2} \Leftrightarrow PQ = x\sqrt {2({\lambda ^2} + 1)}$

$\displaystyle PT \cdot PQ = PF \cdot PE \Leftrightarrow PT \cdot x\sqrt {2({\lambda ^2} + 1)} = 2{x^2}\lambda (\lambda + 1) \Leftrightarrow PT = \frac{{2\lambda x(\lambda + 1)}}{{\sqrt {2({\lambda ^2} + 1)} }}$

Επομένως, $\displaystyle \frac{{PT}}{{PQ}} = \frac{{2\lambda (\lambda + 1)}}{{2({\lambda ^2} + 1)}} \Leftrightarrow$ $\boxed{ \frac{{PT}}{{TQ}} = \frac{{\lambda (\lambda + 1)}}{{1 - \lambda }}}$

Αν PT=TQ,

τότε $\displaystyle {\lambda ^2} + 2\lambda - 1 = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{\lambda > 0}$ $\boxed{\lambda=\sqrt 2-1}$

Αν $\displaystyle \lambda = \frac{{\sqrt {447553} - 667}}{2}$ τότε έχουμε διαβολικό $\dfrac{PT}{TQ}$

Διαβολική αναλογία

Διαβολική αναλογία

Re: Διαβολική αναλογία

Μέλη σε σύνδεση