Επαναληπτική

Συντονιστής: xr.tsif

pana1333
Δημοσιεύσεις: 1028
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Επαναληπτική

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από pana1333 » Σάβ Φεβ 19, 2011 7:05 am

Καλημέρα, μια δική μου επαναληπτική....

Έστω Α ένα ενδεχόμενο του δειγματικού χώρου Ω με A\subseteqΩ και ένα δείγμα παρατηρήσεων x_{1},x_{2},....,x_{\nu } μεγέθους ν,όχι όλες ίδιες μεταξύ τους, με μέση τιμή \bar{x}\neq 0 και τυπική απόκλιση s.

Θεωρούμε επίσης την συνάρτηση f με τύπο f\left(x \right)=\bar{x}e^{\left(1-P\left(A \right) \right)x} όπου P(A) η πιθανότητα του ενδεχομένου Α και \bar{x} η μέση τιμή του δείγματος.

α) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.

β) Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο M\left(0,f\left(0 \right) \right) είναι κάθετη στην ευθεία y=\frac{-1}{s}x όπου s η τυπική απόκλιση του δείγματος, να βρεθεί η τιμή της πιθανότητας του ενδεχομένου Α ώστε το δείγμα να έχει συντελεστή μεταβολής ίσο με 10%. Είναι το δείγμα ομοιογενές;

γ)Αν ισχύει P\left(A \right)=0.09E, όπου Ε το εμβαδόν τριγώνου που σχηματίζει η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο Μ με τους δύο άξονες, και P(A) η πιθανότητα του ενδεχομένου Α, να βρεθούν η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση του δείγματος.


Έγινε διόρθωση για το εμβαδόν......
τελευταία επεξεργασία από pana1333 σε Σάβ Φεβ 19, 2011 3:07 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2771
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Επαναληπτική

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Σάβ Φεβ 19, 2011 1:53 pm

Ωραία άσκηση Χρήστο.

Ξεκινάω...

Ισχύει s \neq 0, αφού αν
\displaystyle{s=0 \Leftrightarrow \frac{1}{\nu}\sum_{i=1}^{\nu}(x_i-\bar{x})^2 = 0 \Leftrightarrow}
\displaystyle{ \Leftrightarrow (x_i-\bar{x})^2 = 0 \Leftrightarrow x_1=x_2= . . . =x_{\nu}=\bar{x}}, άτοπο.

α) Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
* Αν P(A)=1, τότε f(x)=\bar{x}, δηλαδή είναι σταθερή.
* Αν P(A) \neq 1, τότε η f είναι παραγωγίσιμη στο \mathbb{R} με \displaystyle{f{'}(x)=\bar{x}(1-P(A))e^{(1-P(A))x},
όπου
- αν \bar{x}>0 ισχύει f{'}(x)>0, δηλαδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο \mathbb{R}, oπότε δεν παρουσιάζει ακρότατα.
- αν \bar{x}<0 ισχύει f{'}(x)<0, δηλαδή η f είναι γνησίως φθίνουσα στο \mathbb{R}, oπότε δεν παρουσιάζει ακρότατα.

β) Έχουμε CV=0.1 \Leftrightarrow s=0.1|\bar{x}| (I)
Αφού η εφαπτομένη στο Μ(0, f(0)) είναι κάθετη στην ευθεία \displaystyle{y=-\frac{1}{s}x}, θα ισχύει ότι f{'}(0)=s \Leftrightarrow \bar{x}(1-P(A))=s (II)
* Αν \bar{x}>0 τότε (I) \Leftrightarrow s=0.1\bar{x}
και από την (ΙΙ) προκύπτει:
\Leftrightarrow{\bar{x}(1-P(A))=0.1\bar{x} \Leftrightarrow 1-P(A)=0.1 \Leftrightarrow P(A)=0.9}

* Αν \bar{x}<0 τότε (I) \Leftrightarrow s=-0.1\bar{x}
και από την (ΙΙ) προκύπτει:
\Leftrightarrow{\bar{x}(1-P(A))=-0.1\bar{x} \Leftrightarrow 1-P(A)=-0.1 \Leftrightarrow P(A)=1.1}, απορρίπτεται.

Αφού CV=0.1 το δείγμα είναι ομοιογενές.

Επιφυλλάσομαι για το (γ)...

Υ.Γ. Ευχαριστώ το Χρήστο για την επισήμανση, η οποία και ενσωματώθηκε εκ των υστέρων.
τελευταία επεξεργασία από Πρωτοπαπάς Λευτέρης σε Σάβ Φεβ 19, 2011 4:38 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
pana1333
Δημοσιεύσεις: 1028
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Re: Επαναληπτική

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από pana1333 » Σάβ Φεβ 19, 2011 2:50 pm

Λευτέρη ευχαριστώ για την αναλυτική (όπως πάντα) λύση σου......δες λίγο τις περιπτώσεις στο α).... και περιμένω και το γ) :)

Βασίλη (Κακαβά), Λευτέρη ευχαριστώ και για τα σχόλια σας για το γ) ερώτημα. Έχετε προφανώς δίκιο. Αν και την κοίταξα 100 φορές για τυχόν λάθος το έκανα στη διατύπωση... Είναι λάθος ορισμένο το εμβαδόν. Το δοσμένο εμβαδόν είναι το εμβαδόν τριγώνου που σχηματίζει η εφαπτομένη με τους άξονες.....


Το διορθώνω και στην αρχική εκφώνηση.....


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2771
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Επαναληπτική

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Σάβ Φεβ 19, 2011 7:44 pm

γ) Λύνω το ερώτημα θεωρώντας γνωστά τα στοιχεία του (β) ερωτήματος.

Το σημείο Μ είναι το M(0,\bar{x}) και η κλίση της εφαπτομένης στο Μ είναι
f{'}(0)=\bar{x}(1-0.9)=0.1\bar{x}.

Συνεπώς η εφαπτομένη (ε) της γραφικής παράστασης της f στο M είναι:
y-\bar{x}=0.1\bar{x}\cdot x (I)

Το σημείο τομής της (ε) με τον x'x είναι το \displaystyle{A \left( -10,0\right)},
ενώ το σημείο τομής της (ε) με τον y'y είναι το \displaystyle{B \left(0,\bar{x}}\right)}.
Το εμβαδό που σχηματίζει η (ε) με τους άξονες είναι:
\displaystyle{E=\frac{1}{2}\cdot OA \cdot OB =\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \left | \bar{x} \right |}.

Όμως
\displaystyle{P(A)=0.09E \Leftrightarrow \frac{9}{10}=\frac{9}{100} \cdot \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \left | \bar{x} \right | \Leftrightarrow}

\displaystyle{ \Leftrightarrow 1=\frac{1}{2} \cdot \left | \bar{x} \right | \Leftrightarrow \bar{x}=2}

Συνεπώς: s=0.1 \cdot 2 =0.2.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης