Μαθηματικά γενικής, συλλογή θεμάτων στο 1ο κεφάλαιο.

Συντονιστής: xr.tsif

Άβαταρ μέλους
ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
Δημοσιεύσεις: 681
Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα
Επικοινωνία:

Μαθηματικά γενικής, συλλογή θεμάτων στο 1ο κεφάλαιο.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ » Πέμ Δεκ 01, 2011 12:08 pm

Για την παραμελημένη γενική παιδεία,ας δημιουργήσουμε ένα αρχείο ασκήσεων.
Ας ξεκινήσουμε με το 1ο κεφάλαιο.Αφού μαζέψουμε ένα ικανό αριθμό θέματων, το κάνουμε ένα αρχείο ώστε να είναι χρήσιμο απο όλους μας.
Μέτά συνέχιζουμε (αν υπάρχει διάθεση) και στα άλλα κεφάλαια.
Ας προσπαθήσουμε τα θέματα να έχουν ένα ικανό αριθμό υποερωτημάτων (τουλάχιστον 3 ερωτήματα).
Επίσης,να περιμένουμε να έχουμε πρώτα απάντηση στα προηγούμενα θέματα και μετά να δημοσιεύουμε νέο θέμα.
Καλό θα είναι ,αν τα θέματα υπάρχουν σε διάφορα βοήθηματα, να αναφέρετε η πηγή

ΑΣΚΗΣΗ 1η

Δίνονται οι συνάρτησεις \displaystyle{f(x) = \frac{{x^2  + \alpha x + \beta }}{{x - 1}}} με \displaystyle{\alpha ,\beta  \in R} και \displaystyle{g(x) = x^2  - 2x - 15}

Αν η γραφική παράσταση της \displaystyle{f} τέμνει τον άξονα \displaystyle{\psi '\psi } στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται απο το σημείο \displaystyle{{\rm B}( - 1,2)}

i.Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \displaystyle{f}

ii. Να προσδιορίσετε τα \displaystyle{\alpha ,\beta  \in R}

Για \displaystyle{a = 2} και \displaystyle{\beta  =  - 3}


iii.Να υπολογίσετε το \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x)}

iv. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης \displaystyle{f} είναι πάνω απο την γραφική παράσταση της συνάρτησης \displaystyle{g}

v. Να υπολογίσετε το \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 3} \frac{{f(x)}}{{g(x)}}}

vi. Να υπολογίσετε το \displaystyle{
\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{g(3 - x) - g(2)}}{{f(x) - 3}}
}

Παπαδάκης Βασίλης (εκδόσεις Σαββάλας)

_____________________________________________________________________________
Λέξεις κλειδιά: Μαθηματικά γενικής, Επαναληπτικές ασκήσεις σε διαφορικό λογισμο,
συλλογή θεμάτων
_____________________________________________________________________________


\displaystyle{
{\rm K}\alpha \tau \sigma \dot \iota \pi o\delta \alpha \varsigma \begin{array}{*{20}c}
   {} & {\Delta \eta \mu \dot \eta \tau \rho \eta \varsigma }  \\
\end{array}
}
pana1333
Δημοσιεύσεις: 1028
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά γενικής,συλλογή θεμάτων στο 1ο κεφάλαιο.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από pana1333 » Πέμ Δεκ 01, 2011 3:28 pm

Δημήτρη καλησπέρα, όμορφη πρωτοβουλία. Δίνω τη λύση μου σε "κρυφό" διότι θα προτιμούσα να την έλυναν οι μαθητές μας και γιατί θέλω να τη ξανακοιτάξω. Επίσης θα πρότεινα να βάζουμε δικές μας ασκήσεις.

Μιας και πέρασε ο καιρός.....ας φανερωθεί!

i) Πρέπει x-1\neq 0\Leftrightarrow x\neq 1. Άρα πεδίο ορισμού της f είναι το R-\left\{1 \right\}.

ii) Αφού η γραφική παράσταση της \displaystyle{f} τέμνει τον άξονα \displaystyle{\psi '\psi } στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται απο το σημείο \displaystyle{{\rm B}( - 1,2)}, είναι f\left(0 \right)=3 άρα \frac{\beta }{-1}=3\Leftrightarrow \beta =-3 και f\left(-1 \right)=2 άρα \frac{1-\alpha -3}{-2}=2\Leftrightarrow -\alpha -3=-5\Leftrightarrow \alpha =2.

iii) Για \alpha =2,\beta =-3, ο τύπος της συνάρτησης είναι f\left(x \right)=\frac{x^{2}+2x-3}{x-1}=\frac{\left(x-1 \right)\left(x+3 \right)}{x-1}=x+3, x\neq 1.
Για x\neq 1, έχουμε \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x)}=\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}\frac{x^{2}+2x-3}{x-1}}=\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}\frac{\left( x-1\right)\left(x+3 \right)}{x-1}}=\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}x+3\right}=4.

iv) Είναι f\left(x \right)=x+3, x\neq 1. Για να βρούμε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης \displaystyle{f} είναι πάνω απο την γραφική παράσταση της συνάρτησης \displaystyle{g} λύνουμε την ανίσωση f\left(x \right)>g\left(x \right)\Leftrightarrow f\left(x \right)-g\left(x \right)>0\Leftrightarrow x+3>x^{2}-2x-15\Leftrightarrow -x^{2}+3x+18>0.
Επομένως x\epsilon \left(-3,1 \right)\bigcup{\left(1,6 \right)}

v) Για x\neq 5 και x\neq -3 είναι \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 3} \frac{{f(x)}}{{g(x)}}}=\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 3} \frac{x+3}{\left(x-5 \right)\left(x+3 \right)}}=\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 3} \frac{1}{\left(x-5 \right)}}=-\frac{1}{8}.

vi) Είναι g\left(3-x \right)=\left(3-x \right)^{2}-2\left(3-x \right)-15=x^{2}-4x-12, g\left(2 \right)=4-4-15=-15 και f\left(x \right)-3=x+3-3=x. Επομένως για x\neq 1 είναι \displaystyle{
\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{g(3 - x) - g(2)}}{{f(x) - 3}}
}=\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{x^{2}-4x-12+15}{x}}=\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{x^{2}-4x+3}{x}}=\frac{0}{1}=0
τελευταία επεξεργασία από pana1333 σε Κυρ Δεκ 04, 2011 2:32 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
perpant
Δημοσιεύσεις: 441
Εγγραφή: Πέμ Αύγ 11, 2011 2:09 am
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Μαθηματικά γενικής,συλλογή θεμάτων στο 1ο κεφάλαιο.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από perpant » Πέμ Δεκ 01, 2011 6:57 pm

Μία αγνώστου προελέυσεως την οποία έχω σε κάποιο φυλλαδίο

ΑΣΚΗΣΗ 2
Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{
f\left( x \right) = x^2 \ln \frac{1}{x}
}

a) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.

b) να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο \displaystyle{
	A\left( {1,0} \right)
}

c) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο Α σχηματίζει με τον άξονα \displaystyle{
	x'x
}

γωνία \displaystyle{\frac{{3\pi }}{4}rad}
d) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.

e) Να αποδείξετε ότι:

i. \displaystyle{	\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) + \ln x}}{{x - 1}} = 0}

ii. \displaystyle{	\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f''\left( x \right) + 2\ln x + x}}{{x^2  - 9}} = \frac{1}{6}	}

f) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της \displaystyle{	M\left( {e,f\left( e \right)} \right)	}


Παντούλας Περικλής
pana1333
Δημοσιεύσεις: 1028
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά γενικής,συλλογή θεμάτων στο 1ο κεφάλαιο.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από pana1333 » Πέμ Δεκ 01, 2011 7:44 pm

Τελικά κακώς έκανα μια βιαστική αρχή. Δε την πρόλαβα γι' αυτό τη βάζω σε hide. Αν θέλει κάποιος ας την ολοκληρώσει αλλιώς ........επανέρχομαι

α) Πρέπει \frac{1}{x}>0, άρα x>0 άρα πεδίο ορισμού το \left(0,+\propto  \right). Ο τύπος της f γίνεται f\left(x \right)=x^{2}ln\frac{1}{x}=x^{2}\left(ln1-lnx \right)=-x^{2}lnx.

β) Για να διέρχεται η γραφική παράσταση της f από το σημείο \displaystyle{A\left( {1,0} \right)} πρέπει f(1)=0. Πράγματι f\left(1 \right)=1ln1=0

γ) Για να βρούμε τη γωνία που σχηματίζει η γραφική παράσταση της f με τον άξονα \displaystyle{x'x} στο Α, έστω \phi αυτή, πρέπει να βρούμε το f'\left(1 \right), αφού είναι \epsilon \phi \hat{\phi} =f'\left(1 \right).

Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο \left(0,+\propto  \right) με f'\left(x \right)=\left( -x^{2}lnx\right)'=\left(-x^{2} \right)'lnx-x^{2}\left( lnx\right)'=-x\left(2lnx+1 \right). Άρα για x=1 είναι f'\left(1 \right)=-1.

Άρα \phi =135^{0} ή \displaystyle{\phi =\frac{{3\pi }}{4}rad}


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
Άβαταρ μέλους
ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
Δημοσιεύσεις: 681
Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά γενικής,συλλογή θεμάτων στο 1ο κεφάλαιο.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ » Πέμ Δεκ 01, 2011 8:21 pm

a.Πρέπει \displaystyle{\frac{1}{x} > 0 \Leftrightarrow x > 0} .Άρα \displaystyle{ x \in (0, + \infty )}

b. \displaystyle{f(1) = 1^2 \ln \frac{1}{1} = 1\ln 1 = 0} άρα η \displaystyle{C_f } διέρχεται από το σημείο \displaystyle{A(1,0)}

c. \displaystyle{f(x) = x^2 \ln \frac{1}{x} = x^2 (\ln 1 - \ln x) =  - x^2 \ln x}

\displaystyle{f'(x) = ( - x^2 )'\ln x - x^2 (\ln x)' =  - 2x\ln x - x^2 \frac{1}{x} =  - 2x\ln x - x}

\displaystyle{f'(1) =  - 2\ln 1 - 1 =  - 1}

Οπότε \displaystyle{
\varepsilon \phi \omega  =  - 1 \Rightarrow \varepsilon \phi \omega  = \varepsilon \phi (\frac{{3\pi }}{4})\mathop  \Rightarrow \limits^{0 \le \omega  \le 2\pi } \omega  = \frac{{3\pi }}{4}
}

d.\displaystyle{
f'(x) = 0 \Leftrightarrow  - 2x\ln x - x = 0 \Leftrightarrow  - x(2\ln x + 1) = 0\mathop  \Leftrightarrow \limits^{x > 0} 2\ln x + 1 = 0 \Leftrightarrow \ln x =  - \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\sqrt e }} = \frac{{\sqrt e }}{e}
}

\displaystyle{
f'(x) > 0 \Leftrightarrow  - 2x\ln x - x > 0 \Leftrightarrow  - x(2\ln x + 1) > 0\mathop  \Leftrightarrow \limits^{x > 0} 2\ln x + 1 < 0 \Leftrightarrow \ln x <  - \frac{1}{2} \Leftrightarrow 0 < x < \frac{{\sqrt e }}{e}
}

Επομένως η \displaystyle{f} είναι γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{(0,\frac{{\sqrt e }}{e}]} και γνησίως φθίνουσα στο \displaystyle{[\frac{{\sqrt e }}{e}, + \infty )}.

Παρουσιάζει ολικό μέγιστο στη θέση \displaystyle{x = \frac{{\sqrt e }}{e}} με τιμή \displaystyle{f(\frac{{\sqrt e }}{e}) = \frac{1}{{2e}}}

e.i.
\displaystyle{
\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) + \ln x}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - x^2 \ln x + \ln x}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - \ln x(x^2  - 1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - \ln x(x - 1)(x + 1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} [ - \ln x(x + 1)] =  - 2\ln 1 = 0
}

e.ii.

\displaystyle{f''(x) = ( - 2x)'\ln x - 2x(\ln x)' - (x)' =  - 2\ln x - 2 - 1 =  - 2\ln x - 3}

\displaystyle{
\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f''(x) + 2\ln x + x}}{{x^2  - 9}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{ - 2\ln x - 3 + 2\ln x + x}}{{(x - 3)(x + 3)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{(x - 3)}}{{(x - 3)(x + 3)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{1}{{x + 3}} = \frac{1}{6}
}

f.
\displaystyle{f(e) =  - e^2 } και \displaystyle{f'(e) =  - 3e} άρα η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο \displaystyle{M(e,f(e))} είναι η \displaystyle{\psi  - f(e) = f'(e)(x - e) \Leftrightarrow \psi  + e^2  =  - 3e(x - e) \Leftrightarrow \psi  =  - 3ex + 2e^2 }


\displaystyle{
{\rm K}\alpha \tau \sigma \dot \iota \pi o\delta \alpha \varsigma \begin{array}{*{20}c}
   {} & {\Delta \eta \mu \dot \eta \tau \rho \eta \varsigma }  \\
\end{array}
}
pana1333
Δημοσιεύσεις: 1028
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά γενικής,συλλογή θεμάτων στο 1ο κεφάλαιο.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από pana1333 » Παρ Δεκ 02, 2011 2:28 am

Καλημέρα. Δίνω και μία δική μου. Έχει λίγη ταλαιπωρία η λύση της γιατί έχει πολλά ερωτήματα και το Latex όσο να πεις κουράζει, αλλά έχει λίγο από όλα!

ΑΣΚΗΣΗ 3


Δίνονται οι συναρτήσεις f,g με τύπους f\left( x \right) = \frac{{e^x }}{x} και g\left( x \right) = \frac{{x^4 }}{x}

1) Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των f,g

2) Να ορίσετε τη συνάρτηση h = f \cdot g. Διέρχεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής από την αρχή των αξόνων;

3) Να υπολογίσετε τα όρια:

α) \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{e^x x^2 }}{{f\left( x \right)g\left( x \right)}}

β) \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {f\left( x \right) - 1} \right)x

γ) \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{h\left( x \right) - xf\left( x \right)}}{{x - 1}}

4) Δίνεται συνάρτηση q με τύπο q\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {xf\left( x \right)}  - 1}}{{e^x  - 1}},\,\,\,x \in R^*  \\ \ln k + \frac{1}{2},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 0 \\ \end{array} \right\}, όπου k πραγματικός αριθμός. Να βρεθεί ο αριθμός k ώστε η συνάρτηση να είναι συνεχής στο 0. Είναι η συνάρτηση συνεχής για x \ne 0;

5) Αν ισχύει ότι \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {f\left( x \right) - x^{ - 1} } \right) = 1 και s\left(x \right)=\begin{cases}
xf\left(x \right)& \text{ , } x\neq 0  \\ 
 1 & \text{ , } x= 0 
\end{cases}, να βρεθεί ο αριθμός s'\left( 0 \right) (με τον ορισμό της παραγώγου).

6) Να βρεθεί η πρώτη και δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης h.

7) Να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης f\left( {g\left( x \right)} \right).

8) Να δείξετε ότι f'\left( x \right)\left( {\ln f\left( x \right)} \right)^\prime   - \frac{{\left( {x + 1} \right)^2 e^x }}{{g\left( x \right)}} =  - 4\frac{{f\left( x \right)}}{x} για κάθε x > 0

9) Να βρεθούν η εξισώσεις της εφαπτομένης της C_g που είναι κάθετες στην ευθεία με εξίσωση y =  - \frac{x}{3} + 1.

10) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τύπο f_1 \left( x \right) =\frac{{h\left( x \right)}}{{e^x }} στο σημείο \left( {x_0 ,f_{1}\left( {x_0 } \right)} \right) και το εμβαδόν E\left( {x_0 } \right) του τριγώνου OAB που σχηματίζεται από την ευθεία εφαπτομένης και τους άξονες xx',yy'. Να βρεθεί επίσης ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού E\left( {x_0 } \right) του τριγώνου ΟΑΒ για x_0  = 2.

11) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα η συνάρτηση h, x < 0

12) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα η συνάρτηση f\left( {g\left( x \right)} \right), x > 0.

13) Δίνεται η συνάρτηση f_2 \left( x \right) = \frac{{g\left( x \right)}}{x} + \frac{{2a \cdot f\left( x \right)}}{{e^x }} + \beta, x \in R^* \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,a,\beta  \in R. Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο με τετμημένη x_0  = 2 είναι παράλληλη στον άξονα των x, και x=1 είναι λύση της εξίσωσης f_2 \left( x \right) = 0, να αποδείξετε ότι \alpha=8 και \beta=-17. Έπειτα για τις τιμές των \alpha και \beta που βρήκατε να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
τελευταία επεξεργασία από pana1333 σε Παρ Δεκ 02, 2011 8:40 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
perpant
Δημοσιεύσεις: 441
Εγγραφή: Πέμ Αύγ 11, 2011 2:09 am
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Μαθηματικά γενικής,συλλογή θεμάτων στο 1ο κεφάλαιο.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από perpant » Παρ Δεκ 02, 2011 1:44 pm

1) Και για τις δύο συναρτήσεις πρέπει \displaystyle{
x \ne 0
}
. Οπότε έχουμε \displaystyle{
D_f  = \left( { - \infty ,0} \right) \cup \left( {0, + \infty } \right)
}
και \displaystyle{
D_g  = \left( { - \infty ,0} \right) \cup \left( {0, + \infty } \right)
}

2) Έχουμε \displaystyle{
h\left( x \right) = \left( {f \cdot g} \right)\left( x \right) = f\left( x \right) \cdot g\left( x \right)
}
με \displaystyle{
x \in D_f  \cap D_g 
}
. Άρα \displaystyle{
h\left( x \right) = \frac{{e^x }}{x}\frac{{x^4 }}{x} = e^x x^2 
}
με \displaystyle{
x \ne 0
}
. Επιπλέον αφού \displaystyle{
x \ne 0
}
, η \displaystyle{
C_h 
}
δεν διέρχεται από την αρχή των αξόνων
3)a) \displaystyle{
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{e^x x^2 }}{{f\left( x \right)g\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{e^x x^2 }}{{e^x x^2 }} = 1
}

b) \displaystyle{
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {f\left( x \right) - 1} \right)x = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{e^x  - x}}{x}x = 1
}

c) \displaystyle{
\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{h\left( x \right) - xf\left( x \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{e^x x^2  - e^x }}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{e^x \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x - 1}} = 2e
}


4)Για να είναι η \displaystyle{
q
}
συνεχής στο \displaystyle{
0
}
πρέπει \displaystyle{
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} q\left( x \right) = q\left( 0 \right)
}
. Όμως
\displaystyle{
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} q\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {xf\left( x \right)}  - 1}}{{e^x  - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {e^x }  - 1}}{{e^x  - 1}}
}
\displaystyle{
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt {e^x }  - 1} \right)\left( {\sqrt {e^x }  + 1} \right)}}{{\left( {e^x  - 1} \right)\left( {\sqrt {e^x }  + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\sqrt {e^x }  + 1}} = \frac{1}{2} 
}

Άρα \displaystyle{
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} q\left( x \right) = q\left( 0 \right) \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \ln k + \frac{1}{2} \Leftrightarrow k = 1
}

Τέλος για \displaystyle{
x \ne 0
}
η \displaystyle{
q
}
συνεχής ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων
5)Η συνάρτηση \displaystyle{
S\left( x \right)
}
ορίζεται για \displaystyle{
x \ne 0
}
. Πώς να βρούμε \displaystyle{
S'\left( 0 \right)
}
; Είναι κάτι που δεν βλέπω;


Για τα υπόλοιπα θα επανέλθω αργότερα


Παντούλας Περικλής
pana1333
Δημοσιεύσεις: 1028
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά γενικής,συλλογή θεμάτων στο 1ο κεφάλαιο.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #8 από pana1333 » Παρ Δεκ 02, 2011 2:33 pm

Perpant ευχαριστώ για την προσπάθεια. Για δες το τώρα!


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
Άβαταρ μέλους
ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
Δημοσιεύσεις: 681
Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά γενικής,συλλογή θεμάτων στο 1ο κεφάλαιο.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #9 από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ » Παρ Δεκ 02, 2011 2:41 pm

Ας συνεχίσω στά άλλα
5.Έχουμε \displaystyle{
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (f(x) - x^{ - 1} ) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (\frac{{e^x }}{x} - \frac{1}{x}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (\frac{{e^x  - 1}}{x}) = 1
}

Ακόμα \displaystyle{s(x) = xf(x) = x\frac{{e^x }}{x} = e^x }

\displaystyle{s'(0) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{s(0 + h) - s(0)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{s(h) - s(0)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{e^h  -1}}{h}= 1}

6.
\displaystyle{
\begin{array}{l}
 h(x) = x^2 e^x ,x \ne 0 \\ 
 h'(x) = 2xe^x  + x^2 e^x ,x \ne 0 \\ 
 h''(x) = 2e^x  + 2xe^x  + 2xe^x  + x^2 e^x  = 2e^x  + 4xe^x  + x^2 e^x ,x \ne 0 \\ 
 \end{array}
}

7.
Για να ορίζεται η \displaystyle{f(g(x))} πρέπει \displaystyle{x \ne 0} και \displaystyle{g(x) \ne 0 \Leftrightarrow x^3  \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 0}. Άρα πρέπει \displaystyle{x \ne 0}

Έχουμε \displaystyle{\kappa (x) = f(g(x)) = f(x^3 ) = \frac{{e^{x^3 } }}{{x^3 }}}

οπότε \displaystyle{
\kappa '(x) = (\frac{{e^{x^3 } }}{{x^3 }})' = \frac{{3x^2 e^{x^3 } x^3  - e^{x^3 } 3x^2 }}{{x^6 }} = \frac{{3e^{x^3 } x^3  - 3e^{x^3 } }}{{x^4 }}
}

8.
\displaystyle{f(x) = \frac{{e^x }}{x},x \ne 0}

\displaystyle{f'(x) = \frac{{xe^x  - e^x }}{{x^2 }} = \frac{{e^x (x - 1)}}{{x^2 }},x \ne 0}

για \displaystyle{x > 0} έχουμε \displaystyle{
\ln (f(x)) = \ln (\frac{{e^x }}{x}) = \ln e^x  - \ln x = x - \ln x
}

\displaystyle{
[\ln (f(x))]' = (x - \ln x)' = 1 - \frac{1}{x} = \frac{{x - 1}}{x}
}

\displaystyle{
f'(x) \cdot [\ln (f(x))]' - \frac{{(x + 1)^2 e^x }}{{g(x)}} = \frac{{e^x (x - 1)}}{{x^2 }} \cdot \frac{{x - 1}}{x} - \frac{{(x + 1)^2 e^x }}{{x^3 }} = \frac{{e^x (x - 1)^2 }}{{x^3 }} - \frac{{(x + 1)^2 e^x }}{{x^3 }}
}

\displaystyle{
 = \frac{{e^x (x^2  - 2x + 1 - x^2  - 2x - 1)}}{{x^3 }} = \frac{{ - 4xe^x }}{{x^3 }} =  - \frac{{4e^x }}{{x^2 }} =  - 4\frac{{f(x)}}{x}
}


\displaystyle{
{\rm K}\alpha \tau \sigma \dot \iota \pi o\delta \alpha \varsigma \begin{array}{*{20}c}
   {} & {\Delta \eta \mu \dot \eta \tau \rho \eta \varsigma }  \\
\end{array}
}
perpant
Δημοσιεύσεις: 441
Εγγραφή: Πέμ Αύγ 11, 2011 2:09 am
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Μαθηματικά γενικής,συλλογή θεμάτων στο 1ο κεφάλαιο.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #10 από perpant » Παρ Δεκ 02, 2011 4:42 pm

Ας συνεχίσω:
9)Η \displaystyle{
g\left( x \right) = x^3 ,x \ne 0
}
είναι παραγωγίσιμη για\displaystyle{
x \ne 0
}
με \displaystyle{
g'\left( x \right) = 3x^2 
}
. Αν (εφ) η ζητούμενη εφαπτομένη και (ε): \displaystyle{
y =  - \frac{x}{3} + 1
}
τότε \displaystyle{
\lambda _{\varepsilon \phi }  \cdot \lambda _\varepsilon   =  - 1
}
. Αν επιπλέον \displaystyle{
M\left( {x_o ,g\left( {x_o } \right)} \right)
}
το σημείο επαφής τότε έχουμε \displaystyle{
\lambda _{\varepsilon \phi }  \cdot \lambda _\varepsilon   =  - 1 \Leftrightarrow g'\left( {x_o } \right) \cdot \lambda _\varepsilon   =  - 1 \Leftrightarrow 3x_o ^2  \cdot \frac{{ - 1}}{3} =  - 1 \Leftrightarrow x_o  =  \pm 1
}
. Άρα τα σημεία επαφής είναι \displaystyle{
M\left( {1,g\left( 1 \right)} \right) = \left( {1,1} \right)
}
και \displaystyle{
M'\left( { - 1,g\left( { - 1} \right)} \right) = \left( { - 1, - 1} \right)
}
και οι ζητούμενες εφαπτομένες έχουν εξισώσεις: \displaystyle{
y - g\left( 1 \right) = 3\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow y = 3x - 2
}
και \displaystyle{
y - g\left( { - 1} \right) = 3\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow y = 3x + 2
}
αντίστοιχα.
10) Για την \displaystyle{
f_1 
}
έχουμε \displaystyle{
f_1 \left( x \right) = \frac{{h\left( x \right)}}{{e^x }} = \frac{{e^x x^2 }}{{e^x }} = x^2 
}
με \displaystyle{
x \ne 0
}
.Η εφαπτομένη της \displaystyle{
C_{f_1 } 
}
στο σημείο της \displaystyle{
\left( {x_o ,f_1 \left( {x_o } \right)} \right)
}
είναι η ευθεία που διέρχεται από το \displaystyle{
\left( {x_o ,f_1 \left( {x_o } \right)} \right)
}
και έχει συντελεστή διεύθυνσης \displaystyle{
\lambda  = f_1 ^\prime  \left( {x_o } \right)
}
. Άρα έχει εξίσωση \displaystyle{
y - f_1 \left( {x_o } \right) = f_1 ^\prime  \left( {x_o } \right)\left( {x - x_o } \right) \Leftrightarrow y - x_o ^2  = 2x_o \left( {x - x_o } \right)
}
\displaystyle{
 \Leftrightarrow y = 2x_o x - x_o ^2 
}

Τα σημεία τομής της εφαπτομένης με τους άξονες προκύπτουν για \displaystyle{
x = 0
}
και \displaystyle{
y = 0
}
και είναι τα σημεία \displaystyle{
A\left( {0, - x_o ^2 } \right)
}
και \displaystyle{
B\left( {\frac{{x_o }}{2},0} \right)
}
. Το εμβαδόν του τριγώνου \displaystyle{
OAB
}
είναι \displaystyle{
\left( {OAB} \right) = \frac{1}{2}\left( {OA} \right)\left( {OB} \right) = \frac{1}{2}\left| { - x_o ^2 } \right|\left| {\frac{{x_o }}{2}} \right| = \frac{1}{4}\left| {x_o ^3 } \right|
}
τ.μ.
Θέλουμε ρυθμό μεταβολής του εμβαδού για \displaystyle{
x_o  = 2
}
. Θεωρώ τη συνάρτηση \displaystyle{
E\left( x \right) = \frac{1}{4}x^3 ,x > 0
}
, η οποία είναι παραγωγίσιμη για \displaystyle{
x > 0
}
με \displaystyle{
E'\left( x \right) = \frac{3}{4}x^2 
}
. Οπότε ο ζητούμενος ρυθμός μεταβολής είναι \displaystyle{
E'\left( 2 \right) = 3
}
(Μονάδες;)
Παντούλας Περικλής


Παντούλας Περικλής
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5036
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά γενικής,συλλογή θεμάτων στο 1ο κεφάλαιο.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #11 από Γιώργος Απόκης » Παρ Δεκ 02, 2011 5:05 pm

perpant έγραψε:
. Το εμβαδόν του τριγώνου \displaystyle{
OAB
}
είναι \displaystyle{
\left( {OAB} \right) = \frac{1}{2}\left( {OA} \right)\left( {OB} \right) = \frac{1}{2}\left| { - x_o ^2 } \right|\left| {\frac{{x_o }}{2}} \right| = \frac{1}{4}\left| {x_o ^3 } \right|
}
τ.μ.
Θέλουμε ρυθμό μεταβολής του εμβαδού για \displaystyle{
x_o  = 2
}
. Θεωρώ τη συνάρτηση \displaystyle{
E\left( x \right) = \frac{1}{4}x^3 ,x > 0
}


, η οποία είναι παραγωγίσιμη για \displaystyle{
x > 0
}
με \displaystyle{
E'\left( x \right) = \frac{3}{4}x^2 
}
. Οπότε ο ζητούμενος ρυθμός μεταβολής είναι \displaystyle{
E'\left( 2 \right) = 3
}
(Μονάδες;)
Παντούλας Περικλής


Kαλησπέρα. Μια... ελάχιστη συνεισφορά στην τεράστια άσκηση: οι μονάδες μέτρησης θα είναι

\displaystyle{\frac{\mu o \nu \acute{a} \delta \epsilon s~E}{\mu o \nu \acute{a} \delta a~x}=\frac{\tau \epsilon \tau . \mu o \nu \acute{a} \delta \epsilon s}{\mu o \nu \acute{a} \delta a~\mu \acute{\eta} \kappa o \upsilon s}=\mu o \nu \acute{a} \delta \epsilon s~\mu \acute{\eta} \kappa o \upsilon s}


Γιώργος
perpant
Δημοσιεύσεις: 441
Εγγραφή: Πέμ Αύγ 11, 2011 2:09 am
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Μαθηματικά γενικής,συλλογή θεμάτων στο 1ο κεφάλαιο.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #12 από perpant » Παρ Δεκ 02, 2011 6:15 pm

Και συνεχίζω.
11) Η \displaystyle{
h\left( x \right) = e^x x^2 ,x < 0
}
είναι παραγωγίσιμη για \displaystyle{
x < 0
}
με \displaystyle{
h'\left( x \right) = e^x x^2  + e^x 2x = e^x \left( {x^2  + 2x} \right)
}
. Τα σημεία μηδενισμού της είναι \displaystyle{
x =  - 2
}
και \displaystyle{
x = 0 \notin D_h 
}
. Για το πρόσημό της έχουμε \displaystyle{
h'\left( x \right) > 0
}
για \displaystyle{
x \in \left( { - \infty , - 2} \right)
}
και \displaystyle{
h'\left( x \right) < 0
}
για \displaystyle{
x \in \left( { - 2,0} \right)
}
. Η \displaystyle{
h
}
είναι λοιπόν γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{
( - \infty , - 2]
}
και γνησίως φθίνουσα στο \displaystyle{
[ - 2,0)
}
και παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο στο \displaystyle{
x_o  =  - 2
}
το \displaystyle{
h\left( { - 2} \right) = \frac{4}{{e^2 }}
}

12) Έχουμε \displaystyle{
f\left( {g\left( x \right)} \right) = \frac{{e^{g\left( x \right)} }}{{g\left( x \right)}} = \frac{{e^{x^3 } }}{{x^3 }}
}
για \displaystyle{
x > 0
}
. Έστω \displaystyle{
\omega \left( x \right) = f\left( {g\left( x \right)} \right)
}
. Τότε \displaystyle{
\omega \left( x \right) = \frac{{e^{x^3 } }}{{x^3 }}
}
για \displaystyle{
x > 0
}
. Η \displaystyle{
\omega \left( x \right)
}
παραγωγίσιμη για \displaystyle{
x > 0
}
με \displaystyle{
\omega '\left( x \right) = \left( {\frac{{e^{x^3 } }}{{x^3 }}} \right)^\prime   = \frac{{3e^{x^3 } }}{{x^4 }}\left( {x^3  - 1} \right)
}
. Το σημεία μηδενισμού της είναι το \displaystyle{
x_o  = 1
}
και το πρόσημό της είναι \displaystyle{
\omega '\left( x \right) < 0
}
για \displaystyle{
x \in \left( {0,1} \right)
}
και \displaystyle{
\omega '\left( x \right) > 0
}
για \displaystyle{
x \in \left( {1, + \infty } \right)
}
. Η \displaystyle{
\omega \left( x \right)
}
είναι λοιπόν γνησίως φθίνουσα στο \displaystyle{
(0,1]
}
και γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{
[1, + \infty )
}
και παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο \displaystyle{
x_o  = 1
}
το \displaystyle{
\omega \left( 1 \right) = e
}
Λίγο ακόμη έμεινε :D


Παντούλας Περικλής
Άβαταρ μέλους
ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
Δημοσιεύσεις: 681
Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά γενικής,συλλογή θεμάτων στο 1ο κεφάλαιο.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #13 από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ » Παρ Δεκ 02, 2011 8:52 pm

13.
\displaystyle{
f_2 (x) = \frac{{g(x)}}{x} + \frac{{2\alpha f(x)}}{{e^x }} + \beta  = \frac{{x^3 }}{x} + \frac{{2\alpha \frac{{e^x }}{x}}}{{e^x }} + \beta  = x^2  + \frac{{2\alpha }}{x} + \beta ,x \in ( - \infty ,0) \cup (0, + \infty )
}

Έχουμε \displaystyle{f_2 (1) = 0 \Leftrightarrow 1 + 2\alpha  + \beta  = 0\begin{array}{*{20}c}   {} & {(1)}  \\\end{array}}
η \displaystyle{f_2 } παραγωγίσιμη στο \displaystyle{( - \infty ,0) \cup (0, + \infty )} ώς πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με \displaystyle{
f_2 ^\prime  (x) = 2x - \frac{{2\alpha }}{{x^2 }}
}
Ακόμα έχουμε \displaystyle{f'_2 (2) = 0 \Leftrightarrow 4 - \frac{{2\alpha }}{4} = 0 \Leftrightarrow \alpha  = 8\begin{array}{*{20}c}   {} & {(2)}  \\\end{array}}
οπότε απο την (1) έχουμε \displaystyle{\beta  =  - 17}
Επομένως
\displaystyle{f_2 (x) = x^2  + \frac{{16}}{x} - 17,x \in ( - \infty ,0) \cup (0, + \infty )}

\displaystyle{f'_2 (x) = 2x - \frac{{16}}{{x^2 }} = \frac{{2x^3  - 16}}{{x^2 }},x \in ( - \infty ,0) \cup (0, + \infty )}

\displaystyle{f'_2 (x) = 0 \Leftrightarrow \frac{{2x^3  - 16}}{{x^2 }} = 0 \Leftrightarrow x = 2}

\displaystyle{f'_2 (x) > 0 \Leftrightarrow \frac{{2x^3  - 16}}{{x^2 }} > 0 \Leftrightarrow x > 2}

Επομένως η \displaystyle{f_2 } είναι γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{[2, + \infty )}\displaystyle{f_2 } είναι γνησίως φθίνουσα στο \displaystyle{( - \infty ,0)} καθώς και στο \displaystyle{(0,2]}
Παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στη θέση \displaystyle{x_0  = 2} με τιμή \displaystyle{f_2 (2) = 4 + 8 - 17 =  - 5}


\displaystyle{
{\rm K}\alpha \tau \sigma \dot \iota \pi o\delta \alpha \varsigma \begin{array}{*{20}c}
   {} & {\Delta \eta \mu \dot \eta \tau \rho \eta \varsigma }  \\
\end{array}
}
pana1333
Δημοσιεύσεις: 1028
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά γενικής,συλλογή θεμάτων στο 1ο κεφάλαιο.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #14 από pana1333 » Παρ Δεκ 02, 2011 8:56 pm

Ευχαριστώ πολύ το Δημήτρη και τον Παντελή για τις λύσεις τους και τις σημαντικές διορθώσεις τους.


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
Άβαταρ μέλους
ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
Δημοσιεύσεις: 681
Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά γενικής,συλλογή θεμάτων στο 1ο κεφάλαιο.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #15 από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ » Παρ Δεκ 02, 2011 9:06 pm

Ας πάμε και στην επόμενη άσκηση

ΑΣΚΗΣΗ 4η

Έστω η συνάρτηση \displaystyle{f(x) = \frac{1}{x},x > 0}

Στη συνάρτηση \displaystyle{
g(x) = \left\{ \begin{array}{l}
 (\sqrt {x + 1}  - 1)f(x),x > 0 \\ 
 \alpha ,x = 0 \\ 
 \end{array} \right.
}

i.Να βρείτε το \displaystyle{\alpha  \in R} η συνάρτηση \displaystyle{g} να είναι συνεχής στο \displaystyle{x_0  = 0}

ii.Να αποδείξετε οτι η εφαπτομένη της \displaystyle{C_f } στο σημείο \displaystyle{A(1,1)} είναι κάθετη στη διχοτόμο του 1ου και 3ου τεταρτημορίου.

iii.Απο τυχαίο σημείο \displaystyle{{\rm M}(x,\psi )} της \displaystyle{C_f } φέρνουμε παράλληλες ευθείες στους άξονες \displaystyle{x'x} και \displaystyle{\psi '\psi } οι οποίες τους τέμνουν στα σημεία \displaystyle{{\rm B}} και \displaystyle{\Gamma } αντίστοιχα.Να βρείτε τις συντεταγμένες του \displaystyle{{\rm M}} για τις οποίες η απόσταση \displaystyle{{\rm B}\Gamma } γίνεται ελάχιστη.

Edit:Προσθεσα την \displaystyle{C_f } στο iii ερώτημα

Γεωργακίλας Δημήτρης (εκδόσεις τομή)

_____________________________________________________________________________
Λέξεις κλειδιά: Μαθηματικά γενικής, Επαναληπτικές ασκήσεις σε διαφορικό λογισμο,
συλλογή θεμάτων
_____________________________________________________________________________
τελευταία επεξεργασία από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ σε Σάβ Δεκ 03, 2011 12:41 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


\displaystyle{
{\rm K}\alpha \tau \sigma \dot \iota \pi o\delta \alpha \varsigma \begin{array}{*{20}c}
   {} & {\Delta \eta \mu \dot \eta \tau \rho \eta \varsigma }  \\
\end{array}
}
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4132
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Μαθηματικά γενικής,συλλογή θεμάτων στο 1ο κεφάλαιο.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #16 από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Παρ Δεκ 02, 2011 10:04 pm

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:Ας πάμε και στην επόμενη άσκηση

ΑΣΚΗΣΗ 4η

iii.Απο τυχαίο σημείο \displaystyle{{\rm M}(x,\psi )} φέρνουμε παράλληλες ευθείες στους άξονες \displaystyle{x'x} και \displaystyle{\psi '\psi } οι οποίες τους τέμνουν στα σημεία \displaystyle{{\rm B}} και \displaystyle{\Gamma } αντίστοιχα.Να βρείτε τις συντεταγμένες του \displaystyle{{\rm M}} για τις οποίες η απόσταση \displaystyle{{\rm B}\Gamma } γίνεται ελάχιστη.



_____________________________________________________________________________
Λέξεις κλειδιά: Μαθηματικά γενικής, Επαναληπτικές ασκήσεις σε διαφορικό λογισμο,
συλλογή θεμάτων
_____________________________________________________________________________



Δημήτρη καλησπέρα. Το σημείο Μ ανήκει στην γραφική παράσταση κάποιας από τις συναρτήσεις; Και αν ναι, ποιας;


perpant
Δημοσιεύσεις: 441
Εγγραφή: Πέμ Αύγ 11, 2011 2:09 am
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Μαθηματικά γενικής,συλλογή θεμάτων στο 1ο κεφάλαιο.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #17 από perpant » Σάβ Δεκ 03, 2011 12:11 pm

1)Για να είναι η \displaystyle{g} συνεχής στο \displaystyle{x_o  = 0} πρέπει και αρκεί \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right) = g\left( 0 \right)
}
. Όμως \displaystyle{
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\left( {\sqrt {x + 1}  - 1} \right)f\left( x \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\left( {\sqrt {x + 1}  - 1} \right)\frac{1}{x}} \right)
}
\displaystyle{
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {x + 1}  - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt {x + 1}  - 1} \right)\left( {\sqrt {x + 1}  + 1} \right)}}{{x\left( {\sqrt {x + 1}  + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\sqrt {x + 1}  + 1}} = \frac{1}{2}
}

Άρα \displaystyle{
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right) = g\left( 0 \right) \Leftrightarrow \frac{1}{2} = a
}

2)Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της \displaystyle{C_f } στο \displaystyle{A\left( {1,1} \right)} είναι η παράγωγος της
f στο \displaystyle{
x_o  = 1
}
. Η \displaystyle{f} παραγωγίσιμη στο \displaystyle{\left( {0, + \infty } \right)} με \displaystyle{f'\left( x \right) =  - \frac{1}{{x^2 }}
}. Άρα \displaystyle{\lambda _{\varepsilon \phi }  = f'\left( 1 \right) =  - 1}. Επιπλέον η διχοτόμος του 1ου και 3ου τεταρτημορίου έχει \displaystyle{
\lambda  = 1
}
. Επειδή \displaystyle{\lambda _{\varepsilon \phi }  \cdot \lambda _\varepsilon   =  - 1} έπεται ότι η εφαπτομένη είναι κάθετη στη διχοτόμο.

3)Αν \displaystyle{M\left( {x,y} \right) \in C_f }, τότε \displaystyle{M\left( {x,\frac{1}{x}} \right)}. Οι παράλληλες από το M
προς τους άξονες, τέμνουν τους άξονες \displaystyle{x'x} και \displaystyle{y'y} στα σημεία \displaystyle{B\left( {x,0} \right)} και \displaystyle{\Gamma \left( {0,\frac{1}{x}} \right)} αντίστοιχα. Τότε, το μήκος του \displaystyle{B\Gamma } είναι \displaystyle{
\left( {{\rm B}\Gamma } \right) = \sqrt {x^2  + \frac{1}{{x^2 }}} ,x > 0
}. Θεωρώ τη συνάρτηση \displaystyle{d\left( x \right) = x^2  + \frac{1}{{x^2 }},x > 0}, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο \displaystyle{\left( {0, + \infty } \right)
}
με \displaystyle{
d'\left( x \right) = 2x - \frac{2}{{x^3 }} = \frac{{2\left( {x^4  - 1} \right)}}{{x^3 }} = \frac{{2\left( {x^2  + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x^3 }}
}. Η παράγωγος μηδενίζεται για \displaystyle{x_o  = 1} και ισχύει \displaystyle{d'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( {0,1} \right)
} και \displaystyle{d'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( {1, + \infty } \right)}
. Συνεπώς η συνάρτηση \displaystyle{d\left( x \right)}, άρα και η απόσταση \displaystyle{{\rm B}\Gamma }, παίρνει ελάχιστο για \displaystyle{
x = 1
}. Τότε το ζητούμενο σημείο είναι το \displaystyle{
M\left( {1,1} \right)
}


Παντούλας Περικλής
Άβαταρ μέλους
ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
Δημοσιεύσεις: 681
Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά γενικής,συλλογή θεμάτων στο 1ο κεφάλαιο.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #18 από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ » Σάβ Δεκ 03, 2011 8:17 pm

ΑΣΚΗΣΗ 5η

Έστω η συνάρτηση \displaystyle{f(x) =  - x^3  - 3x^2  + 9x + \alpha ^2  - 4\alpha } όπου \displaystyle{\alpha  \in R}.

Να αποδείξετε οτι:

i.Η \displaystyle{f} παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο και ένα τοπικό ελάχιστο

ii.Το τοπικό ελάχιστο της \displaystyle{f} είναι μικρότερο απο το τοπικό μέγιστο για κάθε τιμή του \displaystyle{\alpha  \in R}.

iii.Υπάρχει ακριβώς μια τιμή \displaystyle{x_0 } για την οποία η εφαπτομένη της \displaystyle{C_f } στο σημείο \displaystyle{M(x_0 ,f(x_0 ))}, έχει το μεγαλύτερο συντελεστή διεύθυνσης.

iv.Να υπολογίσετε το \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) - f(1)}}{{\sqrt {x^2  + 3}  - 2}}}


\displaystyle{
{\rm K}\alpha \tau \sigma \dot \iota \pi o\delta \alpha \varsigma \begin{array}{*{20}c}
   {} & {\Delta \eta \mu \dot \eta \tau \rho \eta \varsigma }  \\
\end{array}
}
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5036
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά γενικής,συλλογή θεμάτων στο 1ο κεφάλαιο.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #19 από Γιώργος Απόκης » Σάβ Δεκ 03, 2011 9:56 pm

i) Η f είναι παραγωγίσιμη στο \mathbb R με f{'}(x)=-3x^2-6x+9=-3(x-1)(x+3).

Eπομένως η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο το f(-3)=a^2-4a-27 και τοπικό μέγιστο το f(1)=a^2-4a+5.

ii) Έστω ότι f(-3)<f(1)\Leftrightarrow a^2-4a-27<a^2-4a+5\Leftrightarrow -27<5 που ισχύει για κάθε τιμή του a.

iii) O συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης στο M(x,f(x)) είναι ίσος με \lambda(x)=f{'}(x)=-3x^2-6x+9.

Eπομένως, \lambda{'}(x)=-6x-6 η οποία μηδενίζεται στο x_0=-1 που αποτελεί θέση μεγίστου της \lambda(x).

Δηλαδή, το σημείο με το μέγιστη κλίση είναι το M(-1,f(-1)) ή M(-1,a^2-4a-11), μοναδικό για κάθε τιμή του a.

iv) Είναι \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1}\frac{f(x)-f(1)}{\sqrt{x^2+3}-2}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{-x^3-3x^2+9x-5}{\sqrt{x^2+3}-2}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{-(x-1)^2(x+5)(\sqrt{x^2+3}+2)}{(\sqrt{x^2+3}-2)(\sqrt{x^2+3}+2)}=}

\displaystyle{=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{-(x-1)^2(x+5)(\sqrt{x^2+3}+2)}{x^2-1}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{-(x-1)^2(x+5)(\sqrt{x^2+3}+2)}{(x-1)(x+1)}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{-(x-1)(x+5)(\sqrt{x^2+3}+2)}{x+1}=0}


Γιώργος
xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1925
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: Μαθηματικά γενικής,συλλογή θεμάτων στο 1ο κεφάλαιο.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #20 από xr.tsif » Σάβ Δεκ 03, 2011 10:55 pm

Άσκηση 6
Ένας βιομήχανος μπορεί να στείλει αμέσως σε πελάτες φορτίο 200 τόνων με κέρδος
30000 ευρώ τον τόνο .Αν καθυστερήσει λίγο καιρό θα προσθέτει στο φορτίο 10 τόνους
την εβδομάδα αλλά το κέρδος του θα μειώνεται κατά 1000 ευρώ τον τόνο κάθε
εβδομάδα από όλο το φορτίο . Πότε πρέπει να στείλει το φορτίο ώστε να έχει το
μέγιστο κέρδος;

Χρήστος


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης