στατιστικη πρόοδος

alexandropoulos · #1

Σε ομαδοποιημένη κατανομή με ισοπλατείς κλάσεις, οι κεντρικές τιμές ακολουθούν αριθμητική πρόοδο με διαφορά 2 και άθροισμα 88 ενώ οι αντίστοιχες συχνότητες σχηματίζουν αριθμητική πρόοδο με διαφορά 4 και άθροισμα 144. Αν η κεντρική τιμή της πρώτης κλάσης είναι η αντίστοιχη συχνότητα, τότε:
α. Να γίνει ο πίνακας κατανομής συχνοτήτων.
β. Να προσδιορισθεί η διάμεσος.
γ. Να βρεθεί ο συντελεστής μεταβολής.

perpant · #2

α) Έστω $\displaystyle{x_1 ,x_1 + 2,x_1 + 4,...}$ οι κεντρικές τιμές των κλάσεων. Τότε αφού το άθροισμά τους είναι 88 έχουμε $\displaystyle{S_n = \frac{n}{2}\left( {2a_1 + \left( {n - 1} \right)\omega } \right)}$ όπου $\displaystyle{a_1 = x_1 }$ και $\displaystyle{\omega = 2}$ . Άρα $\displaystyle{ S_n = \frac{n}{2}\left( {2a_1 + \left( {n - 1} \right)\omega } \right) \Leftrightarrow 88 = \frac{n}{2}\left( {2x_1 + \left( {n - 1} \right)2} \right)}$ \displaystyle{\displaystyle{
\Leftrightarrow 88 = nx_1 + n\left( {n - 1} \right)}

\displaystyle{\left( 1 \right)}

Επιπλέον αφού η κεντρική τιμή της πρώτης κλάσης είναι ίση με την συχνότητα της πρώτης κλάσης, έστω οι συχνότητες:

\displaystyle{x_1 ,x_1 + 4,x_1 + 8,...} . Το άθροισμά τους είναι 144,
άρα

\displaystyle{S_n = \frac{n}{2}\left( {2b_1 + \left( {n - 1} \right)\omega } \right)} όπου

\displaystyle{b_1 = x_1 } και

\displaystyle{\omega = 4} .
Άρα

\displaystyle{S_n = \frac{n}{2}\left( {2b_1 + \left( {n - 1} \right)\omega } \right) \Leftrightarrow 144 = \frac{n}{2}\left( {2x_1 + \left( {n - 1} \right)4} \right)}} $\displaystyle{ \Leftrightarrow 144 = nx_1 + 2n\left( {n - 1} \right)}$ $\displaystyle{\left( 2 \right)}$

Από τη 2 αφαιρώ την 1 και λαμβάνω $\displaystyle{56 = n\left( {n - 1} \right)}$ η οποία έχει λύσεις $\displaystyle{n = - 7}$ η οποία απορρίπτεται και $\displaystyle{n = 8}$ η οποία είναι δεκτή.
Τότε οι κεντρικές τιμές των κλάσεων είναι $\displaystyle{4,6,8,10,12,14,16,18}$ και οι αντίστοιχες συχνότητες είναι $\displaystyle{4,8,12,16,20,24,28,32}$

Τέλος αν η πρώτη κλάση είναι $\displaystyle{[a,a + 2)}$ τότε $\displaystyle{\frac{{a + \left( {a + 2} \right)}}{2} = x_1 \Leftrightarrow \frac{{a + \left( {a + 2} \right)}}{2} = 4 \Leftrightarrow a = 3}$ .
Συνεπώς οι κλάσεις είναι $\displaystyle{[3,5),[5,7),[7,9),[9,11),[11,13),[13,15),[15,17),[17,19)}$

β) Για τη διάμεσο, χρησιμοποιώντας το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων, βρίσκω $\displaystyle{\delta = 14}$

EDIT: Προσθήκη του γ
Για τη μέση τιμή έχουμε $\displaystyle{\overline x = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^8 {X_i \nu _i } }}{\nu } = \frac{{1920}}{{144}} = \frac{{120}}{9}}$

και για τη διακύμανση $\displaystyle{S^2 = \frac{1}{\nu }\left( {\sum\limits_{i = 1}^8 {X_i^2 } \nu _i - \frac{{\left( {\sum\limits_{i = 1}^8 {X_i } \nu _i } \right)}}{\nu }} \right) = \frac{{2240}}{{144}} = \frac{{140}}{9}}$ .

Οπότε $\displaystyle{ CV = \frac{S}{{\overline x }} = \frac{{\sqrt {\frac{{140}}{9}} }}{{\frac{{120}}{9}}} = \frac{{\frac{{2\sqrt {35} }}{3}}}{{\frac{{120}}{9}}} = \frac{{\sqrt {35} }}{{20}} }$

Υ.Γ.
Συγγνώμη για την παρουσίαση αλλά δεν ξέρω να γράφω πίνακες στο

στατιστικη πρόοδος

στατιστικη πρόοδος

Re: στατιστικη πρόοδος

Μέλη σε σύνδεση