Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Συντονιστής: xr.tsif

Άβαταρ μέλους
ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
Δημοσιεύσεις: 681
Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα
Επικοινωνία:

Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ » Τρί Δεκ 20, 2011 11:02 am

Ανοίγω την δημοσίευση στις πιθάνότητες. Ας προσπάθησουμε να κρατήσουμε τους κανόνες που είχαμε και στις δύο άλλες δημοσίευσεις.
1. Να μην προτείνουμε πολλές ασκήσεις αν δεν έχουν απαντηθεί οι προηγούμενες (1-2 άλυτες να υπάρχουν),
2. Να συνεχίσουμε την αρίθμηση. Έτσι η πρώτη άσκηση να είναι η 61 κ.ο.κ.,
3. Ευελπιστώ σε περισσότερη συμμετοχή.

Edit από Γενικούς Συντονιστές.
τελευταία επεξεργασία από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ σε Τρί Δεκ 20, 2011 11:24 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


\displaystyle{
{\rm K}\alpha \tau \sigma \dot \iota \pi o\delta \alpha \varsigma \begin{array}{*{20}c}
   {} & {\Delta \eta \mu \dot \eta \tau \rho \eta \varsigma }  \\
\end{array}
}
Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1672
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: Μαθηματικά γενικής,συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από pito » Τρί Δεκ 20, 2011 11:12 am

Κάνω την αρχή στις πιθανότητες:

ΑΣΚΗΣΗ 61η

Για ένα φάρμακο σε πειραματικό στάδιο αποδείχθηκε ότι δημιουργεί δύο ειδών παρενέργειες. Η πιθανότητα να δημιουργήσει πρόβλημα στην όραση του ασθενούς είναι μικρότερη του 0,07 , η πιθανότητα να δημιουργήσει δυσλειτουργία στο γαστρεντερικό είναι 0,05 και τέλος η πιθανότητα να εμφανιστούν παρενέργειες και στην όραση και στο γαστρεντερικό είναι 0,02.
Το φάρμακο επιτρέπεται να κυκλοφορήσει , αν η πιθανότητα να μην δημιουργήσει παρενέργειες είναι μεγαλύτερη του 0,9.
Να εξετάσετε αν το φάρμακο θα κυκλοφορήσει.

( Θοδωρής Ανδριόπουλος-εκδόσεις Σαββάλας)


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5036
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από Γιώργος Απόκης » Τρί Δεκ 20, 2011 11:25 am

ΑΣΚΗΣΗ 62η

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες.

Αν με a,b συμβολίσουμε τα ενδεχόμενα νίκης του 1ου και του 2ου αντίστοιχα σε μία παρτίδα,

α) Να γράψετε το δειγματικό χώρο του πειράματος

β) Να παραστήσετε με αναγραφή τα ενδεχόμενα:

A: «Nικητής είναι ο 1ος» , B: «O 2ος κερδίζει την 3η παρτίδα» και C: «O 1ος δε χάνει καμία παρτίδα».

γ) Να βρείτε τα ενδεχόμενα D=A \cap C,~E=B\cup C{'},~Z=A\cap B.

δ) Να παραστήσετε με αναγραφή τα ενδεχόμενα:

K: «O 1ος είναι νικητής και ο 2ος κερδίζει την 3η παρτίδα» , L: «O 2ος είναι νικητής και ο 1ος χάνει την 1η παρτίδα»

ε) Αν θεωρήσουμε ότι ο δειγματικός χώρος αποτελείται από ισοπίθανα στοιχειώδη ενδεχόμενα,

να βρεθούν οι πιθανότητες P(A),~P(B),~P(K),~P(L).

Edit: Είχα αρχίσει να τη γράφω, την αφήνω ως 62η...


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5036
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά γενικής,συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από Γιώργος Απόκης » Τρί Δεκ 20, 2011 11:35 am

pito έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 61η
Για ένα φάρμακο σε πειραματικό στάδιο αποδείχθηκε ότι δημιουργεί δύο ειδών παρενέργειες. Η πιθανότητα να δημιουργήσει πρόβλημα στην όραση του ασθενούς είναι μικρότερη του 0,07 , η πιθανότητα να δημιουργήσει δυσλειτουργία στο γαστρεντερικό είναι 0,05 και τέλος η πιθανότητα να εμφανιστούν παρενέργειες και στην όραση και στο γαστρεντερικό είναι 0,02.
Το φάρμακο επιτρέπεται να κυκλοφορήσει , αν η πιθανότητα να μην δημιουργήσει παρενέργειες είναι μεγαλύτερη του 0,9.
Να εξετάσετε αν το φάρμακο θα κυκλοφορήσει.


Έστω A,B τα ενδεχόμενα το φάρμακο να δημιουργεί παρενέργειες στην όραση και στο γαστρεντερικό αντίστοιχα. Τότε:

P(A)<0,07,~P(B)=0,05,~P(A\cap B)=0,02.

H πιθανότητα να δημιουργεί παρενέργειες σε τουλάχιστον ένα από τα δύο είναι

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)<0,07+0,05-0,02=0,10.

Άρα, η πιθανότητα να μη δημιουργήσει παρενέργειες είναι

P\left((A\cup B){'}\right)=1-P(A\cup B)>1-0,10=0,90, άρα (οριακά) κυκλοφορεί!


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1672
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από pito » Τρί Δεκ 20, 2011 11:55 am

ΑΣΚΗΣΗ 62η


Ελπίζω να μην έχω κάνει κάπου λάθος:

α) Με ένα δενδόγραμμα προκύπτει \Omega =\{(a,a),(a,b,a,a),(a,b,a,b,a)(a,b,a,b,b),(a,b,b),(b,a,a),(b,a,b,a,a),(b,a,b,a,b),(b,a,b,b),(b,b)\}

β) Ενδεχόμενο A,B,C με αναγραφή στοιχείων:
A=\{(a,a),(a,b,a,a),(a,b,a,b,a),(b,a,a),(b,a,b,a,a)\}

B=\{a,b,b),(b,a,b,a,a),(b,a,b,a,b),(b,a,b,b)\}

C=\{(a,a)}

γ) D=\{(a,a)}

E=\{(a,b,b),(b,a,b,a,a),((b,a,b,a,b),(b,a,b,b),(a,b,a,a),(a,b,a,b,a),(a,b,a,b,b),(b,a,a),(b,b)\}

Z=\{(b,a,b,a,a)\}

δ) K=\{(b,a,b,a,a)\},  L=\{(b,a,b,a,b), (b,a,b,b),(b,b)\}

ε) Είναι P(A)=\frac{N(A)}{N(\Omega )}=\frac{1}{2}, P(B)=\frac{N(B)}{N(\Omega )}=\frac{2}{5}, P(K)=\frac{N(K)}{N(\Omega )}=\frac{1}{10}, P(L)=\frac{N(L)}{N(\Omega )}=\frac{3}{10}


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1672
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από pito » Τρί Δεκ 20, 2011 12:24 pm

ΑΣΚΗΣΗ 63η

Σε ένα τουρνουά μπάσκετ παίρνουν μέρος 25 ομάδες. Το 80% των ομάδων προκρίνεται στον ημιτελιικό γύρο και το 40% από αυτές που προκρίνονται συμμετέχουν στον τελικό. Αν διαλέξουμε μια ομάδα στην τύχη ( για τις επιδόσεις των ομάδων δεν γνωρίζουμε τίποτα), τότε:

α) Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων:
Α:"Η ομάδα που διαλέξαμε προκρίνεται στον ημιτελικό ή στον τελικο".
Β:" Η ομάδα που διαλέξαμε προκρίνεται στον ημιτελικό, αλλά όχι στον τελικό".
Γ: "Η ομάδα που διαλέξαμε δεν προκρίνεται στον τελικό".
Δ: " Η ομάδα που διαλέξαμε δεν προκρίνεται στον ημιτελικό ή παίζει στον τελικό"

β) Σε ποιο από τα παραπάνω ενδεχόμενα μας συμφέρει να στοιχηματίσουμε;

( Θοδωρής Ανδριόπουλος, εκδόσεις Σαββάλας)


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1925
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από xr.tsif » Τρί Δεκ 20, 2011 11:47 pm

Αφιερωμένη στον rec
ΑΣΚΗΣΗ 64
Σε ένα χωριό υπάρχουν v άνθρωποι που ο καθένας είναι x_{1},x_{2},...,x_{v}ετών.
Α) Αν το δείγμα x_{1},x_{2},...,x_{v} των ηλικιών τους έχει CV=20 % και μετά από 25 χρόνια γίνεται
για πρώτη φορά ομοιογενές , να βρείτε :
i) Την μέση τιμή και την τυπική απόκλιση των ηλικιών τους
ii) Την μέση τιμή του δείγματος x_{1}^2,x_{2}^2,...,x_{v}^2
iii) Αν η κατανομή είναι κανονική και ο μικρότερος σε ηλικία είναι 10 χρονών, να βρείτε προσεγγιστικά την μεγαλύτερη ηλικία.
Β) Στο παραπάνω χωριό υπάρχουν μόνο δύο καφενεία , το Α και το Β. Αν το 30 % των κατοίκων πηγαίνει στο καφενείο Α ,
το 60% δεν πηγαίνει στο καφενείο Β ενώ το 50 % πηγαίνει σε ένα τουλάχιστον από τα δύο καφενεία, να βρείτε :
i) Ποιο ποσοστό των κατοίκων πηγαίνει και στα δύο καφενεία
ii) Από αυτούς που πηγαίνουν μόνο στο ένα καφενείο ποιοι είναι περισσότεροι; Αυτοί που πηγαίνουν μόνο στο Α ή αυτοί που πηγαίνουν μόνο στο Β;
Γ) Ο κάθε ένας από τους v κατοίκους αγοράζει έναν λαχνό. Οι λαχνοί είναι αριθμημένοι από το 1 έως το ν και έχουν την ίδια πιθανότητα να κληρωθούν.
Αν η πιθανότητα « να κληρωθεί περιττός αριθμός » είναι κατά 0,8 % μεγαλύτερη από την πιθανότητα « να κληρωθεί άρτιος » να βρείτε πόσα άτομα έχει το χωριό.

Χρήστος


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5036
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #8 από Γιώργος Απόκης » Τετ Δεκ 21, 2011 12:20 am

xr.tsif έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 64


A) i) Σήμερα: \displaystyle{CV=0,2\Leftrightarrow \frac{s}{\bar{x}}=0,2\Leftrightarrow s=0,2 \bar{x}} (1). Σε 25 χρόνια: \displaystyle{CV{'}=0,1\Leftrightarrow \frac{s{'}}{\bar{x}{'}}}=0,1\Leftrightarrow \frac{s}{\bar{x}+25}=0,1\overset{(1)}\Leftrightarrow}

\displaystyle{\Leftrightarrow 0,2\bar{x}=0,1(\bar{x}+25)\Leftrightarrow 0,1\bar{x}=2,5\Leftrightarrow \bar{x}=25} και s=5.

ii) Είναι \displaystyle{s^2=25\Leftrightarrow \frac{1}{v}[(x_1^2+x_2^2+...+x_v^2)-\frac{1}{v}(x_1+x_2+...+x_v)^2]=25\Leftrightarrow \frac{x_1^2+x_2^2+...+x_v^2}{v}-(\bar{x})^2=25\Leftrightarrow}

\displaystyle{\Leftrightarrow \frac{x_1^2+x_2^2+...+x_v^2}{v}=650}

iii) Στην κανονική κατανομή R\simeq 6s\Leftrightarrow x_{max}-x_{min}\simeq 30\Leftrightarrow x_{max}\simeq 30+10=40

B) i) Ισχύουν P(A)=0,3,~P(B{'})=0,6\Leftrightarrow 1-P(B)=0,6\Leftrightarrow P(B)=0,4 και P(A\cup B)=0,5\Leftrightarrow

\displaystyle{\Leftrightarrow P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0,5\Leftrightarrow 0,3+0,4-P(A\cap B)=0,5\Leftrightarrow P(A\cap B)=0,2}.

ii) Η πιθανότητα να πηγαίνει μόνο στο A είναι P(A-B)=P(A)-P(A\cap B)=0,3-0,2=0,1 και

η πιθανότητα να πηγαίνει μόνο στο B είναι P(B-A)=P(B)-P(A\cap B)=0,4-0,2=0,2>P(A-B).

Γ) To πλήθος δε μπορεί να είναι άρτιος, γιατί τότε θα είχαμε ίδιο πλήθος άρτιων και περιττών σε αυτό (άτοπο).

Έστω ότι v=2k+1,~k\in \mathbb N. Τότε, οι περιττοί θα είναι κατά ένας περισσότεροι από τους άρτιους. Άρα

\displaystyle{N(A)=k,~N(\Pi)=k+1}. Ισχύει: \displaystyle{P(\Pi)=P(A)+\frac{0,8}{100}\Leftrightarrow \frac{k+1}{2k+1}=\frac{k}{2k+1}+\frac{0,8}{100} \Leftrightarrow}

\displaystyle{\Leftrightarrow \frac{1}{2k+1}=\frac{0,8}{100}\Leftrightarrow 2k+1=\frac{100}{0,8}\Leftrightarrow 2k+1=125\Leftrightarrow v=125 }.


Γιώργος
perpant
Δημοσιεύσεις: 441
Εγγραφή: Πέμ Αύγ 11, 2011 2:09 am
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #9 από perpant » Τετ Δεκ 21, 2011 12:35 am

ΑΣΚΗΣΗ 65

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f\left( x \right) = \eta \mu x - 2x,x \in \Re } και έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω.

1. Να αποδείξετε ότι η \displaystyle{f} είναι γνησίως φθίνουσα

2. Αν \displaystyle{A \subseteq B}, να αποδείξετε ότι: \displaystyle{2P\left( A \right) + \eta \mu \left( {P\left( B \right)} \right) \le 2P\left( B \right) + \eta \mu \left( {P\left( A \right)} \right)}

3. Αν \displaystyle{P({\rm A}) = \frac{\pi }{4}}, να αποδείξετε ότι: \displaystyle{2f\left( {P\left( {A \cap B} \right)} \right) \ge \sqrt 2  - \pi }

4. Να αποδείξετε ότι: \displaystyle{f\left( {P\left( {A - B} \right)} \right) \le 0}


Παντούλας Περικλής
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5036
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #10 από Γιώργος Απόκης » Τετ Δεκ 21, 2011 12:43 am

Μην ξεχάσουμε την 63... :)


Γιώργος
perpant
Δημοσιεύσεις: 441
Εγγραφή: Πέμ Αύγ 11, 2011 2:09 am
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #11 από perpant » Τετ Δεκ 21, 2011 12:48 am

Έχεις δίκιο.Όντως την είχα ξεχάσει. :(


Παντούλας Περικλής
Άβαταρ μέλους
ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
Δημοσιεύσεις: 681
Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #12 από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ » Τετ Δεκ 21, 2011 1:31 am

perpant έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 65

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f\left( x \right) = \eta \mu x - 2x,x \in \Re } και έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω.

1. Να αποδείξετε ότι η \displaystyle{f} είναι γνησίως φθίνουσα

2. Αν \displaystyle{A \subseteq B}, να αποδείξετε ότι: \displaystyle{2P\left( A \right) + \eta \mu \left( {P\left( B \right)} \right) \le 2P\left( B \right) + \eta \mu \left( {P\left( A \right)} \right)}

3. Αν \displaystyle{P({\rm A}) = \frac{\pi }{4}}, να αποδείξετε ότι: \displaystyle{2f\left( {P\left( {A \cap B} \right)} \right) \ge \sqrt 2  - \pi }

4. Να αποδείξετε ότι: \displaystyle{f\left( {P\left( {A - B} \right)} \right) \le 0}


1.\displaystyle{f(x) = \eta \mu x - 2x,x \in R}. H \displaystyle{f} παραγωγίσιμη στο \displaystyle{R} ως πράξεις παραγωγίσιμων με \displaystyle{f'(x) = \sigma \upsilon \nu x - 2}

Έχουμε \displaystyle{- 1 \le \sigma \upsilon \nu x \le 1 \Leftrightarrow  - 3 \le \sigma \upsilon \nu x - 2 \le  - 1} οπότε \displaystyle{f'(x) < 0}. Επομένως η \displaystyle{f} είναι γνησίως φθίνουσα στο \displaystyle{R}

2.\displaystyle{A \subseteq B \Rightarrow P(A) \le P({\rm B})\mathop  \Rightarrow \limits^{f \downarrow } f(P(A)) \ge f(P(B)) \Rightarrow }\displaystyle{\eta \mu (P(A)) - 2P(A) \ge \eta \mu (P(B)) - 2P(B) \Rightarrow \eta \mu (P(A)) + 2P(B) \ge \eta \mu (P(B)) + 2P(A)}

3.\displaystyle{A \cap B \subseteq A \Rightarrow P(A \cap B) \le P(A)\mathop  \Rightarrow \limits^{f \downarrow } f(P(A \cap B)) \ge f(P(A)) \Rightarrow f(P(A \cap B)) \ge f(\frac{\pi }{4}) \Rightarrow }\displaystyle{f(P(A \cap B)) \ge \eta \mu \frac{\pi }{4} - 2\frac{\pi }{4} \Rightarrow f(P(A \cap B)) \ge \frac{{\sqrt 2 }}{2} - \frac{\pi }{2} \Rightarrow 2f(P(A \cap B)) \ge \sqrt 2  - \pi }

4.\displaystyle{\emptyset  \subseteq {\rm A} - {\rm B} \Rightarrow P(\emptyset ) \le P(A - B) \Rightarrow 0 \le P(A - B)\mathop  \Rightarrow \limits^{f \downarrow } f(0) \ge f(P(A - B)) \Rightarrow f(P(A - B)) \le 0}


\displaystyle{
{\rm K}\alpha \tau \sigma \dot \iota \pi o\delta \alpha \varsigma \begin{array}{*{20}c}
   {} & {\Delta \eta \mu \dot \eta \tau \rho \eta \varsigma }  \\
\end{array}
}
Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1672
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #13 από pito » Τετ Δεκ 21, 2011 9:15 am

ΑΣΚΗΣΗ 63η


Θεωρούμε τα ενδεχόμενα Η: " η ομάδα που διαλέξαμε προκρίνεται στον ημιτελικό", Τ:" η ομάδα που διαλέξαμε προκρίνεται στον τελικό".
Το Τ είναι υποσύνολο του Η, έτσι H\bigcup{T=H, }, H\bigcap{T}=T
Είναι N(H)=\frac{80}{100}25=20, P(H)=\frac{N(H)}{N(\Omega )}=\frac{20}{25}, N(T)=\frac{40}{100}N(H)=8, P(T)=\frac{N(T)}{N(\Omega )}=\frac{8}{25}

Είναι P(A)=P(H\bigcup{T})=P(H)=\frac{20}{25}=0,8.

P(B)=P(H-T)=P(H)-P(H\bigcap{T})=P(H)-P(T)= \frac{20}{25}-\frac{8}{25}=\frac{12}{25}

P(\Gamma )=P(T')=1-P(T)=1-\frac{8}{25}=\frac{17}{25}

P(\Delta )=P(T\bigcup{H'})=P(T)+P(H')-P(T\bigcap{H'})=1-P(H)+P(T)=1-\frac{20}{25}+\frac{8}{25}=\frac{13}{25} (P(T\bigcap{H')}=0 γιατί
για να προκριθεί μια ομάδα στον τελικό πρέπει να νικήσει στον ημιτελικό)

Β) Είναι P(A)>P(\Gamma )>P(\Gamma )>P(B ), άρα μας συμφέρει να στοιχηματίσουμε στο ενδεχόμενο Α.
τελευταία επεξεργασία από pito σε Τετ Δεκ 21, 2011 11:07 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1672
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #14 από pito » Τετ Δεκ 21, 2011 9:28 am

ΑΣΚΗΣΗ 66η

Δίνεται η συνάρτηση f(x)=[P(A)]^{2}x^{3}-[7P(A)-3]x-xlnx+P(B), x>0, όπου P(A), P(B) οι πιθανότητες των ενδεχομένων A,B αντίστοιχα ενός δειγματικού χώρου \Omega.

α) Να βρείτε την πιθανότητα P(A) αν είναι γνωστό ότι η γραφική παράσταση της f έχει για x=1 εφαπτομένη παράλληλη στον άξονα χχ'.

β) Αν P(A)=\frac{1}{3}, f(1)=\frac{55}{36}, να δείξετε ότι
P(B)=\frac{3}{4} και να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα A,B είναι ασυμβίβαστα.

γ) Να δείξετε ότι \frac{1}{12}\leq P(A\bigcap{B})\leq \frac{1}{3}


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5036
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #15 από Γιώργος Απόκης » Τετ Δεκ 21, 2011 10:40 am

pito έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 66η
Δίνεται η συνάρτηση f(x)=[P(A)]^{2}x^{3}-[7P(A)-3]x-xlnx+P(B), x>0, όπου P(A), P(B) οι πιθανότητες των ενδεχομένων A,B αντίστοιχα ενός δειγματικού χώρου \Omega.
α) Να βρείτε την πιθανότητα P(A) αν είναι γνωστό ότι η γραφική παράσταση της f έχει για x=1 εφαπτομένη παράλληλη στον άξονα χχ'.
β) Αν P(A)=\frac{1}{3}, f(1)=\frac{55}{36}, να δείξετε ότι
P(B)=\frac{3}{4} και να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα A,B είναι ασυμβίβαστα.
γ) Να δείξετε ότι \frac{1}{12}\leq P(A\bigcap{B})\leq \frac{1}{3}


Kαλημέρα.

α) Η f είναι παραγωγίσιμη στο (0,+\infty) με f{'}(x)=3P^2(A)x^2-7P(A)+2-lnx. H εφαπτομένη είναι οριζόντια, άρα

f{'}(1)=0\Leftrightarrow 3P^2(A)-7P(A)+2=0 που έχει ρίζες 2\notin [0,1] και \displaystyle{\frac{1}{3}\in [0,1]}. Άρα, \displaystyle{P(A)=\frac{1}{3}}.

β) Για \displaystyle{P(A)=\frac{1}{3}}, έχουμε \displaystyle{f(x)=\frac{1}{9}x^3+\frac{2}{3}x-xlnx+P(B),~x>0}. Iσχύει η σχέση

\displaystyle{f(1)=\frac{55}{36}\Leftrightarrow \frac{1}{9}+\frac{2}{3}+P(B)=\frac{55}{36}\Leftrightarrow P(B)=\frac{55-4-24}{36}=\frac{27}{36}=\frac{3}{4}}.

Έστω ότι τα A,B είναι ασυμβίβαστα, τότε \displaystyle{P(A\cup B)=P(A)+P(B)=\frac{1}{3}+\frac{3}{4}=\frac{13}{12}>1} (άτοπο). Άρα, δεν είναι.

γ) \bullet Έχουμε \displaystyle{\begin{cases}P(A\cap B)\leq P(A) \\ P(A\cap B)\leq P(B) \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}P(A\cap B)\leq \frac{1}{3} \\ P(A\cap B)\leq \frac{3}{4} \end{cases}\Rightarrow P(A\cap B)\leq \frac{1}{3} } (1).

\bullet Eπίσης, \displaystyle{P(A\cup B)\leq 1\Leftrightarrow P(A)+P(B)-P(A\cap B)\leq 1\Leftrightarrow \frac{1}{3}+\frac{3}{4}-P(A\cap B)\leq 1\Leftrightarrow P(A\cap B)\geq \frac{1}{12}} (2)

Από τις (1), (2) προκύπτει \displaystyle{\frac{1}{12}\leq P(A\cap B)\leq \frac{1}{3}}.


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
Δημοσιεύσεις: 681
Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #16 από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ » Τετ Δεκ 21, 2011 1:01 pm

ΑΣΚΗΣΗ 67η

Σε ένα αεροπορικό ταξίδι, το \displaystyle{20\% }των επιβατών είναι άντρες που δεν έχουν ξαναταξιδέψει με αεροπλάνο.

Το \displaystyle{30\% } των επιβατών είναι γυναίκες που έχουν ξαναταξιδέψει

και η πιθανότητα κάποιος επιβάτης να είναι άντρας ή να έχει ξαναταξιδέψει είναι \displaystyle{90\% }

Αν επιλέξουμε τυχαία έναν επιβάτη, να βρείτε την πιθανότητα:
i. Να είναι άντρας
ii. Να έχει ξαναταξιδέψει
iii. Να είναι άντρας και να έχει ξαναταξιδέψει
iv. Να είναι γυναίκα και να μην έχει ξαναταξιδέψει.


\displaystyle{
{\rm K}\alpha \tau \sigma \dot \iota \pi o\delta \alpha \varsigma \begin{array}{*{20}c}
   {} & {\Delta \eta \mu \dot \eta \tau \rho \eta \varsigma }  \\
\end{array}
}
Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1672
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #17 από pito » Τετ Δεκ 21, 2011 1:23 pm

ΑΣΚΗΣΗ 67η



Συμβολίζουμε με A,T τα ενδέχομενα "ο επιβάτης είναι άντρας" και "ο επιβάτης έχει ξαναταξιδέψει με αεροπλάνο", αντίστοιχα.

Τότε είναι από τα δεδομένα P(A\bigcap{T'})=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}, P(A'\bigcap{T})=\frac{3}{10}, P(A\bigcup{T})=\frac{9}{10}

Α) Είναι P(A'\bigcap{T})=\frac{3}{10}\Rightarrow P(T)-P(A\bigcap{T)=}\frac{3}{10}  (1)
και P(A\bigcup{T})=\frac{9}{10}\Rightarrow P(A)+(P(T)-P(A\bigcap{T}))=\frac{9}{10}\Rightarrow P(A)=\frac{9}{10}-\frac{3}{10}=\frac{3}{5} (λόγω της (1))

β) P(A\bigcap{T'})=\frac{1}{5}\Rightarrow P(A)-P(A\bigcap{T)}=\frac{1}{5}\Rightarrow P(A\bigcap{T)=\frac{3}{5}-\frac{1}{5}}=\frac{2}{5  } (2) και P(A'\bigcap{T})=\frac{3}{10}\Rightarrow P(T)-P(A\bigcap{T)=}\frac{3}{10}\Rightarrow P(T)=\frac{3}{10}+\frac{4}{10}=\frac{7}{10}

γ) Έχει απαντηθεί στη σχέση (2) , είναι P(A\bigcap{T})=\frac{2}{5}

δ) P(A'\bigcap{T')}=P[(A\bigcup{T})']=1-P(A\bigcup{T)}=1-\frac{9}{10}=\frac{1}{10}
τελευταία επεξεργασία από pito σε Τετ Δεκ 21, 2011 1:28 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Άβαταρ μέλους
ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
Δημοσιεύσεις: 681
Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #18 από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ » Τετ Δεκ 21, 2011 1:28 pm

ΆΣΚΗΣΗ 68η

Στις πανελλήνιες εξετάσεις το \displaystyle{70\% } των μαθητών απο το νομό Ευβοίας έγραψε καλά στη Βιολογία γενικής παιδείας ή στα μαθηματικά γενικής παιδείας και το \displaystyle{20\% } έγραψε καλά και στα δύο μαθήματα.

α. Να βρείτε το ποσοστό των μαθητών που εγραψε καλά στο ένα μόνο μάθημα.
Β. Αν το \displaystyle{40\% } έγραψε καλά στη Βιολογία, τότε:
i. Να βρείτε το ποσοστό των μαθητών που έγραψε καλά στα μαθηματικά και όχι στη Βιολογία.
ii. Αν οι μαθητές που έγραψαν καλα στη Βιολογία και όχι στα μαθηματικά είναι \displaystyle{600}, να βρείτε πόσοι μαθητές απο το νομό Ευβοίας έλεβαν μέρος στις εξετάσεις.
Ν.Σκόμπρης (εκδόσεις Σαββάλας)


\displaystyle{
{\rm K}\alpha \tau \sigma \dot \iota \pi o\delta \alpha \varsigma \begin{array}{*{20}c}
   {} & {\Delta \eta \mu \dot \eta \tau \rho \eta \varsigma }  \\
\end{array}
}
Άβαταρ μέλους
apotin
Δημοσιεύσεις: 812
Εγγραφή: Τετ Απρ 08, 2009 5:53 pm
Τοποθεσία: Έδεσσα

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #19 από apotin » Τετ Δεκ 21, 2011 10:44 pm

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:ΆΣΚΗΣΗ 68η

Στις πανελλήνιες εξετάσεις το \displaystyle{70\% } των μαθητών απο το νομό Ευβοίας έγραψε καλά στη Βιολογία γενικής παιδείας ή στα μαθηματικά γενικής παιδείας και το \displaystyle{20\% } έγραψε καλά και στα δύο μαθήματα.

α. Να βρείτε το ποσοστό των μαθητών που εγραψε καλά στο ένα μόνο μάθημα.
Β. Αν το \displaystyle{40\% } έγραψε καλά στη Βιολογία, τότε:
i. Να βρείτε το ποσοστό των μαθητών που έγραψε καλά στα μαθηματικά και όχι στη Βιολογία.
ii. Αν οι μαθητές που έγραψαν καλα στη Βιολογία και όχι στα μαθηματικά είναι \displaystyle{600}, να βρείτε πόσοι μαθητές απο το νομό Ευβοίας έλεβαν μέρος στις εξετάσεις.
Ν.Σκόμπρης (εκδόσεις Σαββάλας)


========================================================

Έστω τα ενδεχόμενα:
Μ: ο μαθητής έγραψε καλά στα μαθηματικά
Β: ο μαθητής έγραψε καλά στη βιολογία
α) έχουμε:
\displaystyle{\begin{array}{l}
P\left[ {\left( {M - B} \right) \cup \left( {B - M} \right)} \right] = P\left( {M - B} \right) + P\left( {B - M} \right) = \\
 = P\left( M \right) - P\left( {M \cap B} \right) + P\left( B \right) - P\left( {M \cap B} \right) = \\
 = P\left( {M \cup B} \right) - P\left( {M \cap B} \right) = 0,7 - 0,2 = 0,5
\end{array}}
β) i) έχουμε:
Ρ(Β)=0,4 και P\left( {M \cup B} \right) = P\left( M \right) + P\left( B \right) - P\left( {M \cap B} \right) \Rightarrow P\left( M \right) = 0,5
άρα
\displaystyle{P\left( {M - B} \right) = P\left( M \right) - P\left( {M \cap B} \right) = 0,5 - 0,2 = 0,3}
β) ii) Έστω ν το πλήθος των μαθητών. Τότε:
\displaystyle{P\left( {B - M} \right) = \frac{{600}}{\nu } \Rightarrow 0,2 = \frac{{600}}{\nu } \Rightarrow \nu  = 3000}


Αποστόλης
Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 929
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #20 από hlkampel » Τετ Δεκ 21, 2011 10:49 pm

ΑΣΚΗΣΗ 69η

Έστω \Omega  = \left\{ {0,\;1,\;2,\;3,\;4} \right\} ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης.

Η πιθανότητα κάθε στοιχειώδους ενδεχομένου \left\{ \lambda  \right\} με \lambda  \in \Omega, δίνεται από τη σχέση P\left( \lambda  \right) = \alpha \lambda  + \beta.

Δίνεται ακόμη η συνάρτηση f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} - \lambda {x^2} + 4x + 2012 και το ενδεχόμενο A του \Omega

όπου A = \left\{ {\lambda  \in \Omega /} \right.η εφαπτομένη σε οποιοδήποτε σημείο της {C_f} δεν είναι παράλληλη στο άξονα \left. {x'x} \right\} με P\left( A \right) = \frac{1}{4}.

α) Να υπολογιστούν οι πραγματικοί αριθμοί \alpha και \beta.

β) Έστω το ενδεχόμενο B = \left\{ {\kappa  \in \Omega /} \right.η διάμεσος των παρατηρήσεων 0,\;1,\;\kappa ,\;2\kappa ,\;\kappa  + 1 είναι μεγαλύτερη από τη μέση τιμή τους\left. {} \right\}.

i. Να βρεθούν τα στοιχεία του B.

ii. Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων \displaystyle{A,\;A \cup B'} και A - B


Ηλίας Καμπελής

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης