Πιθανότητες με ανισότητες

Ιστοσελίδα · #1

Καλησπέρα στην παρέα......

Μια άσκηση όπου υπάρχει προβληματισμός στο τελευταίο ερώτημα!!

Έστω $\displaystyle{ {\rm A},B }$ ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου $\displaystyle{ \Omega }$ , τέτοια ώστε:

$\displaystyle{ P(A') \le P(A \cap B) }$ και $\displaystyle{ P(B') \le 0,2 }$

Να δείξετε ότι:

α) $\displaystyle{ P(A) \ge 0,5 }$

β) $\displaystyle{ A \cap B \ne \emptyset }$

γ) $\displaystyle{ \frac{{P(A')}}{{P(B)}} \le \frac{5}{8} }$

δ) Αν ισχύει: $\displaystyle{ \left| {1 - 2P(A)} \right| - \left| {3P(A) - 1} \right| = 2\lambda }$ , όπου $\displaystyle{ \lambda }$ ακέραιος να βρείτε την πιθανότητα $\displaystyle{ {P(A)} }$

#2

Καλημέρα Σπύρο.

Ορθώς νομίζω σε προβληματίζει. Ας πάω αναλυτικά ...

α) Έχουμε ότι: $\displaystyle{P(A \cup B) \geq P(B)}$ .

Επίσης

$\displaystyle{P(A') \le P(A \cap B) \Leftrightarrow 1-P(A) \leq P(A)+P(B)-P(A \cup B) \Leftrightarrow}$
$\displaystyle{\Leftrightarrow P(A)=\frac{1+P(A \cup B)-P(B)}{2}}$ , άρα $\displaystyle{P(A) \geq \frac{1}{2}}$ .

β) Έστω ότι $\displaystyle{A \cap B = \emptyset }$ , οπότε $\displaystyle{P(A \cap B)=0}$ .

Τότε $P(A') \leq 0$ , οπότε $P(A')=0 \Leftrightarrow P(A)=1$ , άρα $A=\Omega$ .

Επιπλέον αφού: $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$ , έχουμε ότι:
$P(\Omega)=P(\Omega)+P(B)-0$ , άρα P(B)=0

άτοπο
αφού από την υπόθεση ισχύει $P(B') \leq 0,2 \Leftrightarrow P(B) \geq 0,8$ .

Συνεπώς:
$\displaystyle{A \cap B \neq \emptyset }$ .

γ) * ΄Εχουμε ότι: $\displaystyle{P(B) \geq 0,8 \Leftrightarrow 5P(B) \geq 4 (I)}$
** Από το (α) ερώτημα έχουμε: $\displaystyle{P(A) \geq 0,5 \Leftrightarrow 8P(A) \geq 4 (II)}$ .

Προσθέτοντας κατά μέλη τις (I),(II)

βρίσκουμε ότι:
$\displaystyle{5P(B)+8P(A) \geq 8 \Leftrightarrow 5P(B) \geq 8P(A') \Leftrightarrow \frac{5}{8} \geq \frac{P(A')}{P(B)}}$ .

δ) Αφού $P(A) \geq 0,5$ έχουμε ότι:
* $2P(A)-1 \geq 0$ οπότε |1-2P(A)|=2P(A)-1

* $3P(A)-1 \geq 0,5 > 0$ οπότε |3P(A)-1|=3P(A)-1

.

Συνεπώς από την $\displaystyle{\left| {1 - 2P(A)} \right| - \left| {3P(A) - 1} \right| = 2\lambda}$ , όπου $\displaystyle{ \lambda \in \mathbb{Z}}$ , έχουμε:

$\displaystyle{2P(A)-1-3P(A)+1=2\lambda \Leftrightarrow P(A)=-2\lambda, \lambda \in \mathbb{Z}}$ .

Αφού $0 \leq P(A) \leq 1$ έχουμε: $\displaystyle{0 \leq -2\lambda \leq 1 \Leftrightarrow 0 \geq \lambda \geq -\frac{1}{2}}$

και αφού $\lambda \in \mathbb{Z}$ ισχύει $\lambda =0$ , άρα και P(A)=0

άτοπο λόγω του (α) ερωτήματος

Ιστοσελίδα · #3

;Όντος έχεις δίκιο υπάρχει πρόβλημα που το επεσήμανε και ο Χρήστος, η μόνη λύση είναι η διόρθωση και μια πρόταση για το δ ερώτημα είναι:

δ) Αν ισχύει: $\displaystyle{ \left3| {1 - 2P(A)} \right| - \left| {3P(A) - 1} \right| = 2\lambda }$ , όπου $\displaystyle{ \lambda }$ ακέραιος να βρείτε την πιθανότητα $\displaystyle{ {P(A)} }$

με αυτή την αλλαγή τα πράγματα βγαίνουν νομίζω φυσιολογικά

#4

Σπύρο πρέπει ανάμεσα στα απόλυτα να έχει +
Έψαχνα εχτές να την βρώ σε κάτι παλιές σημειώσεις αλλά μάταια.
Θα ξαναπροσπαθήσω αύριο, είμαι σίγουρος ότι την έχω.

Χρήστος

Πιθανότητες με ανισότητες

Πιθανότητες με ανισότητες

Re: Πιθανότητες με ανισότητες

Re: Πιθανότητες με ανισότητες

Re: Πιθανότητες με ανισότητες

Μέλη σε σύνδεση