Πιθανότητες - Ακρότατα

Γιώργος Απόκης · #1

Έστω

ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου $\Omega$ με ισοπίθανα στοιχειώδη ενδεχόμενα. Ισχύουν : $A\ne \emptyset,~N(B)=80$ .

Δίνεται επίσης η συνάρτηση $f(x)=-x^2+\left[P(A\cup B)-P(A-B)\right]x,~x\in \mathbb R$ , η οποία έχει μέγιστο το $\displaystyle{\frac{4}{25}}$ .

α) Να μελετήσετε τη μονοτονία της

.

β) Να βρείτε το $N(\Omega)$ .

γ) Αν ισχύει : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)+[2P^2(A)-P(A)P(B)]x}{x}=\frac{4}{5}}$ ,

i) να βρείτε το N(A)

,

ii) να δείξετε ότι : $\displaystyle{\frac{1}{5}\leq P(A\cap B)\leq \frac{2}{5}}$ .

#2

Ισχύει ότι:
$\displaystyle{ P(A\cup B)-P(A-B)=P(B)}$ ,

άρα $\displaystyle{f(x)=-x^2+P(B)x}$ ,

η οποία είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ ως πολυωνυμική με
$\displaystyle{f’(x)=-2x+P(B)}$ .
Τότε:
* $\displaystyle{f’(x) = 0 \Leftrightarrow x=\frac{P(B)}{2}}$ και
* $\displaystyle{f’(x) > 0 \Leftrightarrow x<\frac{P(B)}{2}}$ ,
οπότε
η

είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\left(-\infty, \frac{P(B)}{2} \right]}$ ,
η

είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{\left [\frac{P(B)}{2},+\infty \right)}$ ,
η

παρουσιάζει ολικό μέγιστο για $\displaystyle{x=\frac{P(B)}{2}}$
το $\displaystyle{f\left( \frac{P(B)}{2} \right)=-\frac{(P(B))^2}{4}+\frac{(P(B))^2}{2}=\frac{(P(B))^2}{4}}$ .

Συνεπώς: $\displaystyle{\frac{(P(B))^2}{4}=\frac{4}{25} \Leftrightarrow P(B)=\frac{4}{5}}$ αφού $P(B) \geq 0$ .

α) Επομένως:
*η

είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\left(-\infty, \frac{2}{5} \right]}$ ,
**η

είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{\left [\frac{2}{5},+\infty \right)}$ ,

β) Αφού $\displaystyle{P(B)=\frac{N(B)}{N(\Omega)}}}$ έχουμε ότι: $\displaystyle{\frac{4}{5}=\frac{80}{N(\Omega)} \Leftrightarrow N(\Omega)=100}$ .

γ) Για

κοντά στο 0 έχουμε:
$\displaystyle{\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)+[2P^2(A)-P(A)P(B)]x}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-x^2+P(B)x+[2P^2(A)-P(A)P(B)]x}{x}}}$
$\displaystyle{\displaystyle{=\ lim_{x\rightarrow 0}\left(-x+P(B)+2P^2(A)-P(A)P(B) \right)= P(B)+2P^2(A)-P(A)P(B)=\frac{4}{5}+2P^2(A)-\frac{4}{5}P(A)}}$ .
ι) Επομένως πρέπει:
$\displaystyle{\frac{4}{5}+2P^2(A)-\frac{4}{5}P(A)=\frac{4}{5} \Leftrightarrow 2P^2(A)-\frac{4}{5}P(A)=0 \Leftrightarrow P(A)=\frac{2}{5}}$ ,
αφού $\displaystyle{A\ne \emptyset}$ .
Συνεπώς:
$\displaystyle{\frac{4}{5}=\frac{N(A)}{100} \Leftrightarrow N(A)=80}$ .

ιι) Αφού $\displaystyle{A \cup B \subseteq A}$ έχουμε $\displaystyle{P(A \cap B) \leq P(A)=\frac{2}{5} (I)}$
Επίσης:
$\displaystyle{P(A \cup B) \leq 1 \Leftrightarrow P(A)+P(B)-P(A \cap B) \leq 1 \Leftrightarrow P(A \cap B) \geq P(A)+P(B)- 1}$ ,
οπότε
$\displaystyle{ P(A \cap B) \geq \frac{2}{5}+\frac{4}{5}- 1=\frac{1}{5} (II)}$ .
Από τις (Ι), (ΙΙ) προκύπτει το ζητούμενο.

edit: Συμπληρώθηκε το N(A)

. Ευχαριστώ Γιώργη(exdx).

Christos.N · #3

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:.

γ) Για κοντά στο 0 έχουμε:
$\displaystyle{\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)+[2P^2(A)-P(A)P(B)]x}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-x^2+P(B)x+[2P^2(A)-P(A)P(B)]x}{x}}}$
$\displaystyle{\displaystyle{=\ lim_{x\rightarrow 0}\left(-x+P(B)+2P^2(A)-P(A)P(B) \right)= P(B)+2P^2(A)-P(A)P(B)=\frac{4}{5}+2P^2(A)-\frac{4}{5}P(A)}}$ .

Εναλλακτικά για το γ) (μέρες που έρχονται ας το έχουμε κατά νου)

έχουμε $\displaystyle{ f(0) = 0 }$
παρατηρούμε ότι: $\displaystyle{ f'(0) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(h)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x)}}{x} }$
Το όριο μπορεί να αντιμετωπιστεί εναλλακτικά $\displaystyle{ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) + [2P^2 (A) - P(A)P(B)]x}}{x} = \frac{4}{5} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0}( \frac{{f(x)}}{x} + [2P^2 (A) - P(A)P(B)]) = \frac{4}{5} \Rightarrow f'(0) + [2P^2 (A) - P(A)P(B)] = \frac{4}{5} \Rightarrow \\ P(B) + [2P^2 (A) - P(A)P(B)] = \frac{4}{5}..... \\ \end{array} }$
Και τα υπόλοιπα όπως τα παρουσιάζει ο Λευτέρης Πρωτοπαπάς

Γιώργος Απόκης · #4

Ευχαριστώ και τους δύο για τις λύσεις. Τη λύση του Λευτέρη είχα κατά νου, Χρήστο ωραία ιδέα με την παράγωγο!

Πιθανότητες - Ακρότατα

Πιθανότητες - Ακρότατα

Re: Πιθανότητες - Ακρότατα

Re: Πιθανότητες - Ακρότατα

Re: Πιθανότητες - Ακρότατα

Μέλη σε σύνδεση