Εμβαδόν πολυγώνου συχνοτήτων.

[gian7]

Ίσως να έχει ξανασυζητηθεί.
Πως αποδεικνύεται ότι το εμβαδόν του πολυγώνου συχνοτήτων είναι ίσον με το το μέγεθος του δείγματος;

[Γιώργος Ρίζος]

Σίγουρα κάπου το έχουμε ξανασυζητήσει.

Ένα απόσπασμα από ένα σχετικό άρθρο στο περιοδικό ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ του παρ. της Ε.Μ.Ε. Ν. Τρικάλων το 2001.

ΤΟ ΕΜΒΑΔΟ ΤΟΥ ΧΩΡΙΟΥ ΠΟΥ ΟΡΙΖΕΙ ΤΟ ΠΟΛΥΓΩΝΟ
ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΜΕ ΤΟΝ ΑΞΟΝΑ .


Ένα ακόμα σημείο που χρειάζεται μια λεπτομερέστερη παρουσίαση, είναι το εμβαδό του χωρίου που ορίζει το πολύγωνο συχνοτήτων ομαδοποιημένης κατανομής με τον άξονα .
Σχεδιάζουμε, αναφέρει το βιβλίο στη σελ. 73, τα ιστογράμματα σημειώνοντας στον οριζόντιο άξονα με κατάλληλη κλίμακα τα όρια των κλάσεων.
Τα ορθογώνια (ιστοί) έχουν τότε βάση το πλάτος της κλάσης και ύψος τέτοιο ώστε το εμβαδόν του καθενός να αντιστοιχεί στη συχνότητα της κλάσης.

31-12-2012 Στατιστική.jpg (14.04 KiB) Προβλήθηκε 2318 φορές

Όταν μάλιστα οι κλάσεις έχουν ίσο πλάτος, τότε θεωρούμε ως μονάδα μέτρησης το πλάτος κάθε κλάσης. Οπότε το εμβαδόν κάθε ορθογωνίου παραλληλογράμμου (ιστού) θα έχει εμβαδόν: βάση (δηλαδή μον. μήκους) επί ύψος (δηλαδή τη συχνότητα της κλάσης).
Τότε το άθροισμα των εμβαδών όλων των ιστών ισούται με .

Κατασκευάζοντας τώρα το πολύγωνο συχνοτήτων, παρατηρούμε ότι το σημείο Α (βλέπε σχ. 3) είναι το κέντρο της μηδενικής κλάσης που προσθέσαμε, άρα .
Από την παραλληλία προκύπτει ότι και οι γωνίες είναι ίσες, καθώς και οι ορθές , οπότε τα τρίγωνα είναι ίσα, άρα και ισοεμβαδικά.

Διαδοχικά, σε όλους τους ιστούς τα τρίγωνα που σχηματίζει μ' αυτούς το πολύγωνο είναι μεταξύ τους ίσα, οπότε τελικά το εμβαδόν που ορίζει το πολύγωνο συχνοτήτων ομαδοποιημένης κατανομής με τον άξονα ισούται με το άθροισμα των εμβαδών όλων των ιστών, άρα με τη συχνότητα ν της κατανομής. Αντίστοιχα σε πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων θα ισούται με .

Με αυτήν την απλή εξήγηση λύνονται νομίζω οι όποιες απορίες των μαθητών στο σχετικό κείμενο της σελίδας 74 (§2η) του σχολικού βιβλίου, όπου βέβαια οποιαδήποτε τέτοια επέκταση θα ξέφευγε από τα όρια και τους σκοπούς του.