Πιθανότητες με ανάλυση

erxmer · #1

Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f(x)=ln^2x-2lnx

με $x \in (0,1)$

1) Να δειχθεί οτι είναι γνήσια φθίνουσα στο $x \in (0,1)$

2) Αν A, B

είναι δύο απλά ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου $\Omega$ , με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα
ώστε $A \neq \varnothing \,\,, B \neq \varnothing \,\,, A \cap B\neq \varnothing$ , να δειχθεί οτι

$\displaystyle{f(P(A))+f(P(B))\leq 2f(P(A \cap B))}$

3) Aν $\displaystyle{P(A)=\frac{1}{5} \,\,, P(B-A)=\frac{1}{3}}$ να βρεθεί η πιθανότητα να μην πραγματοποιείται κανένα απο τα
ενδεχόμενα A, B

4) Να υπολογιστεί το όριο $\displaystyle{\lim_{x \to 1}\frac{(\frac{x}{2}f'(x)+1)^2-lnx}{lnx}}$

hlkampel · #2

erxmer έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση με τύπο με $x \in (0,1)$

1) Να δειχθεί οτι είναι γνήσια φθίνουσα στο $x \in (0,1)$

2) Αν είναι δύο απλά ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου $\Omega$ , με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα
ώστε $A \neq \varnothing \,\,, B \neq \varnothing \,\,, A \cap B\neq \varnothing$ , να δειχθεί οτι

$\displaystyle{f(P(A))+f(P(B))\leq 2f(P(A \cap B))}$

3) Aν $\displaystyle{P(A)=\frac{1}{5} \,\,, P(B-A)=\frac{1}{3}}$ να βρεθεί η πιθανότητα να μην πραγματοποιείται κανένα απο τα
ενδεχόμενα

4) Να υπολογιστεί το όριο $\displaystyle{\lim_{x \to 1}\frac{(\frac{x}{2}f'(x)+1)^2-lnx}{lnx}}$

1) Για $\displaystyle x \in \left( {0,1} \right)$ είναι $f'\left( x \right) = \frac{{2{\mathop{\rm lnx}\nolimits} }}{x} - \frac{2}{x} \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{2}{x}\left( {\ln x - 1} \right) < 0$ γιατί $\frac{2}{x} > 0$ και $\ln x - 1 < 0$

Έτσι η

είναι γνησίως φθίνουσα στο $\left( {0,1} \right)$

2) $\left( {A \cap B} \right) \subseteq B \Rightarrow P\left( {A \cap B} \right) \le P\left( B \right)\mathop \Rightarrow \limits^{f \downarrow } f\left( {P\left( B \right)} \right) \le f\left( {P\left( {A \cap B} \right)} \right)\left( 1 \right)$

$\left( {A \cap B} \right) \subseteq A \Rightarrow P\left( {A \cap B} \right) \le P\left( A \right)\mathop \Rightarrow \limits^{f \downarrow } f\left( {P\left( A \right)} \right) \le f\left( {P\left( {A \cap B} \right)} \right)\left( 2 \right)$

$\left( 1 \right) + \left( 2 \right) \Rightarrow f\left( {P\left( A \right)} \right) + f\left( {P\left( B \right)} \right) \le 2f\left( {P\left( {A \cap B} \right)} \right)$

3) Ζητάμε την πιθανότητα του ενδεχομένου ${\left( {A \cup B} \right)^\prime }$ και έχουμε:

$P\left[ {{{\left( {A \cup B} \right)}^\prime }} \right] = 1 - P\left( {A \cup B} \right) = 1 - P\left( A \right) - P\left( B \right) + P\left( {A \cap B} \right) \Rightarrow$

$\displaystyle P\left[ {{{\left( {A \cup B} \right)}^\prime }} \right] = 1 - P\left( A \right) - P\left( {B - A} \right) = 1 - \frac{1}{5} - \frac{1}{3} \Rightarrow$

$\displaystyle P\left[ {{{\left( {A \cup B} \right)}^\prime }} \right] = \frac{7}{{15}}$

4) Είναι $\displaystyle \frac{x}{2}f'\left( x \right) + 1 = \frac{x}{2} \cdot \frac{2}{x}\left( {\ln x - 1} \right) + 1 = \ln x\left( 3 \right)$

$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{{\left( {\frac{x}{2}f'\left( x \right) + 1} \right)}^2} - \ln x}}{{\ln x}}\mathop = \limits^{\left( 3 \right)} \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{{\ln }^2}x - \ln x}}{{\ln x}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\ln x\left( {lnx - 1} \right)}}{{\ln x}} = }$

$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\ln x - 1} \right) = - 1}$

Πιθανότητες με ανάλυση

Πιθανότητες με ανάλυση

Re: Πιθανότητες με ανάλυση

Μέλη σε σύνδεση