επαναληπτικό 4 (συνδυαστική με τα 3 κεφάλαια)

Συντονιστής: xr.tsif

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

επαναληπτικό 4 (συνδυαστική με τα 3 κεφάλαια)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από parmenides51 » Κυρ Μάιος 12, 2013 4:21 pm

Μια άσκηση του thanasis kopadis που ανέβασε στα αρχεία του :logo:, για να μην μένει άλυτη.


Δίνεται ότι σε μια κανονική κατανομή με \displaystyle{\nu=4000} , οι \displaystyle{100} παρατηρήσεις είναι μεγαλύτερες του \displaystyle{22}, ενώ \displaystyle{6} παρατηρήσεις είναι μικρότερες του \displaystyle{17}.
α) Να βρείτε τη μέση τιμή \displaystyle{\overline{x}} , τη διάμεσο \displaystyle{\delta }, την τυπική απόκλιση \displaystyle{S} και το εύρος \displaystyle{R}.
β) Να δείξετε ότι το δείγμα είναι ομοιογενές.
γ) Να βρείτε πόσο πρέπει να μειωθεί κάθε παρατήρηση, ώστε το δείγμα να πάψει να είναι ομοιογενές.
δ) Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f(x)=\frac{1}{3}Rx^3-\frac{7}{2S}x^2+\frac{\overline{x} }{10}x+2013}, όπου \displaystyle{\overline{x} ,  S , R} η μέση τιμή, η τυπική απόκλιση και το εύρος της κανονικής κατανομής.
i) Να βρεθούν οι τετμημένες των σημείων της γραφικής παράστασης της \displaystyle{f} που οι εφαπτομένες είναι παράλληλες με τον άξονα \displaystyle{x΄x}.
ii) Αν \displaystyle{A, B} είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου \displaystyle{\Omega}, με \displaystyle{A\subseteq B} και \displaystyle{P(A) , P(B)} είναι οι τετμημένες των σημείων του ερωτήματος δ)i) να βρεθούν οι πιθανότητες \displaystyle{P(A) , P(B) , P(A\cap B) , P(A\cup B) , P(A-B)} και \displaystyle{P(B-A)}
iii) Να βρείτε τη μέση τιμή, τη διάμεσο, την τυπική απόκλιση και τον συντελεστή μεταβλητότητας των παρατηρήσεων \displaystyle{P(A) , P(B) , P(A\cap B) , P(A\cup B)} του ερωτήματος δ)ii)
iv) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα την συνάρτηση \displaystyle{g(x)=\ln (x-P(B) )-\frac{1}{2}(x-P(B) )^2+P(A) }, όπου \displaystyle{P(A)} και \displaystyle{P(B)} οι πιθανότητες των ενδεχομένων \displaystyle{A} και \displaystyle{B} του ερωτήματος δ)ii)


Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 928
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: επαναληπτικό 4 (συνδυαστική με τα 3 κεφάλαια)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από hlkampel » Κυρ Μάιος 12, 2013 10:17 pm

parmenides51 έγραψε:Μια άσκηση του thanasis kopadis που ανέβασε στα αρχεία του :logo:, για να μην μένει άλυτη.


Δίνεται ότι σε μια κανονική κατανομή με \displaystyle{\nu=4000} , οι \displaystyle{100} παρατηρήσεις είναι μεγαλύτερες του \displaystyle{22}, ενώ \displaystyle{6} παρατηρήσεις είναι μικρότερες του \displaystyle{17}.
α) Να βρείτε τη μέση τιμή \displaystyle{\overline{x}} , τη διάμεσο \displaystyle{\delta }, την τυπική απόκλιση \displaystyle{S} και το εύρος \displaystyle{R}.
β) Να δείξετε ότι το δείγμα είναι ομοιογενές.
γ) Να βρείτε πόσο πρέπει να μειωθεί κάθε παρατήρηση, ώστε το δείγμα να πάψει να είναι ομοιογενές.
δ) Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f(x)=\frac{1}{3}Rx^3-\frac{7}{2S}x^2+\frac{\overline{x} }{10}x+2013}, όπου \displaystyle{\overline{x} ,  S , R} η μέση τιμή, η τυπική απόκλιση και το εύρος της κανονικής κατανομής.
i) Να βρεθούν οι τετμημένες των σημείων της γραφικής παράστασης της \displaystyle{f} που οι εφαπτομένες είναι παράλληλες με τον άξονα \displaystyle{x΄x}.
ii) Αν \displaystyle{A, B} είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου \displaystyle{\Omega}, με \displaystyle{A\subseteq B} και \displaystyle{P(A) , P(B)} είναι οι τετμημένες των σημείων του ερωτήματος δ)i) να βρεθούν οι πιθανότητες \displaystyle{P(A) , P(B) , P(A\cap B) , P(A\cup B) , P(A-B)} και \displaystyle{P(B-A)}
iii) Να βρείτε τη μέση τιμή, τη διάμεσο, την τυπική απόκλιση και τον συντελεστή μεταβλητότητας των παρατηρήσεων \displaystyle{P(A) , P(B) , P(A\cap B) , P(A\cup B)} του ερωτήματος δ)ii)
iv) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα την συνάρτηση \displaystyle{g(x)=\ln (x-P(B) )-\frac{1}{2}(x-P(B) )^2+P(A) }, όπου \displaystyle{P(A)} και \displaystyle{P(B)} οι πιθανότητες των ενδεχομένων \displaystyle{A} και \displaystyle{B} του ερωτήματος δ)ii)


α) Οι 100 παρατηρήσεις αποτελούν το \displaystyle\frac{{100}}{{4000}} = 0,025 = 2,5\% των παρατηρήσεων και αφού η κατανομή είναι κανονική είναι: \bar x + 2s = 22\;\left( 1 \right)

Οι 6 παρατηρήσεις αποτελούν το \displaystyle\frac{6}{{4000}} = 0,0015 = 0,15\% των παρατηρήσεων. έτσι \bar x - 3s = 17\;\left( 2 \right)

Αφαιρώντας την (2) από την (1) παίρνουμε 5s = 5 \Leftrightarrow s = 1

Η (1) μας δίνει \bar x = 20

Είναι \delta  = \bar x = 20 και R \cong 6s \Leftrightarrow R \cong 6 αφού η κατανομή είναι κανονική.

β) Είναι \displaystyle CV = \frac{s}{{\left| {\bar x} \right|}} \Rightarrow CV = \frac{1}{{20}} \Rightarrow CV = 0,05 < 0,1 , οπότε το δείγμα είναι ομοιογενές.

γ) Αν κάθε παρατήρηση μειωθεί κατά \alpha  > 0 , τότε η νέα μέση τιμή των παρατηρήσεων είναι {\bar x_1} = \bar x - \alpha  \Rightarrow {\bar x_1} = 20 - \alpha και η νέα τυπική απόκλιση είναι {s_1} = s \Rightarrow {s_1} = 1

Πρέπει \displaystyle C{V_1} > \frac{1}{{10}}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{\alpha  \ne 20} \frac{1}{{\left| {20 - \alpha } \right|}} > \frac{1}{{10}} \Leftrightarrow \left| {20 - \alpha } \right| < 10 \Leftrightarrow 10 < \alpha  < 30

δ) Με τις τιμές που βρήκαμε η f γίνεται:

\displaystyle f\left( x \right) = 2{x^3} - \frac{7}{2}{x^2} + 2x + 2013,\;x \in R

f'\left( x \right) = 6{x^2} - 7x + 2

i. Στα σημεία που οι εφαπτόμενες είναι παράλληλες στον x'x είναι:

\displaystyle f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 6{x^2} - 7x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\;\dot \eta \;x = \frac{2}{3}

ii. A \subseteq B \Rightarrow P\left( A \right) \le P\left( B \right) , οπότε \displaystyle P\left( A \right) = \frac{1}{2} και \displaystyleP\left( B \right) = \frac{2}{3}

\displaystyle A \subseteq B \Rightarrow A \cap B = A \Rightarrow P\left( {A \cap B} \right) = P(A) \Rightarrow P\left( {A \cap B} \right) = \frac{1}{2}

\displaystyle A \subseteq B \Rightarrow A \cup B = B \Rightarrow P\left( {A \cup B} \right) = P(B) \Rightarrow P\left( {A \cup B} \right) = \frac{2}{3}

\displaystyle A \subseteq B \Rightarrow A - B = \emptyset  \Rightarrow P\left( {A - B} \right) = 0

\displaystyle P\left( {B - A} \right) = P(B) - P\left( {A \cap B} \right) \Rightarrow P\left( {B - A} \right) = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} \Rightarrow P\left( {B - A} \right) = \frac{1}{6}

iii. Οι παρατηρήσεις P(A),\;P(B),\;P(A \cap B) και P(A \cup B) σε αύξουσα σειρά είναι οι: \displaystyle\frac{1}{2},\;\frac{1}{2},\;\frac{2}{3},\;\frac{2}{3} και έχουν:

Μέση τιμή \displaystyle\bar x = \frac{{2 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{3}}}{4} \Rightarrow \bar x = \frac{7}{{12}}

Διάμεσο \displaystyle\delta  = \frac{{\frac{1}{2} + \frac{2}{3}}}{2} \Rightarrow \delta  = \frac{7}{{12}}

Διακύμανση – Τυπική απόκλιση

\displaystyle {s^2} = \frac{1}{4}\left[ {2{{\left( {\frac{7}{{12}} - \frac{1}{2}} \right)}^2} + 2{{\left( {\frac{7}{{12}} - \frac{2}{3}} \right)}^2}} \right] \Rightarrow {s^2} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{144}} + \frac{1}{{144}}} \right) \Rightarrow s = \frac{1}{{12}}

Συντελεστή μεταβολής \displaystyle CV = \frac{s}{{\left| {\bar x} \right|}} \Rightarrow CV = \frac{1}{7}

iv. Με \displaystyle P\left( A \right) = \frac{1}{2} και \displaystyle P\left( B \right) = \frac{2}{3} η g γίνεται:

\displaystyle g\left( x \right) = \ln \left( {x - \frac{2}{3}} \right) - \frac{1}{2}{\left( {x - \frac{2}{3}} \right)^2} + \frac{1}{2} με \displaystyle x > \frac{2}{3}

Είναι \displaystyle g'\left( x \right) = \frac{1}{{x - \frac{2}{3}}} - \left( {x - \frac{2}{3}} \right) \Rightarrow g'\left( x \right) = \frac{{1 - {{\left( {x - \frac{2}{3}} \right)}^2}}}{{x - \frac{2}{3}}} \Rightarrow g'\left( x \right) = \frac{{\left( {\frac{1}{3} - x} \right)\left( {\frac{5}{3} - x} \right)}}{{x - \frac{2}{3}}}

\displaystyle g'(x) = 0\mathop  \Leftrightarrow \limits^{x - \frac{2}{3} > 0} \left( {\frac{1}{3} - x} \right)\left( {\frac{5}{3} - x} \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}\;\dot \eta \,x = \frac{5}{3}

\displaystyle g'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x > \frac{5}{3} αφού \displaystyle x > \frac{2}{3}

Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα αν \displaystyle x \in \left[ {\frac{5}{3}, + \infty } \right) και γνησίως φθίνουσα αν \displaystyle x \in \left( {\frac{2}{3},\frac{5}{3}} \right] και παρουσιάζει ολικό ελάχιστο αν \displaystyle x = \frac{5}{3} το \displaystyle g\left( {\frac{5}{3}} \right) = \ln 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \Rightarrow g\left( {\frac{5}{3}} \right) = 0


Ηλίας Καμπελής

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες