Θέμα Στατιστικής κλιμακούμενης δυσκολίας

Συντονιστής: xr.tsif

Άβαταρ μέλους
thanasis kopadis
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Μαρ 22, 2013 9:51 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς - Αττική
Επικοινωνία:

Θέμα Στατιστικής κλιμακούμενης δυσκολίας

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από thanasis kopadis » Τετ Σεπ 04, 2013 11:16 pm

Έστω οι παρατηρήσεις x_1,x_2,....x_n μιας ποσοτικής μεταβλητής X , με μέση τιμή \bar{x}>0, τυπική απόκλιση S και συντελεστή μεταβολής CV=0,25. Δίνεται επίσης ότι \displaystyle{\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\bar{x}})^2=5n-\sum_{i=1}^{n}{x_i}}.

α) Να βρείτε τα \bar{x} και S

β) Πόσο πρέπει να αυξηθούν οι παρατηρήσεις x_1,x_2,....x_n ώστε το δείγμα να είναι ομοιογενές;

γ) Να αποδείξετε ότι το κλάσμα \displaystyle{A=\frac{x_1^2+x_2^2+....+x_n^2}{x_1+x_2+....+x_n}} είναι ανεξάρτητο από το μέγεθος n του δείγματος

δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει παρατήρηση x_k η οποία να ανήκει στο διάστημα [3,5]


«Τι είναι το μηδέν, Μπαμπά ;»
«Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»
«Οι ροζ ή οι άσπροι;»
Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 928
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Θέμα Στατιστικής κλιμακούμενης δυσκολίας

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από hlkampel » Πέμ Σεπ 05, 2013 12:36 am

thanasis kopadis έγραψε:Έστω οι παρατηρήσεις x_1,x_2,....x_n μιας ποσοτικής μεταβλητής X , με μέση τιμή \bar{x}>0, τυπική απόκλιση S και συντελεστή μεταβολής CV=0,25. Δίνεται επίσης ότι \displaystyle{\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\bar{x}})^2=5n-\sum_{i=1}^{n}{x_i}}.

α) Να βρείτε τα \bar{x} και S

β) Πόσο πρέπει να αυξηθούν οι παρατηρήσεις x_1,x_2,....x_n ώστε το δείγμα να είναι ομοιογενές;

γ) Να αποδείξετε ότι το κλάσμα \displaystyle{A=\frac{x_1^2+x_2^2+....+x_n^2}{x_1+x_2+....+x_n}} είναι ανεξάρτητο από το μέγεθος n του δείγματος

δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει παρατήρηση x_k η οποία να ανήκει στο διάστημα [3,5]


α) Είναι \displaystyle CV = \frac{s}{{\bar x}} \Leftrightarrow s = 0,25\bar x\;\left( 1 \right)

\displaystyle{{s^2} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_i} - \bar x} \right)}^2}} \mathop  \Rightarrow \limits_{\upsilon \pi \dot o\theta \varepsilon \sigma \eta }^{\left( 1 \right)} 0,0625{\bar x^2} = \frac{1}{n}\left( {5n - \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} } \right) \Rightarrow }

\displaystyle{0,0625{\bar x^2} = 5 - \bar x \Rightarrow \bar x = 4}

\left( 1 \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{\bar x = 4} s = 1

β) Έστω ότι κάθε παρατήρηση αυξάνεται κατά c > 0 ,τότε η νέα μέση τιμή του δείγματος είναι {\bar x_1} = \bar x + c \Leftrightarrow {\bar x_1} = 4 + c και νέα τυπική απόκλιση είναι {s_1} = s = 1 .

Ο συντελεστής μεταβολή γίνεται: \displaystyle C{V_1} = \frac{{{s_1}}}{{{{\bar x}_1}}} = \frac{1}{{4 + c}}

Για να είναι το δείγμα ομοιογενές πρέπει \displaystyle CV \le 0,1 \Leftrightarrow \frac{1}{{4 + c}} \le 0,1 \Leftrightarrow 0,4 + 0,1c \ge 1 \Leftrightarrow c \ge 6

Άρα για να είναι το δείγμα ομοιογενές κάθε παρατήρηση πρέπει να αυξηθεί τουλάχιστον κατά 6 μονάδες.


γ) \displaystyle {{s^2} = \frac{1}{n}\left\{ {\sum\limits_{i = 1}^n {x_i^2 - \frac{{{{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} } \right)}^2}}}{n}} } \right\} \Leftrightarrow {s^2} = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {x_i^2} }}{n} - {\bar x^2} \Leftrightarrow \sum\limits_{i = 1}^n {x_i^2}  = n\left( {{s^2} + {{\bar x}^2}} \right)}

\displaystyle \bar x = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}}  \Leftrightarrow \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}}  = n\bar x

Είναι \displaystyle A = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {x_i^2} }}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} }} = \frac{{n\left( {{s^2} + {{\bar x}^2}} \right)}}{{n\bar x}} \Leftrightarrow A = \frac{{{s^2} + {{\bar x}^2}}}{{\bar x}}

δ) Είναι \displaystyle{{s^2} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_i} - \bar x} \right)}^2}} \mathop  \Rightarrow \limits^{s = 1,\;\bar x = 4} \sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_i} - 4} \right)}^2}}  = n\;\left( 2 \right)}

Αν για κάθε i = 1,2,...,n είναι {x_i} < 3\;\dot \eta \;{x_i} > 5 τότε:

{x_i} - 4 <  - 1\;\dot \eta \;{x_i} - 4 > 1 οπότε και στις δύο περιπτώσεις είναι {\left( {{x_i} - 4} \right)^2} > 1

Οπότε \displaystyle{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_i} - 4} \right)}^2}}  > n\;} το οποίο είναι άτοπο λόγω της \displaystyle{\left( 2 \right)}

Άρα υπάρχει παρατήρηση {x_k} η οποία να ανήκει στο διάστημα \left[ {3,5} \right]

Edit: Έγινε διόρθωση σε αριθμητικό λάθος στο β. Ευχαριστώ τον Τόλη για την ειδοποίηση
τελευταία επεξεργασία από hlkampel σε Πέμ Σεπ 05, 2013 7:41 am, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.


Ηλίας Καμπελής
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 2747
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Θέμα Στατιστικής κλιμακούμενης δυσκολίας

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από Tolaso J Kos » Πέμ Σεπ 05, 2013 12:44 am

thanasis kopadis έγραψε:Έστω οι παρατηρήσεις x_1,x_2,....x_n μιας ποσοτικής μεταβλητής X , με μέση τιμή \bar{x}>0, τυπική απόκλιση S και συντελεστή μεταβολής CV=0,25. Δίνεται επίσης ότι \displaystyle{\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\bar{x}})^2=5n-\sum_{i=1}^{n}{x_i}}.

α) Να βρείτε τα \bar{x} και S

β) Πόσο πρέπει να αυξηθούν οι παρατηρήσεις x_1,x_2,....x_n ώστε το δείγμα να είναι ομοιογενές;



Για τα 2 πρώτα:

α)Έχουμε ότι \displaystyle{CV=\frac{s}{\bar{x}}\Leftrightarrow \frac{s}{\bar{x}}=\frac{1}{4}\, \,  (1)}.
Επίσης ισχύει: \displaystyle{s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}.
Από την εκφώνηση έχουμε \displaystyle{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=5n-\sum_{i=1}^{n}x_i\Leftrightarrow \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=5-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i\, \, \, \,  (2)}
Από τη (2) έχουμε ότι: \displaystyle{ s^2=5-\bar{x}\Leftrightarrow \bar{x}=5-s^2\, \, \, (3)}. Όμως s>0 και επειδή \bar{x}>0 έχουμε από την (1).
\displaystyle{\frac{s}{\bar{x}}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow \frac{s}{5-s^2}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow 5-s^2-4s=0\Leftrightarrow s^2+4s-5=0}\displaystyle{\Leftrightarrow s^2+4s+4=9\Leftrightarrow (s+2)^2=9\Leftrightarrow \left | s+2 \right |=3\Leftrightarrow s=1} άρα τελικά από την (1) έχουμε ότι \bar{x}=4.

β)Για να είναι ομοιογενές πρέπει να είναι \displaystyle{CV'\leq \frac{1}{10}=0.1}. Έστω c η σταθερά κατά την οποία πρέπει να αυξηθούν όλες οι παρατηρήσεις. Τώρα έχουμε ότι το νέο δείγμα θα είναι y_i=x_i+c με \bar{y}=\bar{x}+c και s_y=s_x. Άρα είναι:
\displaystyle{CV_y\leq 0.1\Leftrightarrow \frac{s_y}{\bar{y}}\leq \frac{1}{10}\Leftrightarrow \frac{1}{4+c}\leq \frac{1}{10}}\displaystyle{\Leftrightarrow 10\leq 4+c\Leftrightarrow c\geq 6}

Άρα όλες οι παρατηρήσεις πρέπει να αυξηθούν τουλάχιστον 6 μονάδες.

Τα γ, δ τα απάντησε ο hlkampel . Αφήνω τη δημοσίευση για το β)καθώς έχουμε διαφορετικά αποτελέσματα!

Τόλης


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης