Θέμα Στατιστικής κλιμακούμενης δυσκολίας

thanasis kopadis · #1

Έστω οι παρατηρήσεις x_1,x_2,....x_n

μιας ποσοτικής μεταβλητής

, με μέση τιμή $\bar{x}>0$ , τυπική απόκλιση

και συντελεστή μεταβολής CV=0,25

. Δίνεται επίσης ότι $\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\bar{x}})^2=5n-\sum_{i=1}^{n}{x_i}}$ .

α) Να βρείτε τα $\bar{x}$ και

β) Πόσο πρέπει να αυξηθούν οι παρατηρήσεις x_1,x_2,....x_n

ώστε το δείγμα να είναι ομοιογενές;

γ) Να αποδείξετε ότι το κλάσμα $\displaystyle{A=\frac{x_1^2+x_2^2+....+x_n^2}{x_1+x_2+....+x_n}}$ είναι ανεξάρτητο από το μέγεθος

του δείγματος

δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει παρατήρηση x_k

η οποία να ανήκει στο διάστημα [3,5]

hlkampel · #2

thanasis kopadis έγραψε:Έστω οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής , με μέση τιμή $\bar{x}>0$ , τυπική απόκλιση και συντελεστή μεταβολής . Δίνεται επίσης ότι $\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\bar{x}})^2=5n-\sum_{i=1}^{n}{x_i}}$ .

α) Να βρείτε τα $\bar{x}$ και

β) Πόσο πρέπει να αυξηθούν οι παρατηρήσεις ώστε το δείγμα να είναι ομοιογενές;

γ) Να αποδείξετε ότι το κλάσμα $\displaystyle{A=\frac{x_1^2+x_2^2+....+x_n^2}{x_1+x_2+....+x_n}}$ είναι ανεξάρτητο από το μέγεθος του δείγματος

δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει παρατήρηση η οποία να ανήκει στο διάστημα

α) Είναι $\displaystyle CV = \frac{s}{{\bar x}} \Leftrightarrow s = 0,25\bar x\;\left( 1 \right)$

$\displaystyle{{s^2} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_i} - \bar x} \right)}^2}} \mathop \Rightarrow \limits_{\upsilon \pi \dot o\theta \varepsilon \sigma \eta }^{\left( 1 \right)} 0,0625{\bar x^2} = \frac{1}{n}\left( {5n - \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} } \right) \Rightarrow }$

$\displaystyle{0,0625{\bar x^2} = 5 - \bar x \Rightarrow \bar x = 4}$

$\left( 1 \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\bar x = 4} s = 1$

β) Έστω ότι κάθε παρατήρηση αυξάνεται κατά c > 0

,τότε η νέα μέση τιμή του δείγματος είναι ${\bar x_1} = \bar x + c \Leftrightarrow {\bar x_1} = 4 + c$ και νέα τυπική απόκλιση είναι ${s_1} = s = 1$ .

Ο συντελεστής μεταβολή γίνεται: $\displaystyle C{V_1} = \frac{{{s_1}}}{{{{\bar x}_1}}} = \frac{1}{{4 + c}}$

Για να είναι το δείγμα ομοιογενές πρέπει $\displaystyle CV \le 0,1 \Leftrightarrow \frac{1}{{4 + c}} \le 0,1 \Leftrightarrow 0,4 + 0,1c \ge 1 \Leftrightarrow c \ge 6$

Άρα για να είναι το δείγμα ομοιογενές κάθε παρατήρηση πρέπει να αυξηθεί τουλάχιστον κατά

μονάδες.

γ) $\displaystyle {{s^2} = \frac{1}{n}\left\{ {\sum\limits_{i = 1}^n {x_i^2 - \frac{{{{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} } \right)}^2}}}{n}} } \right\} \Leftrightarrow {s^2} = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {x_i^2} }}{n} - {\bar x^2} \Leftrightarrow \sum\limits_{i = 1}^n {x_i^2} = n\left( {{s^2} + {{\bar x}^2}} \right)}$

$\displaystyle \bar x = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} \Leftrightarrow \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} = n\bar x$

Είναι $\displaystyle A = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {x_i^2} }}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} }} = \frac{{n\left( {{s^2} + {{\bar x}^2}} \right)}}{{n\bar x}} \Leftrightarrow A = \frac{{{s^2} + {{\bar x}^2}}}{{\bar x}}$

δ) Είναι $\displaystyle{{s^2} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_i} - \bar x} \right)}^2}} \mathop \Rightarrow \limits^{s = 1,\;\bar x = 4} \sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_i} - 4} \right)}^2}} = n\;\left( 2 \right)}$

Αν για κάθε i = 1,2,...,n

είναι ${x_i} < 3\;\dot \eta \;{x_i} > 5$ τότε:

${x_i} - 4 < - 1\;\dot \eta \;{x_i} - 4 > 1$ οπότε και στις δύο περιπτώσεις είναι ${\left( {{x_i} - 4} \right)^2} > 1$

Οπότε $\displaystyle{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_i} - 4} \right)}^2}} > n\;}$ το οποίο είναι άτοπο λόγω της $\displaystyle{\left( 2 \right)}$

Άρα υπάρχει παρατήρηση ${x_k}$ η οποία να ανήκει στο διάστημα $\left[ {3,5} \right]$

Edit: Έγινε διόρθωση σε αριθμητικό λάθος στο β. Ευχαριστώ τον Τόλη για την ειδοποίηση

Tolaso J Kos · #3

thanasis kopadis έγραψε:Έστω οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής , με μέση τιμή $\bar{x}>0$ , τυπική απόκλιση και συντελεστή μεταβολής . Δίνεται επίσης ότι $\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\bar{x}})^2=5n-\sum_{i=1}^{n}{x_i}}$ .

α) Να βρείτε τα $\bar{x}$ και

β) Πόσο πρέπει να αυξηθούν οι παρατηρήσεις ώστε το δείγμα να είναι ομοιογενές;

Για τα 2 πρώτα:

α)Έχουμε ότι $\displaystyle{CV=\frac{s}{\bar{x}}\Leftrightarrow \frac{s}{\bar{x}}=\frac{1}{4}\, \, (1)}$ .
Επίσης ισχύει: $\displaystyle{s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}$ .
Από την εκφώνηση έχουμε $\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=5n-\sum_{i=1}^{n}x_i\Leftrightarrow \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=5-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i\, \, \, \, (2)}$
Από τη (2)

έχουμε ότι: $\displaystyle{ s^2=5-\bar{x}\Leftrightarrow \bar{x}=5-s^2\, \, \, (3)}$ . Όμως s>0

και επειδή $\bar{x}>0$ έχουμε από την (1)

.
$\displaystyle{\frac{s}{\bar{x}}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow \frac{s}{5-s^2}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow 5-s^2-4s=0\Leftrightarrow s^2+4s-5=0}$ \displaystyle{\displaystyle{\Leftrightarrow s^2+4s+4=9\Leftrightarrow (s+2)^2=9\Leftrightarrow \left | s+2 \right |=3\Leftrightarrow s=1} άρα τελικά από την

(1)

\bar{x}=4

\displaystyle{CV'\leq \frac{1}{10}=0.1} . Έστω

c[unparseable or potentially dangerous latex formula]y_i=x_i+c

\bar{y}=\bar{x}+c και

s_y=s_x

\displaystyle{CV_y\leq 0.1\Leftrightarrow \frac{s_y}{\bar{y}}\leq \frac{1}{10}\Leftrightarrow \frac{1}{4+c}\leq \frac{1}{10}}} $\displaystyle{\Leftrightarrow 10\leq 4+c\Leftrightarrow c\geq 6}$

Άρα όλες οι παρατηρήσεις πρέπει να αυξηθούν τουλάχιστον

μονάδες.

Τα γ, δ τα απάντησε ο hlkampel . Αφήνω τη δημοσίευση για το β)καθώς έχουμε διαφορετικά αποτελέσματα!

Τόλης

Θέμα Στατιστικής κλιμακούμενης δυσκολίας

Θέμα Στατιστικής κλιμακούμενης δυσκολίας

Re: Θέμα Στατιστικής κλιμακούμενης δυσκολίας

Re: Θέμα Στατιστικής κλιμακούμενης δυσκολίας

Μέλη σε σύνδεση