10 Γ.Π.Πιθανότητες

Α.Κυριακόπουλος · #1

ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ.
Έστω ότι Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός (περασμένου) δειγματικού χώρου Ω με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να αποδείξετε ότι:
1) Αν $\displaystyle{{\rm A} \subset {\rm B}}$ , τότε P(Α)<P(Β).
2) Αν P(Α)=1, τότε Α = Ω.
3) Αν P(Α)=0, τότε $\displaystyle{{\rm A} = \emptyset }$ .
4) Αν $\displaystyle{{\rm A} \subseteq {\rm B}}$ και P(Α)= P(Β),τότε Α=Β.
• Ισχύουν οι παραπάνω προτάσεις αν τα απλά ενδεχόμενα δεν είναι ισοπίθανα;
Λύση.
1) Έχουμε:
$\displaystyle{ A\subset {\rm B} \Rightarrow {\rm N}({\rm A}) < {\rm N}({\rm B}) \Rightarrow \frac{{{\rm N}({\rm A})}}{{{\rm N}(\Omega )}} < \frac{{{\rm N}({\rm B})}}{{{\rm N}(\Omega )}} \Rightarrow P({\rm A}) < P({\rm B})}$ .
2) Έστω ότι P(Α)=1. Έχουμε: $\displaystyle{{\rm A} \subseteq \Omega }$ . Έστω ότι $\displaystyle{{\rm A} \subset \Omega }$ . Τότε P(Α)<P(Ω), δηλαδή
1<1, άτοπο. Άρα Α = Ω.
3) Έστω ότι P(Α)=0 και ότι $\displaystyle{{\rm A} \ne \emptyset }$ . Τότε:
$\displaystyle{\emptyset \subset {\rm A} \Rightarrow P(\emptyset ) < P({\rm A}) \Rightarrow 0 < 0}$ , άτοπο. Άρα $\displaystyle{{\rm A} = \emptyset }$ .
4) Έστω ότι. $\displaystyle{{\rm A} \subseteq {\rm B}}$ και P(Α)= P(Β). Έχουμε:
$\displaystyle{{\rm A} \subset {\rm B} \Rightarrow {\rm N}({\rm A}) < {\rm N}({\rm B}) \Rightarrow \frac{{{\rm N}({\rm A})}}{{{\rm N}(\Omega )}} < \frac{{{\rm N}({\rm B})}}{{{\rm N}(\Omega )}} \Rightarrow P({\rm A}) < P({\rm B})}$ , άτοπο.Άρα Α=Β.
• Καμία από τις παραπάνω προτάσεις δεν ισχύει αν τα απλά ενδεχόμενα δεν είναι ισοπίθανα.
Πράγματι, θεωρούμε το δειγματικό χώρο $\displaystyle{\Omega = \left\{ {{\omega _1},{\omega _2},{\omega _3},{\omega _4}} \right\}}$ και τη συνάρτηση πιθανότητας P με:
$\displaystyle{P({\omega _1}) = \frac{1}{8}}$ , $\displaystyle{P({\omega _2}) = \frac{1}{4}}$ , $\displaystyle{P({\omega _3}) = \frac{5}{8}}$ και $\displaystyle{P({\omega _4}) = 0}$ .
1) Με $\displaystyle{{\rm A} = \left\{ {{\omega _1}} \right\}}$ και $\displaystyle{{\rm B} = \left\{ {{\omega _1},{\omega _4}} \right\}}$ , έχουμε: $\displaystyle{{\rm A} \subset {\rm B}}$ , αλλά P(Α)= P(Β).
2) Με $\displaystyle{{\rm A} = \left\{ {{\omega _1},{\omega _2},{\omega _3}} \right\}}$ , έχουμε: P(Α)=1, αλλά $\displaystyle{{\rm A} \ne \Omega }$ ( $\displaystyle{{\rm A} \subset \Omega }$ ).
3) Με $\displaystyle{{\rm A} = \left\{ {{\omega _4}} \right\}}$ , έχουμε: P(Α)=0, αλλά $\displaystyle{{\rm A} \ne \emptyset }$ .
4) Με $\displaystyle{{\rm A} = \left\{ {{\omega _1}} \right\}}$ και $\displaystyle{{\rm B} = \left\{ {{\omega _1},{\omega _4}} \right\}}$ , έχουμε: $\displaystyle{{\rm A} \subseteq {\rm B}}$ και P(Α)= P(Β), αλλά $\displaystyle{{\rm A} \ne {\rm B}}$ .

#2

Αντώνη, να προσθέσω ότι οι παραπάνω προτάσεις ισχύουν αρκεί να μην υπάρχει $\omega \in \Omega$ με $P(\omega) = 0$ . (Αυτή η συνθήκη μάλιστα είναι και αναγκαία για να ισχύουν οι προτάσεις.)

Tkostas · #3

Και κάτι ακόμη.

Νομίζω οι μαθητές δεν γνωρίζουν την διαφορά υποσυνόλου και γνήσιου υποσυνόλου.
Έτσι δεν είναι?

Chrismegg · #4

Θα ήθελα να ρωτήσω τι νόημα δίνεται στον συμβολισμό Ρ(ω4)=0 όταν ω4 ανήκει στο Ω.

Α.Κυριακόπουλος · #5

Demetres έγραψε:Αντώνη, να προσθέσω ότι οι παραπάνω προτάσεις ισχύουν αρκεί να μην υπάρχει $\omega \in \Omega$ με $P(\omega) = 0$ . (Αυτή η συνθήκη μάλιστα είναι και αναγκαία για να ισχύουν οι προτάσεις.)

Δημήτρη. Σωστά. Αλλά εγώ δεν έχω αποκλείσει αυτή την περίπτωση.

Tkostas έγραψε:Και κάτι ακόμη.
Νομίζω οι μαθητές δεν γνωρίζουν την διαφορά υποσυνόλου και γνήσιου υποσυνόλου.
Έτσι δεν είναι?

Όχι. Δεν είναι έτσι. Αλίμονο, αν ο καθηγητής που μιλάει στα παιδιά για σύνολα και υποσύνολα δεν τους έχει πει αυτή την περίπτωση. Δεν είναι ανάγκη να το έχει το σχολικό βιβλίο. Ο καθηγητής δεν είναι,δεν πρέπει να είναι, φωτοτυπικό μηχάνημα του σχολικού βιβλίου!!! Αν όμως κάποιος νομίζει ότι πρέπει να είναι, τότε να αντικαταστήσει τη σχέση: $\displaystyle{{\rm A} \subset {\rm B}}$ με τις σχέσεις: $\displaystyle{{\rm A} \subseteq {\rm B}}$ και $\displaystyle{{\rm A} \ne {\rm B}}$ .

Chrismegg έγραψε:Θα ήθελα να ρωτήσω τι νόημα δίνεται στον συμβολισμό Ρ(ω4)=0 όταν ω4 ανήκει στο Ω.

Ο αξιωματικός ορισμός της πιθανότητας( σχολικό βιβλίο, σελίδα 149) δεν αποκλείει την περίπτωση ένα απλό ενδεχόμενο να έχει πιθανότητα 0. Ακόμα και ένα σύνθετο ενδεχόμενο μπορεί να έχει πιθανότητα 0. Που είναι το περίεργο;

christodoulou · #6

Demetres έγραψε:Αντώνη, να προσθέσω ότι οι παραπάνω προτάσεις ισχύουν αρκεί να μην υπάρχει $\omega \in \Omega$ με $P(\omega) = 0$ . (Αυτή η συνθήκη μάλιστα είναι και αναγκαία για να ισχύουν οι προτάσεις.)

Δεν καταλαβαίνω το λόγο της αναφοράς αυτής της παρατήρησης αφού οι προτάσεις αυτές αναφέρονται σε ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Δηλαδή ισχύει αυτό που αναφέρεις. Μήπως δεν κατάλαβα κάτι;

#7

christodoulou έγραψε:
Demetres έγραψε:Αντώνη, να προσθέσω ότι οι παραπάνω προτάσεις ισχύουν αρκεί να μην υπάρχει $\omega \in \Omega$ με $P(\omega) = 0$ . (Αυτή η συνθήκη μάλιστα είναι και αναγκαία για να ισχύουν οι προτάσεις.)
Δεν καταλαβαίνω το λόγο της αναφοράς αυτής της παρατήρησης αφού οι προτάσεις αυτές αναφέρονται σε ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Δηλαδή ισχύει αυτό που αναφέρεις. Μήπως δεν κατάλαβα κάτι;

Συγνώμη αν δεν έγινα κατανοητός. Αυτό που ήθελα να πω ήταν ότι μπορούμε να αντικαταστήσουμε την συνθήκη "τα ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα" με την συνθήκη "δεν υπάρχει $\omega \in \Omega$ με $P(\omega) = 0$ " (η οποία όπως αναφέρεις είναι πιο αδύνατη) και πάλι να πάρουμε το ίδιο αποτέλεσμα.

christodoulou · #8

Demetres έγραψε:
christodoulou έγραψε:
Demetres έγραψε:Αντώνη, να προσθέσω ότι οι παραπάνω προτάσεις ισχύουν αρκεί να μην υπάρχει $\omega \in \Omega$ με $P(\omega) = 0$ . (Αυτή η συνθήκη μάλιστα είναι και αναγκαία για να ισχύουν οι προτάσεις.)
Δεν καταλαβαίνω το λόγο της αναφοράς αυτής της παρατήρησης αφού οι προτάσεις αυτές αναφέρονται σε ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Δηλαδή ισχύει αυτό που αναφέρεις. Μήπως δεν κατάλαβα κάτι;
Συγνώμη αν δεν έγινα κατανοητός. Αυτό που ήθελα να πω ήταν ότι μπορούμε να αντικαταστήσουμε την συνθήκη "τα ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα" με την συνθήκη "δεν υπάρχει $\omega \in \Omega$ με $P(\omega) = 0$ " (η οποία όπως αναφέρεις είναι πιο αδύνατη) και πάλι να πάρουμε το ίδιο αποτέλεσμα.

Ευχαριστώ για την επεξήγηση! Τώρα κατάλαβα τι εννοείς.Να είσαι καλά.

Chrismegg · #9

Άλλη μια προσπάθεια.Τι νόημα δίνεται στην φράση P(ω1)=0 όταν το ω1 δεν είναι το κενό σύνολο;Το οτι το σχολικό βιβλίο δεν το αποκλείει δεν σημαίνει οτι έχει και νόημα.
Μπορεί κάποιος να δώσει ευγενικά κάποιο παράδειγμα;
Παραπιπτώντως γνωρίζω το σχολικό βιβλίο και νομίζω οτι είναι κάπως προσβλητική η φράση:Τι το περίεργο βρίσκεις;

mathxl · #10

Ίσως ένα φαγωμένο ζάρι σε κάποιο "καζίνο" με τέτοιο τρόπο ώστε όσες φορές και να εκτελεστεί το τυχαίο πείραμα να μην μπορεί να φέρει ποτέ λ.χ. 2;; Δυνατά αποτελέσματα τα γνωτά 1,2,3,4,5,6 αλλά Ρ(2)=0;

#11

Chrismegg έγραψε:Άλλη μια προσπάθεια.Τι νόημα δίνεται στην φράση P(ω1)=0 όταν το ω1 δεν είναι το κενό σύνολο;Το οτι το σχολικό βιβλίο δεν το αποκλείει δεν σημαίνει οτι έχει και νόημα.
Μπορεί κάποιος να δώσει ευγενικά κάποιο παράδειγμα;

Αν ο δειγματικός χώρος $\Omega$ είναι πεπερασμένος θα μπορούσαμε να αγνοήσουμε όλα τα $\omega \in \Omega$ για τα οποία $P(\omega) = 0$ . Με άλλα λόγια αν $A = \{\omega \in \Omega : P(\omega) = 0\}$ θα μπορούσαμε αντί με τον δειγματικό χώρο $\Omega$ να δουλεύουμε με τον δειγματικό χώρο $\Omega{'} = \Omega \setminus A$ .

Η ερώτησή σου λοιπόν είναι: Γιατί να μην βάλουμε τον περιορισμό ότι για κάθε $\omega \in \Omega$ πρέπει $P(\omega) \neq 0$ ; Αν δουλεύουμε με πεπερασμένους δειγματικούς χώρους η θεωρία δεν θα είχε σχεδόν καμία διαφορά αν βάζαμε αυτόν τον περιορισμό.

Όμως, σε όλες τις ενδιαφέρουσες περιπτώσεις με άπειρο δειγματικό χώρο δεν μπορούμε να βάλουμε αυτόν τον περιορισμό. Σκέψου για παράδειγμα την ομοιόμορφη κατανομή στο [0,1]

. Ο δειγματικός χώρος είναι ο [0,1]

και έχουμε για παράδειγμα P([0,1/2]) = 1/2

κ.τ.λ. Για κάθε $\omega \in [0,1]$ ισχύει ότι $P(\{\omega\}) = 0$ . Δεν μπορούμε όμως να αγνοήσουμε το σύνολο $A = \{\omega \in \Omega : P(\omega) = 0\}$ όπως κάναμε στην περίπτωση που ο $\Omega$ ήταν πεπερασμένος. Σε αυτές τις περιπτώσεις λοιπόν επιβάλλεται να δεχθούμε ότι μπορούν να υπάρχουν $\omega \in \Omega$ με $P(\omega) = 0$ . Θα ήταν παράλογο λοιπόν σε μερικές περιπτώσεις να δεχόμαστε την ύπαρξη $\omega \in \Omega$ με $P(\omega) = 0$ και σε άλλες να την αποκλείουμε. Για αυτόν τον λόγο επιλέγουμε στον ορισμό να μην αποκλείσουμε αυτήν την περίπτωση.

Α.Κυριακόπουλος · #12

Chrismegg έγραψε:Άλλη μια προσπάθεια.Τι νόημα δίνεται στην φράση P(ω1)=0 όταν το ω1 δεν είναι το κενό σύνολο;Το οτι το σχολικό βιβλίο δεν το αποκλείει δεν σημαίνει οτι έχει και νόημα.
Μπορεί κάποιος να δώσει ευγενικά κάποιο παράδειγμα;
Παραπιπτώντως γνωρίζω το σχολικό βιβλίο και νομίζω οτι είναι κάπως προσβλητική η φράση:Τι το περίεργο βρίσκεις;

• Kαταρχήν, το $\displaystyle{{\omega _1}}$ είναι ένα στοιχείο του δειγματικού χώρου Ω και δεν είναι κατ' ανάγκην σύνολο.
• Παράδειγμα συνάρτησης πιθανότητας P με $\displaystyle{P({\omega _1}) = 0}$ είναι αυτό που έχω δώσει και σύμφωνα με τον αξιωματικό ορισμό της πιθανότητας που έχει και το σχολικό βιβλίο, είναι απολύτως εντάξει. Γιατί ζητάτε άλλο παράδειγμα και μάλιστα να το δώσει κάποιος ευγενικά; Εγώ δεν έδωσα το παράδειγμα ευγενικά; Δηλαδή πώς έπρεπε να το δώσω;
• Δεν καταλαβαίνω γιατί αυτό που έγραψα, ότι δηλαδή: « Που είναι το περίεργο;», είναι προσβλητικό. Ήθελα να πω ότι αυτά που έγραψα είναι απολύτως σύμφωνα με αυτά που γράφει το σχολικό βιβλίο και ότι δεν υπάρχει κανένα πρόβλημα. Αυτό που γράψατε εσείς: «Μπορεί κάποιος να δώσει ευγενικά κάποιο παράδειγμα;» είναι ευγενικό; Τη στιγμή που έχω δώσει ένα σαφέστατο παράδειγμα;
• Εξακολουθώ να μην καταλαβαίνω τι δεν καταλαβαίνετε. Σας το λέω ειλικρινά και δεν θα ήθελα να το θεωρήσετε προσβλητικό. Αν καταλάβαινα θα προσπαθούσα όσο μπορούσα να σας εξηγήσω. Σας υπενθυμίζω κάτι που ασφαλώς το γνωρίζετε:
« Στα μαθηματικά κάτι έχει νόημα και είναι σωστό , όταν είναι σύμφωνο με τους ορισμούς και τα θεωρήματα».

Chrismegg · #13

Κατ' αρχήν ευχαριστώ όσους απάντησαν.
Ο Demetres έγραψε:"Αν δουλεύουμε με πεπερασμένους δειγματικούς χώρους η θεωρία δεν θα είχε σχεδόν καμία διαφορά ...."
Θα μπορούσε να ειπωθεί κάτι για αυτό το "σχεδόν καμία" ;
Ο mathxl αναφέρει ένα παράδειγμα για κάποιο ζάρι, που νομίζω όμως οτι από την περιγραφή του δεν είναι πλέον ζάρι. Θα μπορούσαμε με αφορμή την ιδέα του, να μιλήσουμε για ένα τραπέζι που είναι ταυτόχρονα και μαγνήτης και για ένα ζάρι που η έδρα του 1 να είναι ισχυρός μαγνήτης ώστε να προκύπτει πάντα 6. Σε αυτήν την λογική μπορούμε να θεωρήσουμε οτι και το 7 ανήκει στο Ω ( για ζάρι);Δεν βλέπω αυτές οι παραδοχές να δίνουν κάποιο νόημα.
Ο Α. Κυριακόπουλος έγραψε:" Εγώ δεν έδωσα το παράδειγμα ευγενικά;"
Προφανώς δεν ανέφερα τίποτα σχετικό. Το μόνο που είπα (και έχει πλέον λήξει) ήταν οτι η φράση που ειπώθηκε στη ροή του λόγου:" Τι το περίεργο βρίσκεις" θεωρώ οτι ήταν κάπως προσβλητική.
Τέλος, προφανώς και η δική μου φράση:" Μπορεί κάποιος να δώσει ευγενικά κάποιο παράδειγμα;" δεν ήταν καρπός ευγένειας

mathxl · #14

Καλό μεσημέρι. Θα ήθελα να ρωτήσω, τι σημαίνει μη αμερόληπτο ζάρι...διότι το βιβλίο χρησιμοποιεί αυτήν την έκφραση. Ας μου δοθεί ένα τέτοιο παράδειγμα μεροληπτικού ζαριού (πρακτικά πως πρέπει να είναι ένα τέτοιο ζάρι;)

#15

Βάλε υδράργυρο κάτω απο την έδρα του 6 και τρίψε.
Μετά ρίξε.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Κάπως έτσι λειτουργούν και οι μέτρ του ευγενούς σπόρ του μπαρμπουτίου.

mathxl · #16

Χρήστο το ζάρι αυτό είναι αμερόληπτο απλά οι συνθήκες εκτέλεσης του πειράματος δεν εξασφαλίζουν ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα και όχι το ίδιο το ζάρι. Η απορία μου περί μεροληπτικού παραμένει

#17

Βασίλη πιό μεροληπτικό ζάρι δε γίνεται!
Καλά μάλλον δεν καταλαβαίνω την έστιάση σου.
Καλό απόγευμα!

parmenides51 · #18

mathxl έγραψε: Ας μου δοθεί ένα τέτοιο παράδειγμα μεροληπτικού ζαριού (πρακτικά πως πρέπει να είναι ένα τέτοιο ζάρι;)

Σκέψου ένα ζάρι με ενδείξεις στις πλευρές 1,1,2,2,2,4

. Τα απλά ενδεχόμενα είναι προφανώς μη ισοπίθανα.
Το λογικό είναι να θεωρήσουμε δειγματικό χώρο το σύνολο $\left\{1,2,4 \right\}$ .Τότε δεν υπάρχει στοιχείο με μηδενική πιθανότητα οπότε ισχύουν οι προτάσεις 1 -4 στην αρχή του παροντος θέματος.
Αν όμως θεωρήσουμε ως δειγματικό χώρο το (κατασκευασμένο) σύνολο $\left\{1,2,3,4 \right\}$ με προφανώς $P\left(3 \right)=0$ , τότε δεν ισχύουν οι προτάσεις 1-4 όπως ορθά προανέφερε ο Demetres, για τον λόγο ότι έχουμε απλό ενδεχόμενο με μηδενική πιθανότητα.

Antonis_A · #19

θα παρακαλούσα αν μπορεί κάποιος να μου δώσει την απάντηση στην ερώτηση (την κάνω και εδώ )

"πως είναι στοιχείο του δειγματικού χώρου ενώ είναι αδύνατο να συμβεί"

#20

Αντώνη, όλα αυτά είναι δυσκολονόητα και σίγουρα όχι για το λύκειο αλλά για το πανεπιστήμιο.

Υπάρχει διάκριση μεταξύ ενός ενδεχομένου που είναι αδύνατο να συμβεί και ενός ενδεχομένου που έχει πιθανότητα

. Και η διαφορά είναι ότι υπάρχουν δειγματικοί χώροι με απλά ενδεχόμενα που μπορούν να συμβούν αλλά έχουν πιθανότητα

.

Μια εξήγηση γιατί θέλουμε να υπάρχουν και τέτοια ενδεχόμενα έχω γράψει μερικές αναρτήσεις πιο πάνω και συγκεκριμένα εδώ.

10 Γ.Π.Πιθανότητες

10 Γ.Π.Πιθανότητες

Re: 10 Γ.Π.Πιθανότητες

Re: 10 Γ.Π.Πιθανότητες

Re: 10 Γ.Π.Πιθανότητες

Re: 10 Γ.Π.Πιθανότητες

Re: 10 Γ.Π.Πιθανότητες

Re: 10 Γ.Π.Πιθανότητες

Re: 10 Γ.Π.Πιθανότητες

Re: 10 Γ.Π.Πιθανότητες

Re: 10 Γ.Π.Πιθανότητες

Re: 10 Γ.Π.Πιθανότητες

Re: 10 Γ.Π.Πιθανότητες

Re: 10 Γ.Π.Πιθανότητες

Re: 10 Γ.Π.Πιθανότητες

Re: 10 Γ.Π.Πιθανότητες

Re: 10 Γ.Π.Πιθανότητες

Re: 10 Γ.Π.Πιθανότητες

Re: 10 Γ.Π.Πιθανότητες

Re: 10 Γ.Π.Πιθανότητες

Re: 10 Γ.Π.Πιθανότητες

Μέλη σε σύνδεση