Κανονική κατανομή

#1

Έστω μια μεταβλητή Χ με θετικές τιμές x_1,x_2, ... ,x_v

που ακολουθεί κανονική κατανομή, έχει εύρος περίπου 24 και συντελεστή μεταβολής 12,5%. Έστω επίσης ότι 160 παρατηρήσεις, δηλαδή το 20% , βρίσκεται από 32 ως 34 και ότι $\displaystyle{\sum_{i=1}^{v}x_i^4=8,6536 \cdot 10^{8} }$ .

α) Να βρεθεί η μέση τιμή, τη τυπική απόκλιση και η διάμεσος.

β) Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της θετικής σταθεράς ω, η οποία αν προστεθεί σε όλες τις τιμές της μεταβλητής Χ κάνει το δείγμα ομοιογενές.

γ) Να βρεθεί το πλήθος των παρατηρήσεων από 24 ως 30.

δ) Μια νέα μεταβλητή Υ ορίζεται από τη σχέση Y=X^2

. Να συγκριθούν τα δείγματα των Χ, Υ ως προς την ομοιογένεια.

Μάκης Χατζόπουλος · #2

Θέμα 9 (ελπίζω να μην ξεχαστήκανε, άλλη μία από Στατιστική και τελειώσαμε και πάμε για Πιθανότητες)

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:Έστω μια μεταβλητή Χ με θετικές τιμές που ακολουθεί κανονική κατανομή, έχει εύρος περίπου 24 και συντελεστή μεταβολής 12,5%. Έστω επίσης ότι 160 παρατηρήσεις, δηλαδή το 20% , βρίσκεται από 32 ως 34 και ότι $\displaystyle{\sum_{i=1}^{v}x_i^4=8,6536 \cdot 10^{8} }$ .

α) Να βρεθεί η μέση τιμή, τη τυπική απόκλιση και η διάμεσος.

β) Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της θετικής σταθεράς ω, η οποία αν προστεθεί σε όλες τις τιμές της μεταβλητής Χ κάνει το δείγμα ομοιογενές.

γ) Να βρεθεί το πλήθος των παρατηρήσεων από 24 ως 30.

δ) Μια νέα μεταβλητή Υ ορίζεται από τη σχέση . Να συγκριθούν τα δείγματα των Χ, Υ ως προς την ομοιογένεια.

Κάνω την αρχή, ωραίο θέμα Λευτέρη!

α. Έχουμε $\displaystyle{ R \simeq 6 \cdot s \Leftrightarrow 24 = 6 \cdot s \Leftrightarrow s = 4 }$ και $\displaystyle{ CV = \frac{s}{{\overline x }} \Leftrightarrow \frac{1}{8} = \frac{4}{{\overline x }} \Leftrightarrow \overline x = 32 }$

στην κανονική κατανομή γνωρίζουμε ότι (οι μαθητές το γνωρίζουν;;) $\displaystyle{ \delta = \overline x = 32 }$

Μάκης Χατζόπουλος · #3

β. Έχουμε διαδοχικά, $\displaystyle{ CV' \le 0,1 \Leftrightarrow \frac{s}{{\overline x + w}} \le 0,1 \Leftrightarrow \frac{4}{{32 + w}} \le 0,1 \Leftrightarrow w \ge 8 }$ άρα η ελάχιστη τιμή του w είναι 8

γ. Επίσης, $\displaystyle{ v = 160 \cdot \frac{{100}}{{20}} = 800 }$ οπότε το ποσοστό μεταξύ 24 - 30 είναι 13,5% + 34%/2 =30,5% (είναι σωστό να διαμερίσουμε έτσι το διάστημα;;) οπότε το πλήθος των παρατηρήσεων είναι:
$\displaystyle{ \frac{{800 \cdot 30,5}}{{100}} = 244 }$

δ. Έχουμε, $\displaystyle{ s^2 = \frac{{\sum {x_i^2 } }}{v} - \overline x ^2 \Leftrightarrow 16 = \frac{{\sum {x_i^2 } }}{{800}} - 32^2 \Leftrightarrow \sum {x_i^2 } = \left( {16 + 32^2 } \right) \cdot 800 }$

άρα η νέα μέση τιμή είναι: $\displaystyle{ \overline x ' = \frac{{\sum {x_i^2 } }}{v} = \frac{{\left( {16 + 32^2 } \right) \cdot 800}}{{800}} = 16 + 32^2 = 1040 }$

η νέα διακύμανση είναι: $\displaystyle{ s'^2 = \frac{{\sum {x_i^4 } }}{v} - \overline x ' = \frac{{8,6536 \cdot 10^8 }}{{800}} - 1040^2 = 10817 \cdot 10^2 - 1040^2 = 100 }$

άρα η νέα τυπική απόκλιση είναι: $\displaystyle{ s' = 10 }$ άρα $\displaystyle{ CV' = \frac{{10}}{{1040}} = \frac{1}{{104}} }$ άρα $\displaystyle{ CV' < CV }$ οπότε το νέο δείγμα έχει μεγαλύτερη ομοιογένεια από το αρχικό...

Μάκης Χατζόπουλος · #4

β. οπότε το ποσοστό μεταξύ 24 - 30 είναι 13,5% + 34%/2 =30,5% (είναι σωστό να διαμερίσουμε έτσι το διάστημα;;) οπότε το πλήθος των παρατηρήσεων είναι:
$\displaystyle{ \frac{{800 \cdot 30,5}}{{100}} = 244 }$

Μετά την επισήμανση του Λευτέρη, ήταν λάθος αυτή η διαπίστωση, άρα επαναδιατυπώνω!

Το ποσοστό των παρατηρήσεων μεταξύ 24 - 30 ,ισούται από το ποσοστό μεταξύ του 24 - 28 που είναι 13,5% (λόγω κανονικής κατανομής του σχήματος) και από 28 - 30 είναι 34% - 20%=14% λόγω συμμετρίας του διαστήματος 32 -34 που δίνει η άσκηση... άρα συνολικά από 24 - 30 έχουμε: 13,5%+14%=27,5%, οπότε το πλήθος των παρατηρήσεων σε αυτό το διάστημα είναι: (27,5*800)/100=220

Σημείωση: Κάποια στιγμή θα βάλω σχήμα για γίνει πιο κατανοητό!!

#5

Ωραίος ο Μάκης

.

Τα νούμερά μου είναι μεγάλα, αλλά νομίζω ότι είναι καλό θέμα για εξετάσεις με ερωτήματα κλιμακούμενης δυσκολίας. Θα μπορούσε να είναι 3ο - 4ο θέμα.

Μάκης Χατζόπουλος · #6

Μια χαρά ασκηση ήταν Λευτέρη! Και όσο για τις πράξεις, με μια παραγοντοποίηση διευκολύνονται οι πράξεις... όσο για την δυσκολία θα συμφωνήσω για 4ο θέμα (αν και δεν είναι συνδυαστικό) αφού έχει κάποια νέα πράγματα προς διαπραγμάτευση! Θα την συμπεριλάβω σίγουρα στο πακέτο ασκήσεων που έχω ανοίξει στην Γενική Παιδεία... ελπίζω πριν τις εξετάσεις να το έχουμε έτοιμο!

Κανονική κατανομή

Κανονική κατανομή

Re: Κανονική κατανομή

Re: Κανονική κατανομή

Re: Κανονική κατανομή

Re: Κανονική κατανομή

Re: Κανονική κατανομή

Μέλη σε σύνδεση