13 Γ.Π. Πιθανότητες

Α.Κυριακόπουλος · #1

Σε ένα κουτί βάζουμε $\displaystyle{{\nu ^2} - \nu + 2}$ άσπρες σφαίρες και $\displaystyle{{\nu ^2} - 2}$ μαύρες σφαίρες, όπου ν φυσικός αριθμός με $\displaystyle{\nu \ge 2}$ . Από το κουτί αυτό βγάζουμε στην τύχη μια σφαίρα.
1) Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου: $\displaystyle{{{\rm A}_\nu }}$ : « Η σφαίρα που βγάλαμε είναι άσπρη».
2) Υπάρχει ν με: $\displaystyle{P({{\rm A}_\nu }) = P({\rm A}_\nu {'});}$
3) Να βρείτε το ν ώστε η πιθανότητα να είναι η μικρότερη δυνατή.

Λύση. 1) Έχουμε:
$\displaystyle{P({{\rm A}_\nu }) = \frac{{{\nu ^2} - \nu + 2}}{{\left( {{\nu ^2} - \nu + 2} \right) + \left( {{\nu ^2} - 2} \right)}} = \frac{{{\nu ^2} - \nu + 2}}{{2{\nu ^2} - \nu }}}$ .
2) Έχουμε:
$\displaystyle{P({{\rm A}_\nu }) = P({\rm A}_\nu {'}) \Leftrightarrow P({{\rm A}_\nu }) = 1 - P({{\rm A}_\nu }) \Leftrightarrow 2\frac{{{\nu ^2} - \nu + 2}}{{2{\nu ^2} - \nu }} = 1 \Leftrightarrow \nu = 4}$ .
3) Θεωρούμε τη συνάρτηση:
$\displaystyle{f(x) = \frac{{{x^2} - x + 2}}{{2{x^2} - x}},x \in \left[ {2, + \infty } \right)}$ .
Έτσι, έχουμε: $\displaystyle{P({{\rm A}_\nu }) = f(\nu ),\nu = 2,3,...}$
Με $\displaystyle{x \ge 2}$ , έχουμε:
$\displaystyle{f'(x) = \frac{{(2x - 1)(2{x^2} - x) - ({x^2} - x + 2)(4x - 1)}}{{{{\left( {2{x^2} - x} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x + 1}}{{{{\left( {2{x^2} - x} \right)}^2}}}\left\{ \begin{array}{l} > 0,\alpha \nu {\rm{ x > 2 + }}\sqrt 3 \\ = 0,\alpha \nu {\rm{ x = 2 + }}\sqrt 3 \\ < 0,\alpha \nu {\rm{ x < 2 + }}\sqrt 3 \\ \end{array} \right.}$
Συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα $\displaystyle{\left[ {2,2 + \sqrt 3 } \right]}$ και γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\left[ {2 + \sqrt 3 , + \infty } \right)}$ . Έτσι, επειδή: $\displaystyle{2 < 3 < 2 + \sqrt 3 < 4 < 5 < ...}$ , έχουμε: f(2)>f(3) και f(4)<f(5)<…,δηλαδή: $\displaystyle{P({{\rm A}_2}) > P({{\rm A}_3})}$ και $\displaystyle{P({{\rm A}_4}) < P({{\rm A}_5}) < ...}$
Έχουμε:
$\displaystyle{P({{\rm A}_3}) - P({{\rm A}_4}) = \frac{8}{{15}} - \frac{{14}}{{28}} = \frac{1}{{30}} > 0 \Rightarrow P({{\rm A}_3}) > P({{\rm A}_4})}$ .
Συμπεραίνουμε ότι: $\displaystyle{P({{\rm A}_4}) \le P({{\rm A}_\nu })}$ , για κάθε ν=2,3,4,... Με το ίσον μόνο για ν = 4. Άρα με ν=4 η πιθανότητα $\displaystyle{P({{\rm A}_\nu })}$ είναι η μικρότερη δυνατή.

mathxl · #2

Ωραία άσκηση κύριε Αντώνη αλλά γιατί στέλνεις και την λύση;

Α.Κυριακόπουλος · #3

mathxl έγραψε:Ωραία άσκηση κύριε Αντώνη αλλά γιατί στέλνεις και την λύση;

Αγαπητέ Βασίλη.
• Γράφω κατευθείαν μόνο τις λύσεις εκείνες που, κατά τη γνώμη μου, έχουν να δείξουν μια γενική μέθοδο, ένα αυστηρό και σωστό τρόπο διαπραγμάτευσης, χωρίς κενά και υπονοούμενα. Τώρα, το πόσο τα καταφέρνω εσείς θα το κρίνετε.
• Θα έχεις καταλάβει ότι δεν μου αρέσουν οι μη πλήρης λύσεις. Δεν θεωρώ σωστό όταν κάποιος διαβάζει μια λύση, που έχω κάνει, να δυσκολεύεται να την καταλάβει, επειδή έχει κενά και ασάφειες.
Θέλω να υπενθυμίσω τα παρακάτω, τα οποία έχω γράψει πρόσφατα σ' ένα άλλο σημείο( προς θεού, δεν απευθύνονται σε σένα ):

• Θέλω να απευθυνθώ προς όλους τους συναδέλφους και φίλους του mathematica και να τους παρακαλέσω οι λύσεις που στέλνουν, σε όποιους και να απευθύνονται ,να είναι πλήρεις, αναλυτικές και κατανοητές. Εξάλλου, παραλείποντας σε μια λύση βασικές επεξηγήσεις και γράφοντας για παράδειγμα: « Γενικεύοντας, εύκολα βρίσκουμε…» ή « Οι όποιες λεπτομέρειες διευθετούνται εύκολα»( Μαθηματικά σημαίνει λεπτομέρειες!) κτλ., μπορεί να ερμηνευθεί κατά διάφορους τρόπους , που ίσως να αδικούν αυτόν που στέλνει τέτοιες λύσεις.
• Όχι απαντήσεις, ούτε μισές λύσεις. Ούτε λύσεις του τύπου: «Θ.Μ.Τ. στη συνάρτηση…» κτλ. Αυτό απαιτεί η ευγένεια και ο σεβασμός προς αυτούς που θα την διαβάσουν. Τέτοιες λύσεις κάνουν τα μαθηματικά δυσκολότερα από ότι είναι με αποτέλεσμα πολλοί άνθρωποι να τα φοβούνται.
Τέτοιες λύσεις μοιάζουν με φωτοβολίδες, οι οποίες όμως για να είναι ορατές πρέπει να είναι σκοτάδι.
• Προσωπικά, όταν γράφω τη λύση μιας άσκησης προσέχω ώστε να μπορεί να την καταλάβει και ένας καλός μαθητής, αν την διαβάσει προσεκτικά. Η γνώμη μου είναι ότι αν κάποιος συνάδελφος δεν καταλαβαίνει τη λύση μιας άσκησης, τότε φροντιστήριο χρειάζεται μάλλον αυτός που έγραψε τη λύση.
Με εκτίμηση και αγάπη.

13 Γ.Π. Πιθανότητες

13 Γ.Π. Πιθανότητες

Re: 13 Γ.Π. Πιθανότητες

Re: 13 Γ.Π. Πιθανότητες

Μέλη σε σύνδεση