Μία με Πιθανότητες για όλους

#1

Να αποδειχθεί ότι αν τα ενδεχόμενα $A,\,\,\,B$ είναι ασυμβίβαστα τότε
$P\left( A\right) P\left( B\right) \leq \frac{1}{4}$
Μαυρογιάννης

#2

Είναι
$0\leq P(A\cup{B})=P(A)+P(B)\le1 4P(A)P(B)\le(P(A)+P(B))^2\le 1$

#3

Μια διαφορετική αντιμετώπιση.
Tα Α , Β είναι ασυμβίβαστα. Αρα Ρ(ΑUB)=P(A)+P(B)=κ . Επιπλέον θέτω Ρ(Α)Ρ(Β)=λ, όπου κ,λ στοιχεία του [0,1].
Συνεπώς τα Α, Β αποτελούν ρίζες της εξίσωσης : $\displaystyle{\displaystyle x^2 - \kappa x + \lambda = 0 }$ , για την οποία ισχύει : $\displaystyle{\displaystyle \Delta \geqslant 0 \Leftrightarrow \kappa ^2 - 4\lambda \geqslant 0 \Leftrightarrow \lambda \leqslant \frac{{\kappa ^2 }} {4} \leqslant \frac{1} {4} }$ , αφού 0=<κ=P(AUB)<=1 <=> $\displaystyle{\displaystyle \kappa ^2 \leqslant 1 \Leftrightarrow \frac{{\kappa ^2 }} {4} \leqslant \frac{1} {4} }$ .
Αρα Ρ(Α)Ρ(Β)<=1/4.
Καλημέρα.

#4

Εδώ βρίσκεται η εν λόγω άσκηση! Κάποιος την είχε βάλει στο forum του alfavita πριν από 2-3 μήνες. Αντιγράφω λοιπόν από εκεί:

Αφού τα δύο γεγονότα είναι ξένα άρα
$P(A\cap B)=P(A)+P(B)$ . Άρα επειδή $0\leq P(AUB) \leq 1$ άρα
$0 \leq P(A)+P(B) \leq 1$ . Όμως από την ανισότητα αριθμητικού - γεωμετρικού μέσου $\displaystyle\frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}$ έχουμε

$P(A)P(B) \leq \displaystyle\frac{\left(P(A)+P(B)\right)^2}{4} \leq \frac{1^2}{4}=0,25.$

Αλέξανδρος

mathxl · #5

Καλησπέρα δίνω μία άλλη αντιμετώπιση
$\begin{array}{l} A \cap B = \emptyset \Rightarrow A \subseteq B^{\prime}\ \Rightarrow P\left( A \right) \le P\left( {B^{\prime}} \right) \Leftrightarrow P\left( A \right)P\left( B \right) \le P\left( {B^{\prime}} \right)P\left( B \right) \\ P\left( B \right)P\left( {B^{\prime}} \right) = P\left( B \right) - {P^2}\left( B \right) = \frac{1}{4} - {\left( {P\left( B \right) - \frac{1}{2}} \right)^2} \le \frac{1}{4} \\ \end{array}$
'Αρα $P\left( A \right)P\left( B \right) \le P\left( {B^{\prime}} \right)P\left( B \right) \le \frac{1}{4} \Rightarrow P\left( A \right)P\left( B \right) \le \frac{1}{4}$

: 1.png (42.01 KiB) Προβλήθηκε 2821 φορές

kostas136 · #6

Εξαιρετική λύση mathxl, πραγματικά πολύ ωραία.

#7

Ας την δυσκολέψουμε λίγο(χωρίς να χρησιμοποιήσουμε την προηγουμένη1/4<1/2)
Να αποδειχθεί ότι αν τα ενδεχόμενα $A,\,\,\,B$ είναι ασυμβίβαστα τότε
$P\left( A\right) P\left( B\right) \leq \frac{1}{2}$

#8

Κάτσε Κώστα, γιατί ειλικρινά δεν καταλαβαίνω πως δυσκολεύουνε οι ασκήσεις τώρα τελευταία!

Έχουμε δείξει : Ρ(Α)Ρ(Β)<=1/4 και 1/4<1/2 (

) ,αρα ;;;; Που είναι το δύσκολο;

#9

Παντως δεν πιστευω να εδειχνα οτι 1/4</1/2
Αν ειχα να λυσω την
Να αποδειχθεί ότι αν τα ενδεχόμενα $A,\,\,\,B$ είναι ασυμβίβαστα τότε
$P\left( A\right) P\left( B\right) \leq \frac{1}{2}$

chris_gatos έγραψε:Κάτσε Κώστα, γιατί ειλικρινά δεν καταλαβαίνω πως δυσκολεύουνε οι ασκήσεις τώρα τελευταία!
Έχουμε δείξει : Ρ(Α)Ρ(Β)<=1/4 και 1/4<1/2 ( ) ,αρα ;;;; Που είναι το δύσκολο;

#10

Φϊλοι μου πολύ ωραίες οι λύσεις σας. Τα τελευταία χρόνια που κάνω αυτή την άσκηση παροτρύνω τους μαθητές μου να ακολουθούν την εξής αντιμετώπιση:
Ονομάζουμε, όπως και παραπάνω, $c=P\left( A\right) +P\left( B\right) =P\left( A\cup B\right) \leq 1$ και θεωρούμε την συνάρτηση $f\left( x\right) =x \left( c-x\right)$ που όπως εύκολα διαπιστώνεται, παρουσιάζει μέγιστο στο $\frac{c}{2}$ το $\frac{c^{2}}{4}\leq \frac{1}{4}$ . Ουσιαστικά το ίδιο έκανε στην λύση του ο Χρήστος με πολύ πιό απλά μέσα (τριώνυμο).
Αυτό δια παν ενδεχόμενο. Διότι κάποιοι στις εξετάσεις έχουν την (κακή κατά τη γνώμη μου) συνήθεια να ανακατεύουν πιθανότητες ή στατιστική με ανάλυση (ίσως ελπίζοντας κάποια Μαίρη Σέλεϋ της εποχής μας να απαθανατίσει το δημιούργημα τους). Βλ. λ.χ το 4ο θέμα του 2002. Γιαυτό η μανιέρα του να "Θεωρεί" κανείς συνάρτηση είναι χρήσιμη. Παράδειγμα η παρακάτω άσκηση (που αν και δεν μου αρέσει την διδάσκω: πόλεμο έχουμε)

ΑΣΚΗΣΗ Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle P^{2009}\left( A\right) +P^{2009}\left( A^{\prime }\right) \geq \frac{1}{2^{2008}}$

Μαυρογιάννης

#11

Και πάλι δεν καταλαβαίνω. Αφού απο πάνω υπάρχουν τόσες λύσεις που δείχνουν <=1/4 . Ε, δε θα είναι και μικρότερο
του 1/2 (

). Για την ισότητα με το 1/2, ούτε λόγος, γιατί αποκλείεται να ισχύει ποτέ.

#12

Ας την δωσω αλλοιως
.Αν Α, Β ενδεχόμενα ενός πειράματος τύχης , να δειχθεί ότι:
Ρ(Α)Ρ(Β) <=½[Ρ(Α)+Ρ(Β)].

chris_gatos έγραψε:Και πάλι δεν καταλαβαίνω. Αφού απο πάνω υπάρχουν τόσες λύσεις που δείχνουν <=1/4 . Ε, δε θα είναι και μικρότερο
του 1/2 ( ). Για την ισότητα με το 1/2, ούτε λόγος, γιατί αποκλείεται να ισχύει ποτέ.

mathxl · #13

μχμχμ...Ορίστε μία προσέγγιση από α΄λυκείου ανισοταυτότητα
$\displaystyle{P\left( A \right) + P\left( B \right) \ge 2\sqrt {P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)} \ge 2P\left( A \right)P\left( B \right) \Rightarrow P\left( A \right)P\left( B \right) \le \frac{1}{2}\left[ {P\left( A \right) + P\left( B \right)} \right]}$

#14

Ωραία λύση , ειδικά η χρήση του

\displaystyle {x^2} \le x $\displaystyle{ για τα$ % MathType!MTEF!2!1!+-
% feaaguart1ev2aaatCvAUfKttLearuqr1ngBPrgarmWu51MyVXgatC
% vAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaeHbd9wDYLwzYbItLDharyavP1wz
% ZbItLDhis9wBH5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbb
% L8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpe
% pae9pg0FirpepeKkFr0xfr-xfr-xb9adbaqaaeaacaGaaiaabeqaam
% aaeaqbaaGcbaGaeGimaaJaeyizImQaemiEaGNaeyizImQaeGymaeda
% aa!418D!
$\displaystyle 0 \le x \le 1}$
Μια δική μου λύση
$\displaystyle{\begin{array}{l} 0 \le P(A) \le 1 \Rightarrow 0 \le P(A)P(B) \le P(B) \\ 0 \le P(B) \le 1 \Rightarrow \left. {\underline {\, {0 \le P(A)P(B) \le P(A)} \,}}\! \right| \oplus \\ {\rm{ 2}}P(A)P(B) \le P(A) + P(B) \\ {\rm{ }}P(A)P(B) \le \frac{1}{2}\left[ {P(A) + P(B)} \right] \\ \end{array}}$

mathxl έγραψε:μχμχμ...Ορίστε μία προσέγγιση από α΄λυκείου ανισοταυτότητα
$\displaystyle{P\left( A \right) + P\left( B \right) \ge 2\sqrt {P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)} \ge 2P\left( A \right)P\left( B \right) \Rightarrow P\left( A \right)P\left( B \right) \le \frac{1}{2}\left[ {P\left( A \right) + P\left( B \right)} \right]}$

Μία με Πιθανότητες για όλους

Μία με Πιθανότητες για όλους

Re: Μία με Πιθανότητες για όλους

Re: Μία με Πιθανότητες για όλους

Re: Μία με Πιθανότητες για όλους

Re: Μία με Πιθανότητες για όλους

Re: Μία με Πιθανότητες για όλους

Re: Μία με Πιθανότητες για όλους

Re: Μία με Πιθανότητες για όλους

Re: Μία με Πιθανότητες για όλους

Re: Μία με Πιθανότητες για όλους

Re: Μία με Πιθανότητες για όλους

Re: Μία με Πιθανότητες για όλους

Re: Μία με Πιθανότητες για όλους

Re: Μία με Πιθανότητες για όλους

Μέλη σε σύνδεση