Κλασική και εύκολη!
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
Re: Κλασική και εύκολη!
Πρώτα δείχνουμε ότι είναιsocrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις τέτοιες, ώστε
Με , παίρνουμε , οπότε ή
Εάν και , τότε θέτοντας , στη δοθείσα παίρνουμε
,
με , παίρνουμε
και με ,
Αφαιρώντας κατά μέλη τις δύο τελευταίες σχέσεις παίρνουμε .
Εάν , τότε , οπότε , κι έτσι και , που δεν επαληθεύουν, όμως, τις άλλες δύο εξισώσεις.
Δηλ., εάν , το σύστημα των παραπάνω εξισώσεων δεν έχει λύση.Συνεπώς,
Με και παίρνουμε (*)
Έχουμε τις περιπτώσεις
Περίπτωση 1:
Τότε έχουμε
(**)
Εάν , τότε από την (*) είναι , οπότε παίρνοντας τετραγωνική ρίζα της (**) έχουμε
.
Έπειτα έχουμε
η οποία μετά τις πράξεις και τις απλοποιήσεις, αφού για , δίνει για
Παρατηρούμε ότι εάν , τότε , και
,
οπότε , κι άρα για κάθε
Τέλος, εάν , τότε οπότε . Αφού , έχουμε
, η οποία επίσης δίνει για
Σε αυτήν τη περίπτωση, λοιπόν, δείξαμε ότι για κάθε
Περίπτωση 2:
Τότε έαν με , παίρνουμε
Αφού το αριστερό μέλος είναι μη αρνητικό είναι για κάθε
Αφού , με επαγωγή έπεται ότι για κάθε και κάθε
Συνεπώς, σε αυτήν τη περίπτωση, είναι για κάθε
Φιλικά,
Αχιλλέας
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες