Euler 2013/3

#1

Ποιο είναι το τελικό ψηφίο του $\displaystyle{ \left \lfloor \left( \frac{5+\sqrt{21}}{2}\right)^{2013}\right \rfloor}$ ;

dement · #2

Ορίζουμε την ακολουθία (a_n)

με $\displaystyle a_n \equiv \left( \frac{5 + \sqrt{21}}{2} \right)^n + \left( \frac{5 - \sqrt{21}}{2} \right)^n$ . Παρατηρούμε ότι a_0 = 2, a_1 = 5

.
Επίσης, $\displaystyle a_{n+2} = a_1 a_{n+1} - \left( \frac{5 + \sqrt{21}}{2} \right) \left( \frac{5 - \sqrt{21}}{2} \right) a_n = 5 a_{n+1} - a_n$ .

Έτσι, τα υπόλοιπα με το

των πρώτων όρων της (a_n)

είναι

και επαναλαμβάνονται με περίοδο

. Αφού $2013 \equiv 9 \mod 12$ , ισχύει $a_{2013} \equiv a_9 \mod 10$ και το τελευταίο ψηφίο του $a_ {2013}$ είναι

.

Λαμβάνοντας υπόψιν ότι $\displaystyle 0 < \frac{5 - \sqrt{21}}{2} < 1$ , καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι το τελευταίο ψηφίο του $\displaystyle \left\lfloor \left( \frac{5 + \sqrt{21}}{2} \right)^{2013} \right\rfloor$ είναι

.

#3

Σωστά!

Να υπενθυμίσουμε ότι οι ακολουθίες της μορφής $x_{n+2} = ax_{n+1}+bx_n$ έχουν λύσεις της μορφής $x_n = A\alpha^n + B\beta^n$ όπου τα $\alpha,\beta$ είναι ρίζες της x^2 - ax - b = 0

και τα

καθορίζονται από τις αρχικές τιμές.

Ισχύει και το αντίστροφο. Εδώ οι ρίζες είναι οι $\displaystyle{ \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}}$ με άθροισμα

και γινόμενο

οπότε η ακολουθία ικανοποιεί την αναδρομική σχέση $a_{n+2} - 5a_{n+1} + a_n = 0$

Euler 2013/3

Euler 2013/3

Re: Euler 2013/3

Re: Euler 2013/3

Μέλη σε σύνδεση