Ανισότητα από EMC

#1

Έστω θετικοί πραγματικοί a,b,c

με

. Να δειχθεί ότι

$\displaystyle{ \frac{a+b+c+3}{4} \geqslant \frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a}.}$

Ιωάννης Αλωνιστιωτης · #2

Καλησπέρα,

παραθέτω μια προσπάθεια:
$\frac{a+b+c+3}{4}=\frac{a+abc+b+abc+c+abc}{4}= \frac{a(bc+1)}{4}+\frac{b(ac+1)}{4}+\frac{c(ab+1)}{4}$
ωστόσο , από ΑΜ-GM έχουμε : $\frac{bc+1}{4}\geq \frac{\sqrt{bc}}{2}$ ομοίως και για τα άλλα δύο οπότε: $\frac{a+b+c+3}{4}\geq \frac{a\sqrt{bc}}{2}+\frac{b\sqrt{ac}}{2}+\frac{c\sqrt{ab}}{2}=\frac{\sqrt{bc}}{2bc}+\frac{\sqrt{ac}}{2ac}+\frac{\sqrt{ab}}{2ab}=\frac{1}{2\sqrt{bc}}+\frac{1}{2\sqrt{ac}}+\frac{1}{2\sqrt{ab}}$ (1)
Από την άλλη πλευρά: πάλι από AM-GM $a+b\geq 2\sqrt{ab}\Leftrightarrow \frac{1}{a+b}\leq \frac{1}{2\sqrt{ab}}$ όμοια και για όλο το δεύτερο μέλος επομένως καταλήγουμε στο ζητούμενο.

Φιλικά,
Ιωάννης

#3

Ωραία. Βάζω και μια πιο απλή που βρήκα. Παραδόξως δεν εμφανίζεται στις επίσημες λύσεις.

Αρκεί να δείξουμε ότι $\displaystyle{ \frac{a+1}{4} \geqslant \frac{1}{b+c}}$ και τα κυκλικά της.

Ισοδύναμα θέλουμε

$\displaystyle{ (a+1)(b+c) \geqslant 4.}$

Όμως $\displaystyle{(a+1)(b+c) = ab+ac + b + c = \frac{1}{c} + \frac{1}{b} + b + c.}$

Το ζητούμενο τώρα έπεται από την γνωστή ανισότητα $\displaystyle{ x + \frac{1}{x} \geqslant 2.}$

Ανισότητα από EMC

Ανισότητα από EMC

Re: Ανισότητα από EMC

Re: Ανισότητα από EMC

Μέλη σε σύνδεση