Βρείτε τις συναρτήσεις!

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{f(f(x) + xy) + f(y^2) = 2016x + yf(x+y)}$ , για κάθε $x,y\in \mathbb{R}.$

#2

Έστω

$\displaystyle{P\left( {x,y} \right):f\left( {f\left( x \right) + xy} \right) + f\left( {{y^2}} \right) = 2016x + yf \left( {x + y} \right)}$ $\bf \color{red} \left (1 \right)$

η δοσμένη συναρτησιακή σχέση.

Έχουμε ότι:

$\displaystyle{P\left( {0,0} \right):f\left( {f\left( 0 \right)} \right) + f\left( 0 \right) = 0}$

και

$\displaystyle{P\left( {0,1} \right):f\left( {f\left( 0 \right)} \right) + f\left( 1 \right) = f\left( 1 \right) \Rightarrow f\left( {f\left( 0 \right)} \right) = 0,}$

οπότε $\displaystyle{{f\left( 0 \right) = 0}.}$

Άρα, για κάθε $x \in \mathbb{R},$ είναι:

$\displaystyle{P\left( {x,0} \right):f\left( {f\left( x \right)} \right) = 2016x}$ $\bf \color{red} \left (2 \right)$

και

$\displaystyle{P\left( {0,x} \right):f\left( {{x^2}} \right) = xf\left( x \right)}$ $\bf \color{red} \left (3 \right)$ .

Από τη σχέση $\bf \color{red} \left (2 \right)$ προκύπτει ότι η $\displaystyle{f}$ είναι 1-1. Θέτοντας στη σχέση $\bf \color{red} \left (3 \right)$ όπου

το $\displaystyle{f\left( x \right)}$ βρίσκουμε ότι για κάθε $x \in \mathbb{R}$ είναι:

$\displaystyle{f\left( {{f^2}\left( x \right)} \right) = f\left( x \right)f\left( {f\left( x \right)} \right)\mathop = \limits^{\left( 2 \right)} 2016xf\left( x \right)\mathop = \limits^{\left( 3 \right)} 2016f\left( {{x^2}} \right)\mathop = \limits^{\left( 2 \right)} f\left( {f\left( {f\left( {{x^2}} \right)} \right)} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{1 - 1} }$

$\displaystyle{ \Rightarrow {f^2}\left( x \right) = f\left( {f\left( {{x^2}} \right)} \right)\mathop = \limits^{\left( 2 \right)} 2016{x^2},}$

δηλαδή

$\displaystyle{{f^2}\left( x \right) = 2016{x^2}}$ $\bf \color{red} \left (4 \right)$

για κάθε $x \in \mathbb{R}.$

Από τη σχέση $\bf \color{red} \left (4 \right)$ προκύπτει ότι για κάθε $x \in \mathbb{R}$ ισχύει

$\displaystyle{f\left( x \right) = \sqrt {2016} x \vee f\left( x \right) = - \sqrt {2016} x.}$

Υποθέτουμε ότι υπάρχουν μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{a,b}$ τέτοιοι, ώστε $\displaystyle{f\left( a \right) = \sqrt {2016} a}$ και $\displaystyle{f\left( b \right) = - \sqrt {2016} b.}$ Τότε

$\displaystyle{P\left( {a,b} \right):f\left( {\sqrt {2016} a + ab} \right) - \sqrt {2016} {b^2} = 2016a + bf\left( {a + b} \right)}$ $\bf \color{red} \left (5 \right)$

και

$\displaystyle{P\left( {b,a} \right):f\left( { - \sqrt {2016} b + ab} \right) + \sqrt {2016} {a^2} = 2016b + af\left( {a + b} \right)}$ $\bf \color{red} \left (6 \right)$ .

Διακρίνουμε τέσσερις περιπτώσεις:

$\bullet$ Αν $\displaystyle{f\left( {\sqrt {2016} a + ab} \right) = \sqrt {2016} \left( {\sqrt {2016} a + ab} \right) = 2016a + \sqrt {2016} ab}$ και $\displaystyle{f\left( {a + b} \right) = \sqrt {2016} \left( {a + b} \right),}$ τότε η σχέση $\bf \color{red} \left (5 \right)$ δίνει ότι:

$\displaystyle{2016a + \sqrt {2016} ab - \sqrt {2016} {b^2} = 2016a + b\sqrt {2016} \left( {a + b} \right) \Rightarrow - \sqrt {2016} {b^2} = \sqrt {2016} {b^2} \Rightarrow b = 0,}$

πράγμα άτοπο.

$\bullet$ Αν $\displaystyle{f\left( {\sqrt {2016} a + ab} \right) = \sqrt {2016} \left( {\sqrt {2016} a + ab} \right) = 2016a + \sqrt {2016} ab}$ και $\displaystyle{f\left( {a + b} \right) = -\sqrt {2016} \left( {a + b} \right),}$ τότε η σχέση $\bf \color{red} \left (5 \right)$ δίνει ότι:

$\displaystyle{2016a + \sqrt {2016} ab - \sqrt {2016} {b^2} = 2016a - b\sqrt {2016} \left( {a + b} \right) \Rightarrow \sqrt {2016} ab = - \sqrt {2016a} b \Rightarrow ab = 0,}$

πράγμα άτοπο.

$\bullet$ Αν $\displaystyle{f\left( {\sqrt {2016} a + ab} \right) = -\sqrt {2016} \left( {\sqrt {2016} a + ab} \right) = -2016a - \sqrt {2016} ab}$ και $\displaystyle{f\left( {a + b} \right) = -\sqrt {2016} \left( {a + b} \right),}$ τότε η σχέση $\bf \color{red} \left (5 \right)$ δίνει ότι:

$\displaystyle{ - 2016a - \sqrt {2016} ab - \sqrt {2016} {b^2} = 2016a - b\sqrt {2016} \left( {a + b} \right) \Rightarrow - 2016a = 2016a \Rightarrow a = 0,}$

πράγμα άτοπο.

$\bullet$ Απομένει η περίπτωση $\displaystyle{f\left( {\sqrt {2016} a + ab} \right) = -\sqrt {2016} \left( {\sqrt {2016} a + ab} \right) = -2016a - \sqrt {2016} ab}$ και $\displaystyle{f\left( {a + b} \right) = \sqrt {2016} \left( {a + b} \right),}$ οπότε η σχέση $\bf \color{red} \left (5 \right)$ δίνει ότι:

$\displaystyle{ - 2016a - \sqrt {2016} ab - \sqrt {2016} {b^2} = 2016a + b\sqrt {2016} \left( {a + b} \right) \Rightarrow \sqrt {2016} a + ab + {b^2} = 0,}$

που δεν οδηγεί άμεσα σε άτοπο!

Τώρα χρησιμοποιούμε τη σχέση $\bf \color{red} \left (6 \right)$ : Έχουμε δύο περιπτώσεις:

$\bf {\star}$ Αν $\displaystyle{f\left( { - \sqrt {2016} b + ab} \right) = \sqrt {2016} \left( { - \sqrt {2016} b + ab} \right) = - 2016b + \sqrt {2016} ab,}$ τότε η σχέση $\bf \color{red} \left (6 \right)$ δίνει ότι:

$\displaystyle{ - 2016b + \sqrt {2016} ab + \sqrt {2016} {a^2} = 2016b + a\sqrt {2016} \left( {a + b} \right) \Rightarrow b = 0,}$

πράγμα άτοπο.

$\bf {\star}$ Αν $\displaystyle{f\left( { - \sqrt {2016} b + ab} \right) = -\sqrt {2016} \left( { - \sqrt {2016} b + ab} \right) = 2016b - \sqrt {2016} ab,}$ τότε η σχέση $\bf \color{red} \left (6 \right)$ δίνει ότι:

$\displaystyle{2016b - \sqrt {2016} ab + \sqrt {2016} {a^2} = 2016b + a\sqrt {2016} \left( {a + b} \right) \Rightarrow 2\sqrt {2016} ab = 0 \Rightarrow ab = 0,}$

που είναι και πάλι άτοπο!

Ώστε, οι ζητούμενες συναρτήσεις είναι οι $\displaystyle{\boxed{f\left( x \right) = \sqrt {2016} x},}$ $x \in \mathbb{R}$ και $\displaystyle{\boxed{f\left( x \right) =- \sqrt {2016} x},}$ $x \in \mathbb{R}.$

Βρείτε τις συναρτήσεις!

Βρείτε τις συναρτήσεις!

Re: Βρείτε τις συναρτήσεις!

Μέλη σε σύνδεση