Με p,q,r...

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 728
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Με p,q,r...

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από M.S.Vovos » Δευ Μαρ 20, 2017 9:42 pm

Έστω p,q,r\in \mathbb{Z}. Να λύσετε την εξίσωση \displaystyle{p^{3}-3^{q}=r^{2}}.

Φιλικά.


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιάννης Μπόρμπας
Δημοσιεύσεις: 193
Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
Τοποθεσία: Χανιά

Re: Με p,q,r...

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Γιάννης Μπόρμπας » Δευ Μαρ 20, 2017 11:28 pm

Μου κάνει εντύπωση που έχει λύση την (7,5,10).


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5759
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Με p,q,r...

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από socrates » Πέμ Ιουν 01, 2017 1:17 am

Επαναφορά!

Ποια η πηγή της άσκησης;


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
Datis-Kalali
Δημοσιεύσεις: 65
Εγγραφή: Δευ Δεκ 12, 2016 5:33 pm
Τοποθεσία: Λευκωσία

Re: Με p,q,r...

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από Datis-Kalali » Πέμ Ιουν 01, 2017 1:26 pm

Έχουμε ότι
7^3-3^5=10^2.
Πολλαπλασιάσουμε η εξίσωση με 3^{6k}
p^3-3^q=r^2 \Leftrightarrow (p \cdot 9^k)^3-3^{q+6k}=(r\cdot27^{k})^2
Άρα η εξίσωση υπάρχει άπειρες λύσεις στην μορφή (p,q,r)=(7 \cdot 9^k, 5+6k ,10 \cdot 27^k)
όπου k \ge 0 είναι ακέραιος


Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 728
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Με p,q,r...

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από M.S.Vovos » Σάβ Ιούλ 22, 2017 10:22 pm

Datis-Kalali έγραψε:Έχουμε ότι
7^3-3^5=10^2.
Πολλαπλασιάσουμε η εξίσωση με 3^{6k}
p^3-3^q=r^2 \Leftrightarrow (p \cdot 9^k)^3-3^{q+6k}=(r\cdot27^{k})^2
Άρα η εξίσωση υπάρχει άπειρες λύσεις στην μορφή (p,q,r)=(7 \cdot 9^k, 5+6k ,10 \cdot 27^k)
όπου k \ge 0 είναι ακέραιος


Το είδα μετά από καιρό, αλλά η λύση σου είναι λανθασμένη. Δεν υπάρχει απειρία λύσεων.


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7345
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Με p,q,r...

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από Demetres » Κυρ Ιούλ 23, 2017 10:47 am

M.S.Vovos έγραψε:
Datis-Kalali έγραψε:Έχουμε ότι
7^3-3^5=10^2.
Πολλαπλασιάσουμε η εξίσωση με 3^{6k}
p^3-3^q=r^2 \Leftrightarrow (p \cdot 9^k)^3-3^{q+6k}=(r\cdot27^{k})^2
Άρα η εξίσωση υπάρχει άπειρες λύσεις στην μορφή (p,q,r)=(7 \cdot 9^k, 5+6k ,10 \cdot 27^k)
όπου k \ge 0 είναι ακέραιος


Το είδα μετά από καιρό, αλλά η λύση σου είναι λανθασμένη. Δεν υπάρχει απειρία λύσεων.


Εγώ το βλέπω σωστό. Μήπως υπάρχουν επιπλέον δεδομένα; Π.χ. κάποιοι από τους p,q,r να είναι πρώτοι;



Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης