Εύρεση συνάρτησης

JimNt. · #1

Nα βρεθούν όλες οι $f:\mathbb{Z} -> \mathbb{Z}$ ώστε για κάθε ακέραιο

να ισχύουν ταυτόχρονα οι παρακάτω σχέσεις:
$f(n+8) \le f(n)+8$
$f(n+11) \ge f(n)+11$

Friedoon · #2

Θέτουμε

και οι σχέσεις ξαναγράφονται :
$g(x+8)\le g(x)$ (1)
$g(x+11)\ge g(x)$ . (2)
Από τα παραπάνω παίρνουμε $g(x+3)\ge g(x)$ (3).
Από την (1) έχουμε $g(x)\ge g(x+8) \ge g(x+16) \ge g(x+24)$
Από την (3) έχουμε $g(x)\le g(x+3)\le \dots \le g(x+24)$
Άρα g(x)=g(x+24)

και άρα

και

Όμως όμοια με πριν από τις (1) και (2) παιρνουμε $g(x)=g(x+88)\Rightarrow g(x)=g(x+1)$ (επειδή $88\equiv 1 (mod3)$ και g(x)=g(x+3)

)
Άρα η

είναι σταθερή και άρα f(x)=x+a

που επαληθεύει τις αρχικές σχέσεις για κάθε

Εύρεση συνάρτησης

Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση