Ανισότητα
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
-
- Δημοσιεύσεις: 117
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 12, 2016 5:33 pm
- Τοποθεσία: Λευκωσία
Re: Ανισότητα
Έστω ότιdement έγραψε:Αποδείξτε ότι, για πραγματικά με ισχύει
(Από το "The Cauchy-Schwarz Master Class" του J. Michael Steele)
Με λίγες πράξεις αφου έχουμε ότι
Αν και είναι σταθερά:
Αν και είναι σταθερά:
Αν και είναι σταθερά:
Άρα η συάρτηση είναι κυρτή για όλες τις τιμές του
Απο την κυρτότητα της συνάρτησης (για μετάβλητο),
Επίσης αφου η συνάρτηση είναι κυρτή (για μετάβλητο) και
Άρα .
Όμοια η κυρτότητα της (για μετάβλητο) συνπάγεται
, δηλαδή η σύναρτηση έχει μέγηστη τιμή σε μία απο της κορυφές του μοναδικού κύβου. Με λίγες πράξεις παρτήρουμε ότι είναι το μέγιστο και .
Άρα
με ισότητα αν και μόνον αν
Re: Ανισότητα
Δεν ισχύει τίποτα από τα 4. Ακόμα και αν υποθέσουμε ότι εννοούσες δεύτερη αντί για πρώτη παράγωγο, πάλι είναι λάθος (δες, π.χ. την για ). Μη βιάζεσαι.Datis-Kalali έγραψε: Με λίγες πράξεις αφου έχουμε ότι
Αν και είναι σταθερά:
Αν και είναι σταθερά:
Αν και είναι σταθερά:
Άρα η συάρτηση είναι κυρτή για όλες τις τιμές του
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
-
- Δημοσιεύσεις: 117
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 12, 2016 5:33 pm
- Τοποθεσία: Λευκωσία
Re: Ανισότητα
Ναι σωστά. Αλλά αν χρησημοπιούμε τις ανισότητες και για και . Έχουμε ότιdement έγραψε:Δεν ισχύει τίποτα από τα 4. Ακόμα και αν υποθέσουμε ότι εννοούσες δεύτερη αντί για πρώτη παράγωγο, πάλι είναι λάθος (δες, π.χ. την για ). Μη βιάζεσαι.Datis-Kalali έγραψε: Με λίγες πράξεις αφου έχουμε ότι
Αν και είναι σταθερά:
Αν και είναι σταθερά:
Αν και είναι σταθερά:
Άρα η συάρτηση είναι κυρτή για όλες τις τιμές του
Τώρα , και είναι όλες μη αρνιτικές. Άρα η συάρτηση είναι κυρτή.
Απο την κυρτότητα της συνάρτησης (για μετάβλητο),
Επίσης αφου η συνάρτηση είναι κυρτή (για μετάβλητο) και
Άρα .
Όμοια η κυρτότητα της (για μετάβλητο) συνπάγεται
, δηλαδή η σύναρτηση έχει μέγηστη τιμή σε μία απο της κορυφές του μοναδικού κύβου. Με λίγες πράξεις παρτήρουμε ότι είναι το μέγιστο και .
Άρα
με ισότητα αν και μόνον αν
Re: Ανισότητα
Όχι. Τα έκανες χειρότερα. Το εξακολουθεί να παίρνει αρνητικές τιμές στα που προανέφερα και τώρα μάλιστα για κάθε , αφού εξαφανίστηκαν τα από τους παρονομαστές.Datis-Kalali έγραψε: Τώρα , και είναι όλες μη αρνιτικές. Άρα η συάρτηση είναι κυρτή.
Θα σε παρακαλέσω να σκεφτείς με ηρεμία, κάνοντας όλες τις απαραίτητες πράξεις πριν απαντήσεις, και μην πετάς "λύσεις" παρορμητικά.
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Re: Ανισότητα
Νομίζω ότι ισχύει η ισχυρότερη:
1η περίπτωση:
Ισχύει (εύκολα από πράξεις) και
με πρόσθεση η ζητούμενη
2η περίπτωση:
Ισχύει (εύκολα από πράξεις)
και
με πρόσθεση η ζητούμενη
3η περίπτωση:
\frac{x^2}{1+y}+\frac{z^2}{1+x+y}\leq 1\frac{y^2}{1+z}+(1-y^2)(1-z^2)\leq y^2+(1-y^2)=1
4η περίπτωση:
\frac{x^2}{1+y}+\frac{y^2}{1+z}\leq 1\frac{z^2}{1+x+y}+(1-y^2)(1-z^2)\leq z^2+(1-z^2)=1
5η περίπτωση:
Ισχύει (εύκολα από πράξεις)
και
με πρόσθεση η ζητούμενη
6η περίπτωση:
Ισχύει (εύκολα από πράξεις) και
με πρόσθεση η ζητούμενη
Ισότητα για
1η περίπτωση:
Ισχύει (εύκολα από πράξεις) και
με πρόσθεση η ζητούμενη
2η περίπτωση:
Ισχύει (εύκολα από πράξεις)
και
με πρόσθεση η ζητούμενη
3η περίπτωση:
\frac{x^2}{1+y}+\frac{z^2}{1+x+y}\leq 1\frac{y^2}{1+z}+(1-y^2)(1-z^2)\leq y^2+(1-y^2)=1
4η περίπτωση:
\frac{x^2}{1+y}+\frac{y^2}{1+z}\leq 1\frac{z^2}{1+x+y}+(1-y^2)(1-z^2)\leq z^2+(1-z^2)=1
5η περίπτωση:
Ισχύει (εύκολα από πράξεις)
και
με πρόσθεση η ζητούμενη
6η περίπτωση:
Ισχύει (εύκολα από πράξεις) και
με πρόσθεση η ζητούμενη
Ισότητα για
Κώστας
Re: Ανισότητα
Άθλος! Πάντως, μια και την ισχυροποίησες διώχνοντας το από τον τελευταίο όρο, μπορούσες να το θέσεις ίσο με και στον πρώτο και να έχεις το κεφάλι σου ήσυχο. Δίνω τη δική μου λύση:
Το αριστερό μέλος είναι πάντα κυρτό ως προς . Έτσι, περιοριζόμαστε στις περιπτώσεις και .
Για η παράσταση γίνεται , κυρτή ως προς και , και περιοριζόμαστε στις περιπτώσεις που ελέγχονται εύκολα.
Για η παράσταση γίνεται . Από τον δεύτερο και τον τέταρτο όρο βλέπουμε ότι, αν , η παράσταση είναι φθίνουσα ως προς ενώ στην αντίθετη περίπτωση είναι κυρτή ως προς . Έτσι, μπορούμε πάλι να περιοριστούμε στα δύο άκρα.
Για παίρνουμε (φθίνουσα ως προς ) και για παίρνουμε (κυρτή ως προς ). Ελέγχουμε πάλι τα άκρα και παίρνουμε την περίπτωση ισότητας .
Το αριστερό μέλος είναι πάντα κυρτό ως προς . Έτσι, περιοριζόμαστε στις περιπτώσεις και .
Για η παράσταση γίνεται , κυρτή ως προς και , και περιοριζόμαστε στις περιπτώσεις που ελέγχονται εύκολα.
Για η παράσταση γίνεται . Από τον δεύτερο και τον τέταρτο όρο βλέπουμε ότι, αν , η παράσταση είναι φθίνουσα ως προς ενώ στην αντίθετη περίπτωση είναι κυρτή ως προς . Έτσι, μπορούμε πάλι να περιοριστούμε στα δύο άκρα.
Για παίρνουμε (φθίνουσα ως προς ) και για παίρνουμε (κυρτή ως προς ). Ελέγχουμε πάλι τα άκρα και παίρνουμε την περίπτωση ισότητας .
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες