Ακρότατο με ακεραίους
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Ακρότατο με ακεραίους
Αν είναι θετικοί ακέραιοι, να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης όταν
()
και όταν
()
()
και όταν
()
Μάγκος Θάνος
Λέξεις Κλειδιά:
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Ακρότατο με ακεραίους
Θα λύσουμε τα ερωτήματα με την αντίστροφη σειρά.
α) Έστω .
Επειδή η παράσταση είναι συμμετρική ως προς τα , υποθέτουμε ότι .
Μπορούμε λοιπόν να θέσουμε , με .
Με αντικατάσταση και πράξεις προκύπτει (1).
Είναι (2) και (3).
Άρα, από (2),(3), είναι , με την ισότητα για (4).
Ακόμη, , με την ισότητα για (5).
Αφού , είναι (6).
Συνδυάζοντας τις (1),(4), (5), (6) έχουμε , με την ισότητα για , δηλαδή για .
β) Έστω , δηλαδή να μην ισχύει .
Εδώ διακρίνουμε δύο περιπτώσεις.
Περίπτωση 1: Ανά δύο οι αριθμοί δεν είναι ίσοι, δηλαδή . Έτσι αναγόμαστε στην περίπτωση α), όπου αποδείχτηκε ότι .
Περίπτωση 2: Δύο εκ των αριθμών είναι ίσοι, και ο τρίτος διαφορετικός.
Έστω . Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:
Υποπερίπτωση 2α) . Έστω τότε . Με αντικατάσταση των σχέσεων στην λαμβάνουμε .
Αφού προφανώς (είναι ) και , έχουμε , με την ισότητα για .
Υποπερίπτωση 2β) . Έστω τότε , με (7)
Με αντικατάσταση είναι .
Θεωρούμε την συνάρτηση με .
Είναι , αφού . Έτσι, , άρα η είναι γνησίως αύξουσα.
Επομένως, (8).
Αφού , οπότε (9).
Οι (8), (9) δίνουν , άρα , που όμως είναι μεγαλύτερο της ελάχιστης τιμής που βρήκαμε στην υποπερίπτωση 2α).
Τελικά, ισχύει , με την ισότητα για .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες