Συναρτησιακή!
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
Συναρτησιακή!
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις ,ώστε για κάθε ζεύγος θετικών ακεραίων .
Bye :')
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 219
- Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Re: Συναρτησιακή!
Έχει λάθος
Θα δημιουργήσουμε διαφορά τετραγώνων ώστε να εμφανιστεί το "κάτω" μέλος.
Θέτω όπου y το με g(x) τέτοιο ώστε να επαληθεύει τους περιοριμούς (θα το διώξουμε μετά όταν φτάσουμε στο σημείο που θα δούμε τη βολεύει). Οπότε
Δηλαδή
Αν στην αρχική βάλουμε όπου y το 1 τότε έχουμε (b)
Θέτω το στην (α) (όταν έλυσα την άσκηση πρώτα έκανα αυτό και μετά το (b))
(c)
Aπό την (b) αφαιρώ την (c) και έχουμε (d) Αυτό ισχύει για κάθε x θετικό ακέραιο
Στην (d) θέτω όπου x το 1 το οποίο ισχύει αν και μόνο αν (απλή απόδειξη)
η (d) γίνεται και τώρα όπου x το 3 έχουμε άτοπο αφού f(3) ακέραιος άρα δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση
Re: Συναρτησιακή!
Έστω , άνω φραγμένη.Επειδή είναι κάτω φραγμένη,το είναι μη φραγμένο για μεταβλητό και σταθερό,ενώ το είναι φραγμένο-άτοπο.
Άρα μη φραγμένη.
Ισχύει πως δηλαδή και .
Ξανακρατάω σταθερό το .
Αφού η είναι μη φραγμένη,είναι απλό πως για μεγάλα και συνεπώς η διαιρετότητα δεν μπορεί να ισχύει εκτός αν .Έτσι,για κάθε υπάρχει αρκετά μεγάλο ώστε οπότε τελικά
που επαληθεύει.
Αν πρόκειται για ιδιοκατασκευή
Άρα μη φραγμένη.
Ισχύει πως δηλαδή και .
Ξανακρατάω σταθερό το .
Αφού η είναι μη φραγμένη,είναι απλό πως για μεγάλα και συνεπώς η διαιρετότητα δεν μπορεί να ισχύει εκτός αν .Έτσι,για κάθε υπάρχει αρκετά μεγάλο ώστε οπότε τελικά
που επαληθεύει.
Αν πρόκειται για ιδιοκατασκευή
Re: Συναρτησιακή!
Η λύση μου είχε μια πιο αριθμοθεωρητική προσέγγιση, αλλά και η δική σου καλή είναι.
Bye :')
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες