Συναρτησιακή εξίσωση
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Συναρτησιακή εξίσωση
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις τέτοιες ώστε για κάθε
Θανάσης Κοντογεώργης
Λέξεις Κλειδιά:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Συναρτησιακή εξίσωση
Θα δείξουμε ότι για κάθε ή για κάθε .
Υποθέτω πρώτα ότι . Θα δείξω ότι για κάθε
Για παίρνω για κάθε . Υποθέτω προς άτοπο ότι υπάρχει με , έστω . Τότε .
Αν , τότε για παίρνω ενώ για παίρνω . Αφαιρώντας τις δύο σχέσεις παίρνω που καταλήγει στο , άτοπο.
Αν τότε . Με παρόμοιο τρόπο όπως στην προηγούμενη παράγραφο καταλήγω σε άτοπο. (Παίρνω τις σχέσεις για και μετά για .)
Άρα σε αυτήν την περίπτωση έχω για κάθε .
Μπορώ λοιπόν να υποθέσω ότι . Σε αυτήν την περίπτωση έχουμε και . Θα δείξω ότι για κάθε
Για παίρνω
για κάθε . Αυτό δίνει ότι η είναι 1-1 αφού αν εύκολα καταλήγω σε που δίνει .
Για στην αρχική τώρα, και χρησιμοποιώντας ότι η είναι 1-1 παίρνω που δίνει
για κάθε . Από την (1) παίρνω ότι η είναι επί. Επίσης για παίρνω
Θέτοντας η (1) γίνεται
Αντικαθιστώντας στην αρχική παίρνουμε
για κάθε .
Από την (2) έχουμε επίσης
για κάθε .
Αφού η είναι επί, μπορώ να πάρω ώστε . Για στην (3) παίρνουμε . Όμως από την (4) είναι . Άρα
το οποίο δίνει . Τότε όμως έχουμε
Άρα
που δίνει και .
Για στην (3) παίρνουμε
Αφού η είναι 1-1 καταλήγουμε στο για κάθε .
Υποθέτω πρώτα ότι . Θα δείξω ότι για κάθε
Για παίρνω για κάθε . Υποθέτω προς άτοπο ότι υπάρχει με , έστω . Τότε .
Αν , τότε για παίρνω ενώ για παίρνω . Αφαιρώντας τις δύο σχέσεις παίρνω που καταλήγει στο , άτοπο.
Αν τότε . Με παρόμοιο τρόπο όπως στην προηγούμενη παράγραφο καταλήγω σε άτοπο. (Παίρνω τις σχέσεις για και μετά για .)
Άρα σε αυτήν την περίπτωση έχω για κάθε .
Μπορώ λοιπόν να υποθέσω ότι . Σε αυτήν την περίπτωση έχουμε και . Θα δείξω ότι για κάθε
Για παίρνω
για κάθε . Αυτό δίνει ότι η είναι 1-1 αφού αν εύκολα καταλήγω σε που δίνει .
Για στην αρχική τώρα, και χρησιμοποιώντας ότι η είναι 1-1 παίρνω που δίνει
για κάθε . Από την (1) παίρνω ότι η είναι επί. Επίσης για παίρνω
Θέτοντας η (1) γίνεται
Αντικαθιστώντας στην αρχική παίρνουμε
για κάθε .
Από την (2) έχουμε επίσης
για κάθε .
Αφού η είναι επί, μπορώ να πάρω ώστε . Για στην (3) παίρνουμε . Όμως από την (4) είναι . Άρα
το οποίο δίνει . Τότε όμως έχουμε
Άρα
που δίνει και .
Για στην (3) παίρνουμε
Αφού η είναι 1-1 καταλήγουμε στο για κάθε .
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες