ΘΕΩΡΗΜΑ του MacLaurin
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5963
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
ΘΕΩΡΗΜΑ του MacLaurin
Θεώρημα του McLaurin (γενική μορφή).
Επιτρέψτε μου να ζητήσω την ενασχόληση με την απόδειξη του Θεωρήματος McLaurin της Ευκλείδειας Γεωμετρίας που είναι πολύ σημαντικό και τουλάχιστον θα πρέπει να το γνωρίζουμε, αφού υπάρχουν περιπτώσεις που «λύνει τα χέρια» του λύτη. Είναι το θεώρημα που ακολουθεί:
«Δίνεται γωνία Στις πλευρές της κινούνται αντίστοιχα τα σημεία , έτσι ώστε όπου δοθέν ευθύγραμμο τμήμα και μέτρα δοθέντων ευθύγραμμων τμημάτων. Τότε ο περιγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο διέρχεται από σταθερό σημείο »
Παρατήρηση: Αν τότε το σταθερό σημείο θα είναι σημείο της διχοτόμου της δοθείσας γωνίας
Στη περίπτωση μάλιστα που έχουμε ισχύει:
Επιτρέψτε μου να ζητήσω την ενασχόληση με την απόδειξη του Θεωρήματος McLaurin της Ευκλείδειας Γεωμετρίας που είναι πολύ σημαντικό και τουλάχιστον θα πρέπει να το γνωρίζουμε, αφού υπάρχουν περιπτώσεις που «λύνει τα χέρια» του λύτη. Είναι το θεώρημα που ακολουθεί:
«Δίνεται γωνία Στις πλευρές της κινούνται αντίστοιχα τα σημεία , έτσι ώστε όπου δοθέν ευθύγραμμο τμήμα και μέτρα δοθέντων ευθύγραμμων τμημάτων. Τότε ο περιγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο διέρχεται από σταθερό σημείο »
Παρατήρηση: Αν τότε το σταθερό σημείο θα είναι σημείο της διχοτόμου της δοθείσας γωνίας
Στη περίπτωση μάλιστα που έχουμε ισχύει:
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Λέξεις Κλειδιά:
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13332
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: ΘΕΩΡΗΜΑ του MacLaurin
θα δώσω μία απόδειξη που έχω διαβάσει σε παλιό βιβλίο, αλλά δεν θυμάμαι πού. Θεωρώ επί της σημείο ώστε οπότε το είναι σταθερό σημείο. Ονομάζω τον κύκλο που διέρχεταιS.E.Louridas έγραψε: ↑Παρ Αύγ 04, 2023 10:58 amΘεώρημα του McLaurin (γενική μορφή).
Επιτρέψτε μου να ζητήσω την ενασχόληση με την απόδειξη του Θεωρήματος McLaurin της Ευκλείδειας Γεωμετρίας που είναι πολύ σημαντικό και τουλάχιστον θα πρέπει να το γνωρίζουμε, αφού υπάρχουν περιπτώσεις που «λύνει τα χέρια» του λύτη. Είναι το θεώρημα που ακολουθεί:
«Δίνεται γωνία Στις πλευρές της κινούνται αντίστοιχα τα σημεία , έτσι ώστε όπου δοθέν ευθύγραμμο τμήμα και μέτρα δοθέντων ευθύγραμμων τμημάτων. Τότε ο περιγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο διέρχεται από σταθερό σημείο »
Παρατήρηση: Αν τότε το σταθερό σημείο θα είναι σημείο της διχοτόμου της δοθείσας γωνίας
Στη περίπτωση μάλιστα που έχουμε ισχύει:
από το και εφάπτεται της στο Ο κύκλος είναι σταθερός και επανατέμνει τον περίκυκλο του στο
Εύκολα προκύπτει εκ κατασκευής ότι οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες, όπως και οι πράσινες, άρα τα τρίγωνα
είναι όμοια, απ' όπου
Αλλά, και O λόγος αυτός είναι λοιπόν
σταθερός κι επειδή το ανήκει στον σταθερό κύκλο θα είναι το ζητούμενο σταθερό σημείο.
Re: ΘΕΩΡΗΜΑ του MacLaurin
Να πούμε, ότι υπάρχει αντίστοιχο θεώρημα με σταθερή την διαφορά των αποστάσεων ΟΑ-ΟΒ, με το σταθερό σημείο επί της εξωτερικής διχοτόμου κ.λπ. για κΟΑ-μΟΒ.
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13332
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: ΘΕΩΡΗΜΑ του MacLaurin
Η απόδειξη είναι ανάλογη με την περίπτωση του αθροίσματος. Εδώ όμως το σταθερό σημείο βρίσκεται στο
εξωτερικό της γωνίας ενώ στην περίπτωση του αθροίσματος το είναι στο εσωτερικό της γωνίας.
Re: ΘΕΩΡΗΜΑ του MacLaurin
Σωτήρη καλημέρα....S.E.Louridas έγραψε: ↑Παρ Αύγ 04, 2023 10:58 amΘεώρημα του McLaurin (γενική μορφή).
Επιτρέψτε μου να ζητήσω την ενασχόληση με την απόδειξη του Θεωρήματος McLaurin της Ευκλείδειας Γεωμετρίας που είναι πολύ σημαντικό και τουλάχιστον θα πρέπει να το γνωρίζουμε, αφού υπάρχουν περιπτώσεις που «λύνει τα χέρια» του λύτη. Είναι το θεώρημα που ακολουθεί:
«Δίνεται γωνία Στις πλευρές της κινούνται αντίστοιχα τα σημεία , έτσι ώστε όπου δοθέν ευθύγραμμο τμήμα και μέτρα δοθέντων ευθύγραμμων τμημάτων. Τότε ο περιγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο διέρχεται από σταθερό σημείο »
Παρατήρηση: Αν τότε το σταθερό σημείο θα είναι σημείο της διχοτόμου της δοθείσας γωνίας
Στη περίπτωση μάλιστα που έχουμε ισχύει:
Το όμορφο και κλασσικό αυτό θέμα θυμάμαι ότι το παρουσίασα στο συνέδριο της ΕΜΕ στη Χαλκίδα. Επίσης θυμάμαι ότι
στην παρουσίαση ήσουν κι εσύ...
Με προκαλεί η κινητικότητα του θέματος αυτού για τούτο και αναρτώ ένα δυναμικό σχήμα
που δείχνει την ομορφιά και την κατανόηση ανάμεσα στην κίνηση και στην ακινησία του σταθερού
αυτού σημείου.
Το ανωτέρω σχήμα είναι ένα "στιγμιότυπο" από το δυναμικό αρχείο που παραθέτω
στο σύνδεσμο:
https://www.geogebra.org/m/urx8hvta
Κώστας Δόρτσιος
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5963
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: ΘΕΩΡΗΜΑ του MacLaurin
Καλημέρα Κώστα με τις καλύτερες των ευχών. Βεβαίως και ήμουν στη Χαλκίδα, βεβαίως και είχα θαυμάσει την εργασία σου εκεί. Και κάτι ακόμα: Όταν αποφάσισα τώρα για την ανάρτηση μου αυτή ήλπιζα μέσα μου και ευχόμουν να παρέμβεις για να δώσεις πνοή ζωής, ό και εγένετω. Σε ευχαριστώ πολύ.
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
-
- Δημοσιεύσεις: 3601
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: ΘΕΩΡΗΜΑ του MacLaurin
«Δίνεται γωνία
Στις πλευρές της κινούνται αντίστοιχα τα σημεία , έτσι ώστε όπου
Να δειχθεί ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο διέρχεται από σταθερό σημείο »
Διατύπωσα διαφορετικά το θεώρημα ώστε να περιλαμβάνει και τις δύο περιπτώσεις.
Εχω λύση με αναλυτική γεωμετρία που είναι απόλυτα φυσιολογική.
Μάλιστα βρίσκεται και πιο είναι το σημείο.
Αν δεν την γράψει κάποιος ,θα επανέλθω.
Στις πλευρές της κινούνται αντίστοιχα τα σημεία , έτσι ώστε όπου
Να δειχθεί ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο διέρχεται από σταθερό σημείο »
Διατύπωσα διαφορετικά το θεώρημα ώστε να περιλαμβάνει και τις δύο περιπτώσεις.
Εχω λύση με αναλυτική γεωμετρία που είναι απόλυτα φυσιολογική.
Μάλιστα βρίσκεται και πιο είναι το σημείο.
Αν δεν την γράψει κάποιος ,θα επανέλθω.
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5963
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: ΘΕΩΡΗΜΑ του MacLaurin
Απλά επιτρέψτε μου και μία ευρύτερη αναφορά και για το ζήτημα που αναφερόμαστε (ειδικά για το θεώρημα MacLaurin στη σελίδα 137):
https://www.emeimathias.gr/wp-content/u ... fxos_5.pdf
https://www.emeimathias.gr/wp-content/u ... fxos_5.pdf
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
-
- Δημοσιεύσεις: 3601
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: ΘΕΩΡΗΜΑ του MacLaurin
«Δίνεται γωνία με
Στις πλευρές της κινούνται αντίστοιχα τα σημεία , έτσι ώστε όπου
Να δειχθεί ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο διέρχεται από σταθερό σημείο »
Απόδειξη.
Ας υποθέσουμε ότι
Εστω τα σημεία.
Η σχέση γράφεται
Λόγω του απολύτου πρέπει να διακρίνουμε περιπτώσεις.
1)
Θα έχουμε
(1)
Ο περιγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο θα έχει εξίσωση
Αφού περνάει από το σημείο θα είναι (2)
Αφου περνάει από το σημείο θα είναι
(3)
Χρησιμοποιώντας τις (1),(2),(3) η εξίσωση του κύκλου γίνεται
Για να εξαφανισθεί το πρέπει να είναι
Θα πρέπει επιπλέον να είναι
Αντικαθιστώντας βρίσκουμε ότι ο κύκλος διέρχεται από το σημείο
όπου
2)
Εκείνο που αλλάζει είναι η σχέση (1)
Αυτή γίνεται
Κάνοντας ότι και προηγουμένως βρίσκουμε ότι ο κύκλος διέρχεται από το σημείο
αλλά τώρα είναι
Αν τότε
ή κάνουμε την προηγούμενη διαδικασία με σημεία
η σε μία από τις περιπτώσεις παίρνουμε
Σε αυτή την περίπτωση είναι
Στις πλευρές της κινούνται αντίστοιχα τα σημεία , έτσι ώστε όπου
Να δειχθεί ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο διέρχεται από σταθερό σημείο »
Απόδειξη.
Ας υποθέσουμε ότι
Εστω τα σημεία.
Η σχέση γράφεται
Λόγω του απολύτου πρέπει να διακρίνουμε περιπτώσεις.
1)
Θα έχουμε
(1)
Ο περιγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο θα έχει εξίσωση
Αφού περνάει από το σημείο θα είναι (2)
Αφου περνάει από το σημείο θα είναι
(3)
Χρησιμοποιώντας τις (1),(2),(3) η εξίσωση του κύκλου γίνεται
Για να εξαφανισθεί το πρέπει να είναι
Θα πρέπει επιπλέον να είναι
Αντικαθιστώντας βρίσκουμε ότι ο κύκλος διέρχεται από το σημείο
όπου
2)
Εκείνο που αλλάζει είναι η σχέση (1)
Αυτή γίνεται
Κάνοντας ότι και προηγουμένως βρίσκουμε ότι ο κύκλος διέρχεται από το σημείο
αλλά τώρα είναι
Αν τότε
ή κάνουμε την προηγούμενη διαδικασία με σημεία
η σε μία από τις περιπτώσεις παίρνουμε
Σε αυτή την περίπτωση είναι
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: ΘΕΩΡΗΜΑ του MacLaurin
Χωρίς βλάβη της γενικότητας η μια ευθεία είναι ο άξονας των και η άλλη η ευθεία με μιγαδική εξίσωση , με .ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Σάβ Αύγ 05, 2023 9:44 am«Δίνεται γωνία
Στις πλευρές της κινούνται αντίστοιχα τα σημεία , έτσι ώστε όπου
Να δειχθεί ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο διέρχεται από σταθερό σημείο »
Διατύπωσα διαφορετικά το θεώρημα ώστε να περιλαμβάνει και τις δύο περιπτώσεις.
Αν τότε . Κάνουμε αντιστροφή στον μοναδιαίο κύκλο και παίρνουμε και . Επίσης το πάει στο άπειρο οπότε ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου πάει στην ευθεία με εξίσωση
Παρατηρούμε ότι το
ανήκει στην ευθεία αφού αν γράψουμε για τις στήλες του πίνακα θα έχουμε
Το συγκεκριμένο είναι ανεξάρτητο του και άρα ανήκει στην εικόνα κάθε περιγεγραμμένου κύκλου. Άρα όλοι οι περιγεγγραμμένοι κύκλοι περνάνε από σταθερό σημείο, το οποίο μάλιστα είναι η εικόνα του
Οι περιπτώσεις που αντιστοιχούν στις περιπτώσεις αντίστοιχα θα μπορούσαν να αγνοηθούν αλλά πρέπει να εξετάσουμε ξεχωριστά την περίπτωση . Τότε η γωνία είναι σταθερή. Άρα και η εφαπτομένη του περιγεγραμμένου κύκλου στο είναι επίσης σταθερή. Σε αυτήν την περίπτωση το είναι «διπλό» σημείο τομής των περιγεγραμμέων κύκλων και έχουμε .
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5963
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: ΘΕΩΡΗΜΑ του MacLaurin
S.E.Louridas έγραψε: ↑Παρ Αύγ 04, 2023 10:58 amΘεώρημα του McLaurin (γενική μορφή). Είναι το θεώρημα που ακολουθεί:
«Δίνεται γωνία Στις πλευρές της κινούνται αντίστοιχα τα σημεία , έτσι ώστε όπου δοθέν ευθύγραμμο τμήμα και μέτρα δοθέντων ευθύγραμμων τμημάτων. Τότε ο περιγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο διέρχεται από σταθερό σημείο »
Προς χάρη πολυφωνίας ας δούμε και αυτή την απόδειξη:
Θεωρούμε την ημιευθεία ως τον γεωμετρικό τόπο των σημείων που ο λόγος των αποστάσεων τους από τις είναι ο σταθερός λόγος Αυτό μας οδηγεί στο ότι το τρίγωνο διατηρεί τις γωνίες του. Τελικά καθ’ όλη τη κίνηση το τρίγωνο αυτό μένει όμοιο προς τον εαυτό του. Άρα ο λόγος είναι σταθερός. Από το θεώρημα του Πτολεμαίου έχουμε:
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5963
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: ΘΕΩΡΗΜΑ του MacLaurin
Θα ήθελα να μου επιτραπεί μία προσωπική άποψη: Να επισημάνω ότι οι καταπληκτικές λύσεις από τους Σταύρο και Δημήτρη (Demetres), of γεωμετρικής κλασικής μεθόδου από την Ευκλείδεια, δείχνουν ότι η Μαθηματική σκέψη είναι ΜΟΝΑΔΙΚΗ και έχει τη δύναμη να απαντά στα Μαθηματικά ζητήματα ανεξάρτητα από το αν αναφέρονται στον οποιονδήποτε τομέα των Μαθηματικών. Άρα ένα Μαθηματικό πρόβλημα θεωρείται λυμένο με όποιον τρόπο ή όποια θεωρητική θεώρηση λυθεί, αρκεί να μην αντιβαίνει τους όμορφους συλλογισμούς με βάση τους κανόνες της Μαθηματικής Λογικής. Άρα τα ουσιαστικά γεγονότα για ένα Μαθηματικό πρόβλημα, και μετά την λήξη της προσπάθεια επίλυσης του, είναι μόνο δύο: Λύθηκε το πρόβλημα ή Δεν λύθηκε το πρόβλημα.
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15777
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: ΘΕΩΡΗΜΑ του MacLaurin
Θα χρησιμοποιήσω τους συμβολισμούς του Σταύρου στο αρχικό πρόβλημα του Σωτήρη. Επίσης, χωρίς βλάβη, . Ακολουθεί γεωμετρική απόδειξη την οποία δεν είδα πουθενά.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Σάβ Αύγ 05, 2023 9:44 am«Δίνεται γωνία
Στις πλευρές της κινούνται αντίστοιχα τα σημεία , έτσι ώστε όπου
Να δειχθεί ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο διέρχεται από σταθερό σημείο »
Γράφουμε τον (κόκκινο) κύκλο που εφάπτεται της στο και έχει . Επίσης γράφουμε τον (κόκκινο) κύκλο που εφάπτεται της στο και έχει . Aν οι δύο αυτοί κύκλοι τέμνονται στο , ισχυρίζομαι ότι αυτό είναι το σταθερό σημείο που αναζητάμε.
Πρώτα απ΄όλα ας παρατηρήσουμε τις ισότητες των γωνιών και (υπό χορδής και εφαπτομένης). Άρα τα τρίγωνα είναι όμοια οπότε (αφού ).
Παίρνουμε . Γράφουμε τον κύκλο που διέρχεται από τα σημεία και έστω ότι τέμνει την στο . Θα δείξουμε ότι το είναι το ταίρι του , με δηλαδή . Αν το κάνουμε αυτό θα έχουμε τελειώσει γιατί οι κύκλοι προσδιορίζονται από τρία σημεία τους, οπότε ο διέρχεται από το , που είναι το ζητούμενο.
Τα τρίγωνα είναι όμοια (άμεσο από γωνίες, π.χ. οι πράσινες είναι ίσες από το εγγράψιμο ). Άρα αφού . Συνεπώς , όπως θέλαμε. Τελειώσαμε.
.
- Συνημμένα
-
- Maclaurin.png (20.28 KiB) Προβλήθηκε 1672 φορές
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5963
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: ΘΕΩΡΗΜΑ του MacLaurin
Ας δούμε και την άποψη αυτή.
Ας θεωρήσουμε καταρχήν, και χωρίς να έχουμε κάποια βλάβη, ότι Η δοθείσα σχέση γίνεται
Εδώ κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο με και θεωρούμε την τομή του κύκλου με την ημιευθεία
Από γνωστή πρόταση παίρνουμε (Αποδεικνύεται πολύ εύκολα με διανύσματα)
Ας θεωρήσουμε καταρχήν, και χωρίς να έχουμε κάποια βλάβη, ότι Η δοθείσα σχέση γίνεται
Εδώ κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο με και θεωρούμε την τομή του κύκλου με την ημιευθεία
Από γνωστή πρόταση παίρνουμε (Αποδεικνύεται πολύ εύκολα με διανύσματα)
τελευταία επεξεργασία από S.E.Louridas σε Πέμ Αύγ 10, 2023 12:48 pm, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5963
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: ΘΕΩΡΗΜΑ του MacLaurin
Επιτρέψτε μου να ευχαριστήσω απλά αλλά θερμά και ειλικρινά τους Γενικούς Συντονιστές.
Με την πλέον ειλικρινή εκτίμηση
Σωτήρης Ε. Λουρίδας
Με την πλέον ειλικρινή εκτίμηση
Σωτήρης Ε. Λουρίδας
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5963
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: ΘΕΩΡΗΜΑ του MacLaurin
Ας δούμε ένα θέμα που λύνεται και με βάση τα "προαναφερθέντα".
Επιτρέψτε μου να το προτείνω για ενασχόληση.
Δίνεται τρίγωνο Επί του ευθύγραμμου τμήματος κινείται σημείο Θεωρούμε σημεία αντίστοιχα επί των πλευρών , ώστε Προσδιορίστε τη θέση του , ώστε το να είναι ελάχιστο.
Επιτρέψτε μου να το προτείνω για ενασχόληση.
Δίνεται τρίγωνο Επί του ευθύγραμμου τμήματος κινείται σημείο Θεωρούμε σημεία αντίστοιχα επί των πλευρών , ώστε Προσδιορίστε τη θέση του , ώστε το να είναι ελάχιστο.
τελευταία επεξεργασία από S.E.Louridas σε Πέμ Αύγ 10, 2023 6:42 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15777
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: ΘΕΩΡΗΜΑ του MacLaurin
Θα χρησιμοποιήσω και πάλι τους συμβολισμούς του Σταύρου στο αρχικό πρόβλημα του Σωτήρη. Επίσης, χωρίς βλάβη, . Ακολουθεί απλή απόδειξη με αντιστροφή, την οποία δεν είδα πουθενά.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Σάβ Αύγ 05, 2023 9:44 am«Δίνεται γωνία
Στις πλευρές της κινούνται αντίστοιχα τα σημεία , έτσι ώστε όπου
Να δειχθεί ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο διέρχεται από σταθερό σημείο »
Η ιδέα είναι να κάνουμε αντιστροφή ως προς (και σταθερά αντιστροφής οτιδήποτε αλλά θα πάρω την τιμή για οικονομία στις πράξεις). Οι κύκλοι γίνονται ευθείες. Για να αποδείξουμε ότι οι κύκλοι έχουν κοινό σημείο πέρα από το , αρκεί να αποδείξουμε ότι οι ευθείες που προκύπτουν από την αντιστροφή έχουν κοινό σημείο.
Παίρνουμε σημεία στις δύο ευθείες, αντίστοιχα, με από τα οποία φέρνουμε παράλληλες προς τις πλευρές της γωνίας. Έστω ότι τέμνονται στο . Θα δείξουμε ότι όλες οι (αντίστροφες) ευθείες διέρχονται από το .
Έστω λοιπόν , όπου , οπότε . Έστω ακόμα τα αντίστροφα των , αντίστοιχα, δηλαδή και . Θέλουμε να δείξουμε ότι τα είναι συνευθειακά. Αν λοιπόν η τέμνει την κάτω πλευρά της γωνίας στο έχουμε από τα όμοια τρίγωνα ότι
, δηλαδή .
Λύνοντας θα βρούμε , όπως θέλαμε.
.
- Συνημμένα
-
- Maclaurin antistrofi.png (8.08 KiB) Προβλήθηκε 1513 φορές
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5963
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: ΘΕΩΡΗΜΑ του MacLaurin
Άριστη λύση (Αναμενόμενο από τον Μιχάλη) που εκτός των άλλων αναδεικνύει και το ενιαίο της Μαθηματικής σκέψης.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Πέμ Αύγ 10, 2023 6:42 pmΘα χρησιμοποιήσω και πάλι τους συμβολισμούς του Σταύρου στο αρχικό πρόβλημα του Σωτήρη. Επίσης, χωρίς βλάβη, . Ακολουθεί απλή απόδειξη με αντιστροφή, την οποία δεν είδα πουθενά.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Σάβ Αύγ 05, 2023 9:44 am«Δίνεται γωνία
Στις πλευρές της κινούνται αντίστοιχα τα σημεία , έτσι ώστε όπου
Να δειχθεί ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο διέρχεται από σταθερό σημείο »
Η ιδέα είναι να κάνουμε αντιστροφή ως προς (και σταθερά αντιστροφής οτιδήποτε αλλά θα πάρω την τιμή για οικονομία στις πράξεις). Οι κύκλοι γίνονται ευθείες. Για να αποδείξουμε ότι οι κύκλοι έχουν κοινό σημείο πέρα από το , αρκεί να αποδείξουμε ότι οι ευθείες που προκύπτουν από την αντιστροφή έχουν κοινό σημείο.
Παίρνουμε σημεία στις δύο ευθείες, αντίστοιχα, με από τα οποία φέρνουμε παράλληλες προς τις πλευρές της γωνίας. Έστω ότι τέμνονται στο . Θα δείξουμε ότι όλες οι (αντίστροφες) ευθείες διέρχονται από το .
Έστω λοιπόν , όπου , οπότε . Έστω ακόμα τα αντίστροφα των , αντίστοιχα, δηλαδή και . Θέλουμε να δείξουμε ότι τα είναι συνευθειακά. Αν λοιπόν η τέμνει την κάτω πλευρά της γωνίας στο έχουμε από τα όμοια τρίγωνα ότι
, δηλαδή .
Λύνοντας θα βρούμε , όπως θέλαμε.
.
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες