Περί ονομασίας του Θεωρήματος του MacLaurin

[S.E.Louridas]

Καλημέρα καλημέρα.
Ως "ηθικός αυτουργός" της καλής τελικά εδώ κουβέντας, έκανα τις εξής σκέψεις: Καταρχάς αν απέδωσε το θεώρημα αυτό στον MacLaurin για πρώτη φορά κάποιος σημαντικός και επώνυμος Έλληνας Μαθηματικός είναι φυσικό να αναπαράχθηκε μετά από όλους κάτω από τον τίτλο Θεώρημα MacLaurin, χωρίς πολύ ψάξιμο. Άρα θα πρέπει να ψάξουμε ίσως και πριν τους Δημητρίου, Ταμβανλή κτλ. Έτσι θα πρέπει να ανατρέξουμε ίσως και σε πολύ παλιά Δελτία ή Ευκλείδηδες ή γενικότερα της Ε.Μ.Ε. Τώρα υπάρχει περίπτωση να το έχει δημιουργήσει το Θεώρημα αυτό κάποιος άλλος Μαθηματικός με επώνυμο κοντά στου MacLauren, τόσο κοντά που να δικαιολογείται το τυπογραφικό πιθανόν λάθος; Και τα γράφω αυτά επειδή ως θέμα και ειδικά τις εποχές των εξετάσεων σε σκληρά θέματα Γεωμετρίας το θεώρημα αυτό μεσουρανούσε και μάλιστα κάτω από τον τίτλο: Θεώρημα του MacLaurin. Το δίδασκαν ως τέτοιο όλοι οι επώνυμοι τότε (Μεγάλα ονόματα και ως συγγραφείς) Γεωμέτρες.

[S.E.Louridas]

Από σημείο ενός κύκλου φέρνουμε τις χορδές ώστε η να διχοτομεί την γωνία
Από ένα άλλο σημείο του ίδιου κύκλου φέρνουμε τις χορδές παράλληλες των
αντίστοιχα. Να δείξετε ότι

Καταρχάς η παραπάνω βασική πρόταση είναι το δεδηλωμένο θεώρημα 397 MacLaurin (1743) από τους Ιησουίτες. Η ημέτερη απόδειξη
όπως είδαμε είναι: Αν προεκτείνουμε την κατά και την κατά , τότε τα ισοσκελή τρίγωνα
είναι όμοια οπότε και πάλι τελειώσαμε. Είναι καθαρό ότι

Ας συνοψίσουμε αιτιολογώντας την άποψη μου ότι δηλαδή το επονομαζόμενο θεώρημα 397 MacLaurin (1743) από τους Ιησουίτες οδηγεί στο ότι και το θεώρημα (Έστω γωνία επί των πλευρών της κινούνται τα σημεία αντίστοιχα, ώστε , όπου δοθέν. Τότε ο περιγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο διέρχεται από σταθερό σημείο) του οποίου ζητάμε τη πατρότητα είναι του MacLaurin και αυτό επειδή έχουμε ταυτόσημη αντίληψη στη μέθοδο επίλυσης, τόσο που να καθιστά τις προτάσεις αυτές ισοδύναμες. Η απόδειξη που παρέθεσα για το θεώρημα 397 MacLaurin είναι: αν προεκτείνουμε την κατά και την κατά , τότε τα ισοσκελή τρίγωνα είναι όμοια και είναι ισοσκελή καθότι στο αριστερό μέρος στο σχήμα τα τρίγωνα προκύπτουν ίσα, άρα … Για το (Έστω γωνία επί των πλευρών της κινούνται τα σημεία αντίστοιχα, ώστε , όπου δοθέν. Τότε ο περιγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο διέρχεται από σταθερό σημείο) συνεχίζουμε Έτσι λοιπόν το είναι σταθερό ως τομή δύο σταθερών γραμμών, της διχοτόμου της γωνίας και της μεσοκάθετης του ευθύγραμμου τμήματος
Σημαντική παρατήρηση:
Θα ήθελα να επισημάνω ότι οι δέσμες με βάση τις κορυφές αντίστοιχα, όπως τις βλέπουμε στο σχήμα με βάση και τις τομές, θα μπορούσαν να βρίσκονται σε διαφορετικούς κύκλους με διατήρηση όμως των αντίστοιχων παραλληλιών και να συνεχίσει να ισχύει η βασική πρόταση MacLaurin (Θεώρημα 397 Ιησουίτες). vsv.aggb.png

Τελικά και πάλι έχουμε ένα θεώρημα MacLaurin που το ονομάζουμε έτσι ως άμεση συνέπεια του δηλωμένου ως MacLaurin στους Ιησουίτες ;
Η δική μου απάντηση είναι Ναι.
Και τούτο διότι: Το θεώρημα που αναφέρεται ως θεώρημα MacLaurin στους Ιησουίτες καταλήγει Βασιζόμενοι τώρα στην Σημαντική Παρατήρηση που ανέφερα, στην γωνία π.χ. για δύο τυχόντες κύκλους παίρνουμε οπότε από αυτή προκύπτει η ισοδυναμία:

Μη ξεχνάμε δε τον ταυτόσημο τρόπο απόδειξης τους (που ως προς το γεγονός αυτό τα καθιστά ισοδύναμα όπως ήδη έχω αναφέρει), αν τα δούμε ανεξάρτητα.

(*) Ας δούμε και τη κουβέντα εδώ: viewtopic.php?f=178&t=74314

[Γιάννης Θωμαΐδης]

Το εύστοχο ερώτημα για την επωνυμία «Θεώρημα Maclaurin» που έθεσε ο Σιλουανός προκάλεσε μια ενδιαφέρουσα συζήτηση με πολλές παρεμβάσεις, σαφής ένδειξη ότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία εξακολουθεί να ελκύει το ενδιαφέρον παρά τη διαρκή απαξίωση του μαθήματος στο Λύκειο.
Στη συζήτηση διατυπώθηκαν σημαντικές παρατηρήσεις και προτάσεις, αλλά είναι διάχυτη η εντύπωση ότι η ουσία του ερωτήματος δεν έχει απαντηθεί. Ύστερα μάλιστα από τα στοιχεία που αναφέρθηκαν στη συζήτηση, το ερώτημα επανέρχεται στην ακόλουθη μορφή:

Η μεθοδολογία επίλυσης γεωμετρικών προβλημάτων που εμφανίστηκε στις αρχές της δεκαετίας του 1970 σε ορισμένα Ελληνικά βιβλία Ευκλείδειας Γεωμετρίας (διανθισμένη με όρους όπως «θεώρημα Maclaurin», «σημείο Maclaurin» και «γενίκευση Maclaurin») ήταν εισαγόμενο ή εγχώριο προϊόν;

Συζητώντας το θέμα με το Γιώργο Ρίζο κρίναμε ότι άξιζε τον κόπο μια θερινή περιπλάνηση στην αχανή βιβλιογραφία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, η οποία μας οδήγησε σε ορισμένα ενδιαφέροντα συμπεράσματα. Επειδή όμως η παρουσίαση και η τεκμηρίωσή τους είναι αδύνατο να συμπιεστεί στο σώμα ενός μηνύματος, επιχειρούμε να τα αναπτύξουμε στο συνημμένο αρχείο.
Πιστεύουμε ότι οι φιλομαθείς αναγνώστες θα βρουν σε αυτή τη μικρή εργασία κάποιες ενδιαφέρουσες πτυχές από την ανεξερεύνητη ακόμη ιστορία της νεοελληνικής μαθηματικής εκπαίδευσης …
Γιάννης Θωμαΐδης

[Mihalis_Lambrou]

Γιάννη και Γιώργο, ΕΞΑΙΡΕΤΙΚΗ η δουλειά που κάνατε. Όπως πάντα, άλλωστε.

Αν δεν κάνω λάθος ακόμα δεν απαντήθηκε το ερώτημα πού ο Maclaurin καταγράφει το Θεώρημά του, πέρα από την αναφορά που έχουμε στο Γαλλικό πρωτότυπο των Ιησουιτών στο Traite des fluxions (1743), αλλά οι οποίοι δεν έχουν αναφορά της σελίδας ή της ακριβούς διατύπωσης του Θεωρήματος από τον ίδιο τον Maclaurin. Βλέπε την Γαλλική έκδοση των Ιησουιτών, σελίς 586 παράγραφος 1291. Παρεμπιπτώντος, η ελληνική μετάφραση, όπως επισημαίνετε, δεν έχει ούτε την αναφορά στο Traite des fluxions, δηλαδή ο Έλληνας μεταφραστής, σελίς 615, παράγραφος 1291 δυστυχώς άφησε έξω την παραπομπή που έχει το Γαλλικό πρωτότυπο.

Πιστεύω (αλλά δεν κοίταξα στον Maclaurin) ότι την εν λόγω σελίδα στο Traite την δίνουν οι ίδιοι οι Ιησουίτες (Γαλλική έκδοση) σε άλλο σημείο του βιβλίου, συγκεκριμένα στις σελίδες 1031-1032, παράγραφος 2098. Στην Ελληνική μετάφραση (ευτυχώς, αυτή την φορά) υπάρχει στις σελίδες 1102-1103. Επισυνάπτω εικόνα του Γαλλικού, όπου παραπέμπει στην σελίδα 119 στον δεύτερο τόμο του Traite.

Θα άξιζε να έβλεπε κανείς τί ακριβώς λέει το εν λόγω θεώρημα στο Traite, και ποια είναι η εκεί απόδειξη του. Όπως σημείωσα, δεν το έκανα.

Ακριβέστερα, η παραπομπή στο Traite είναι σε άλλο θεώρημα του Maclaurin που αφορά το άθροισμα αλλά μπορεί να αποδείξει κανείς την ισοδυναμία των τριών εκδοχών, δηλαδή της πρώτης όπως την κατέγραψε ο Σωτήρης Λουρίδας, της δεύτερης όπως την κατέγραψε ο Γιώργος Βισβίκης και αυτήν που παραπέμπω: Μπορεί να πάει κανείς εύκολα από την μία στην άλλη. Κατά βάθος, είναι το ίδιο θεώρημα.

Συνοψίζοντας: Υπάρχει άραγε καταγεγραμμένη στην ξένη βιβλιογραφία η διατύπωση του Θεωρήματος Maclaurin όπως την δίνει η Ελληνική βιβλιογραφία; Πού ακριβώς;

Νομίζω ότι το θέμα έχει ακόμα πολύ ενδιαφέρον και αξίζει να ψάξει κανείς. Θα μάντευα ότι μία περιοχή που πρέπει να κοιτάξει κανείς είναι τα ΥΠΕΡΟΧΑ Γαλλικά Μαθηματικά περιοδικά με άπειρες ασκήσεις κλασσικής Γεωμετρίας την εποχή 1840 και εξής τα οποία είναι η πηγή των Ιησουιτών. Παραπέμπει συνέχεια σε αυτά ο συγγραφέας F.G.-M. των Ιησουιτών, μάλιστα συχνότατα μόνο με τα αρχικά των περιοδικών, γιατί προφανώς τα θεωρούσε ως γνωστά από το τότε Μαθηματικό κοινό. Π.χ. κάθε τόσο παραπέμπει στα N.A. και εννοεί τα Nouvelles Annales de Mathématiques.