Πάνω στον περίκυκλο
Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Πάνω στον περίκυκλο
τριγώνων τέμνονται στα σημεία (το στο ίδιο μέρος με το ως προς την ). Να δείξετε ότι
οι ευθείες τέμνονται πάνω στον περίκυκλο του
Λέξεις Κλειδιά:
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Πάνω στον περίκυκλο
Έστω (με τον περίκυκλο του τριγώνου ) εκατέρωθεν του ως προς την και ας είναι τα σημεία τομής τωνgeorge visvikis έγραψε:Έστω τα ύψη οξυγώνιου τριγώνου , το ορθόκεντρο και το μέσο του . Οι περίκυκλοι των τριγώνων τέμνονται στα σημεία (το στο ίδιο μέρος με το ως προς την ). Να δείξετε ότι οι ευθείες τέμνονται πάνω στον περίκυκλο του
με τον περίκυκλο του τριγώνου αντίστοιχα (με μεταξύ και ) . Αρκεί να δείξουμε ισοδύναμα ότι είναι σημεία του μεσόκυκλου
(κύκλος του Euler) του τριγώνου . Έστω τα σημεία τομής των με τους κύκλους αντίστοιχα (με ).
[attachment=3]Πάνω στον περίκυκλο..png[/attachment]
Είναι
ομοκυκλικά, άρα :(1).
Αν τότε για τις τεμνόμενες στο χορδές του θα ισχύει:
το μέσο της .
Είναι γνωστό ότι ο μεσόκυκλος του έχει κέντρο το μέσο του (το τμήμα που συνδέει το ορθόκεντρο με το βαρύκεντρο του τριγώνου ) και ακτίνα .
Στο τρίγωνο .
[attachment=2]Πάνω στον περίκυκλο..png[/attachment]
Το μέσο της κοινής χορδής των ίσων κύκλων (τα αποτελούν ορθοκεντρική τετράδα και ως γνωστό οι περίκυκλοι των τεσσάρων τριγώνων κάθε ορθοκεντρικής τετράδας είναι ίσοι)
είναι κέντρο συμμετρίας τους και έτσι ισχύει: . Για τις τεμνόμενες στο χορδές του ισχύει:
ομοκυκλικά.
Από το τρίγωνο .
Έτσι έχουμε: . Από το ισοδύναμο πρόβλημα έχει αποδειχθεί.
Στάθης
Την πιο πάνω λύση αφιερώνω με ΤΕΡΑΣΤΙΑ ΑΓΑΠΗ στις δύο Ζωίτσες μου που μου γέμισαν και μου γεμίζουν τη ζωή μου. Τη «Γιαγιά» και την ΕΓΓΟΝΗ μου
- Συνημμένα
-
- Η Γιαγιά Ζωή.jpg (51.22 KiB) Προβλήθηκε 1013 φορές
-
- Η μικρή Ζωή μας.jpg (32.74 KiB) Προβλήθηκε 1013 φορές
-
- Πάνω στον περίκυκλο..png (66.96 KiB) Προβλήθηκε 1013 φορές
-
- Πάνω στον περίκυκλο..png (66.96 KiB) Προβλήθηκε 1013 φορές
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
-
- Δημοσιεύσεις: 876
- Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm
Re: Πάνω στον περίκυκλο
Μετά την συγκινητική λύση και αφιέρωση του Στάθη, βάζω και μία λύση που σκέφτηκα όταν το πρωτοείδα. Να χαίρεσαι την οικογένειά σου και το εγγόνι σου Στάθη!! Υπέροχη άσκηση και πάρα πολύ συγκινητικές οι εικόνες του Στάθη!!! Θεωρώ ότι η προσέγγισή μου είναι αρκετά διδακτική για παιδιά που συμμετέχουν σε διαγωνισμούς και είναι πρωτόπειροι.
Έστω τότε άρα εγγράψιμο οπότε άρα και εγγράψιμο οπότε είναι
Συνεπώς οπότε εγγράψιμο. (*)
Στην συνέχεια παρατηρούμε ότι η αντιστροφή πόλου και ακτίνας διατηρεί σταθερά τα σημεία και ο κύκλος γίνεται η ευθεία Επιπλέον έστω η τομή της ημιευθείας με τον κύκλο τότε είναι απλό ότι οπότε ο κύκλος γίνεται ο κύκλος και συνεπώς η εικόνα του θα είναι η τομή της ημιευθείας με τον κύκλο δηλαδή το Σωνεπώς τα σημεία είναι συνευθειακά.
Υ.Σ Γενικά, κρατήστε το αυτό : Όταν ακούτε ''δύο κύκλοι τέμνονται σε δύο σημεία '', τότε το μυαλό σας πηγαίνει αβίαστα στην αντιστροφή που μετασχηματίζει τον έναν εκ των δύο κύκλων σε ευθεία.
Έστω τότε άρα εγγράψιμο οπότε άρα και εγγράψιμο οπότε είναι
Συνεπώς οπότε εγγράψιμο. (*)
Στην συνέχεια παρατηρούμε ότι η αντιστροφή πόλου και ακτίνας διατηρεί σταθερά τα σημεία και ο κύκλος γίνεται η ευθεία Επιπλέον έστω η τομή της ημιευθείας με τον κύκλο τότε είναι απλό ότι οπότε ο κύκλος γίνεται ο κύκλος και συνεπώς η εικόνα του θα είναι η τομή της ημιευθείας με τον κύκλο δηλαδή το Σωνεπώς τα σημεία είναι συνευθειακά.
Υ.Σ Γενικά, κρατήστε το αυτό : Όταν ακούτε ''δύο κύκλοι τέμνονται σε δύο σημεία '', τότε το μυαλό σας πηγαίνει αβίαστα στην αντιστροφή που μετασχηματίζει τον έναν εκ των δύο κύκλων σε ευθεία.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες