Πρώτη καθετότητα του νέου έτους
Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13206
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Πρώτη καθετότητα του νέου έτους
Καλή Χρονιά
Έστω η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου , οι διχοτόμοι και το έγκεντρο. Αν η
τέμνει την στο , να δείξετε ότι
Έστω η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου , οι διχοτόμοι και το έγκεντρο. Αν η
τέμνει την στο , να δείξετε ότι
Λέξεις Κλειδιά:
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Πρώτη καθετότητα του νέου έτους
Καλημέρα και ΚΑΛΗ ΧΡΟΝΙΑ σε όλουςgeorge visvikis έγραψε:Καλή Χρονιά
Έστω η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου , οι διχοτόμοι και το έγκεντρο. Αν η τέμνει την στο , να δείξετε ότι
Η πρώτη καθετότητα του νέου έτους θέλει και μια πρωτοχρονιάτικη αντιμετώπιση με βάσει τα επίκαιρα της καθετότητας που συμβαίνουν εδώ
Έστω και τα σημεία τομής των εκ του παραλλήλων προς τις αντίστοιχα
(καθέτων προφανώς προς τις (αφού )) με τις και αντίστοιχα.
Τότε προφανώς το είναι ορθογώνιο (3 ορθές) οπότε και .
Έστω Έστω επίσης τα σημεία τομής των εκ του παραλλήλων προς τις με τις αντίστοιχα.
Είναι και ομοίως .
Από . Είναι .
(Η πρόταση ισχύει και για τυχόν τρίγωνο και θα μπορούσε να αποτελεί από μόνη της ένα ξεχωριστό Λήμμα)
[attachment=0]Πρώτη καθετότητα του έτους.png[/attachment]
Είναι .
Από τη σχέση σύμφωνα με το θεώρημα Stathis.Koutras. προκύπτει ότι και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Υ.Σ. Η απόδειξη αφιερώνεται σε ολόκληρο το που μου κρατάει «συντροφιά» τα δύσκολα αυτά χρόνια.
Ιδιαίτερα θέλω να ευχαριστήσω τον (ακούραστο) Τάκη Χρονόπουλο για ότι έχει προσφέρει στο Μαθηματικό χώρο καθώς
και τον νονό του περιώνυμου Θεωρήματος, Κώστα Βήττα, έναν μοναδικό αξιαγάπητο φίλο που ήμουν τόσο τυχερός που γνώρισα
Με αγάπη
Στάθης Κούτρας
- Συνημμένα
-
- Πρώτη καθετότητα του έτους.png (49.46 KiB) Προβλήθηκε 1422 φορές
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Πρώτη καθετότητα του νέου έτους
Θα ήθελα κι εγώ να δώσω τα συγχαρητήριά μου στον κύριο Κούτρα για το θεώρημά του.ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ...
Είναι ένα παράδειγμα προς μίμηση για όλους εμάς τους μικρούς, να μπορέσουμε κι εμείς να βάλουμε κάποτε ένα λιθαράκι στο οικοδόμημα της γνώσης!
Βέβαια με την σχέση (7) πιο πάνω ο κύριος Στάθης το είχε καθαρίσει το πρόβλημα!
Για τη συνέχεια θα μπορούσαμε να πούμε ότι από την (7) προκύπτει ότι η είναι συμμετροδιάμεσος στο τρίγωνο ως προς τη γωνία , άρα
Ή πιο απλά: άρα τα ορθογώνια τρίγωνα και είναι όμοια, άρα
Houston, we have a problem!
Re: Πρώτη καθετότητα του νέου έτους
george visvikis έγραψε:Καλή Χρονιά
Πρώτη του νέου έτους.png
Έστω η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου , οι διχοτόμοι και το έγκεντρο. Αν η
τέμνει την στο , να δείξετε ότι
Χρόνια πολλά σε όλους.
Μια λύση βασικά με θεώρημα Μενελάου. Ίσως ο Γιώργος έχει κάτι πιο στοιχειώδες και πιο απλό .
Θεωρούμε .
Ας είναι το σημείο τομής της μα την , το σημείο τομής της με
την και το σημείο τομής της με τη .
Αρκεί να δείξουμε ότι γιατί τότε σύμφωνα με το αντίστροφο του
Θεωρήματος Ευκλείδη θα είναι .
Από Θ. Μενελάου στο τρίγωνο με διατέμνουσα έχουμε :
. Από το ίδιο θεώρημα στο και
διατέμνουσα έχουμε:
και αφού θα προκύψει
Συνεχίζουμε με το ίδιο θεώρημα στο τρίγωνο και διατέμνουσα και
έχουμε: .
Τέλος στο τρίγωνο με διατέμνουσα και των σχέσεων έχουμε:
με ιδιότητες των αναλογιών και δεδομένου ότι θα
προκύψει : δηλαδή αυτό που ζητάμε .
Μια λύση που προκύπτει η συμμετροδιάμεσος του τριγώνου είναι πιο σύνθετη και την απέρριψα .
Φιλικά, Νίκος
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2229
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Πρώτη καθετότητα του νέου έτους
Έστω το σημείο και έχουμε , λόγω της διχοτόμου της γωνίας του δοσμένου ορθογωνίου τριγώνου και της αρμονικής σημειοσειράς από το πλήρες τετράπλευρο .
Στην αρμονική αυτή σημειοσειρά, σύμφωνα με το Θεώρημα Newton, ισχύει λόγω .
Από προκύπτει ότι η ευθεία ταυτίζεται με την εφαπτομένη του περικύκλου έστω του ορθογωνίου τριγώνου με κέντρο το μέσον της υποτείνουσας αυτού. Η δέσμη , όπου , είναι αρμονική και επομένως, η δέσμη είναι επίσης αρμονική και άρα, η σημειοσειρά είναι αρμονική.
Η ευθεία τώρα, ταυτίζεται με την Πολική ευθεία του σημείου ως προς τον κύκλο , γιατί συνδέει το σημείο = το σημείο επαφής της εφαπτομένης του από το σημείο με το σημείο = το αρμονικό συζυγές του σημείου ως προς τα σημεία .
Συμπεραίνεται έτσι, ότι η Πολική ευθεία σημείου ως προς κύκλο, είναι κάθετη στην ευθεία που συνδέει το σημείο με το κέντρο του κύκλου και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
Στην αρμονική αυτή σημειοσειρά, σύμφωνα με το Θεώρημα Newton, ισχύει λόγω .
Από προκύπτει ότι η ευθεία ταυτίζεται με την εφαπτομένη του περικύκλου έστω του ορθογωνίου τριγώνου με κέντρο το μέσον της υποτείνουσας αυτού. Η δέσμη , όπου , είναι αρμονική και επομένως, η δέσμη είναι επίσης αρμονική και άρα, η σημειοσειρά είναι αρμονική.
Η ευθεία τώρα, ταυτίζεται με την Πολική ευθεία του σημείου ως προς τον κύκλο , γιατί συνδέει το σημείο = το σημείο επαφής της εφαπτομένης του από το σημείο με το σημείο = το αρμονικό συζυγές του σημείου ως προς τα σημεία .
Συμπεραίνεται έτσι, ότι η Πολική ευθεία σημείου ως προς κύκλο, είναι κάθετη στην ευθεία που συνδέει το σημείο με το κέντρο του κύκλου και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1172
- Εγγραφή: Τετ Δεκ 31, 2008 8:07 pm
- Τοποθεσία: ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
Re: Πρώτη καθετότητα του νέου έτους
Καλή Χρονιά σε όλους τους φίλους.
Αφού εκφράσω και πάλι τα συγχαρητήρια μου στον φοβερό Στάθη (Στάθη μας κάνεις περήφανους και ας ξέρω ότι δεν σου αρέσουν οι έπαινοι), να πω ότι η επίμονη αναζήτηση λύσης σε ένα δύσκολο πρόβλημα οδηγεί συχνά, στην ανακάλυψη χρήσιμων λημμάτων η Θεωρημάτων. Η χρησιμότητα και η αξία αυτών, φαίνεται στο πόσο άμεσα και κυρίως κομψά οδηγούν στη λύση ενός προβλήματος, αλλά και στις εφαρμογές που έχουν σε μεγάλο πλήθος άλλων προβλημάτων. Για να αντιληφθεί κανείς την αξία του Θεωρήματος του Στάθη, πρέπει πρωτίστως να ασχοληθεί με αυτό το πρόβλημα. Παραθέτω τη δική μου εκδοχή.
Θα χρησιμοποιήσουμε την χαρακτηριστική ιδιότητα της , δηλαδή ότι η απόσταση κάθε σημείου της από την , ισούται με το άθροισμα των αποστάσεών του από τις .
Κατασκευάζουμε το ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο με ύψος την . Έστω το σημείο τομής της , με την και η προβολή του επί του ύψους . Θα αποδείξουμε ότι το ανήκει στην και όμοια μπορούμε να ενεργήσουμε για το σημείο τομής της με την και την προβολή του επί του ύψους .
Έστω οι αποστάσεις του από τις αντίστοιχα και οι αποστάσεις του από τις αντίστοιχα. Αρκεί να αποδείξουμε
Το τελευταίο προκύπτει άμεσα από την ισότητα των ορθογώνιων τριγώνων ( και ) και τις ισότητες
Επομένως, καθώς το είναι μέσο του , σύμφωνα με το Θ. Κεντρικής Δέσμης, τα σημεία είναι συνευθειακά.
Αφού εκφράσω και πάλι τα συγχαρητήρια μου στον φοβερό Στάθη (Στάθη μας κάνεις περήφανους και ας ξέρω ότι δεν σου αρέσουν οι έπαινοι), να πω ότι η επίμονη αναζήτηση λύσης σε ένα δύσκολο πρόβλημα οδηγεί συχνά, στην ανακάλυψη χρήσιμων λημμάτων η Θεωρημάτων. Η χρησιμότητα και η αξία αυτών, φαίνεται στο πόσο άμεσα και κυρίως κομψά οδηγούν στη λύση ενός προβλήματος, αλλά και στις εφαρμογές που έχουν σε μεγάλο πλήθος άλλων προβλημάτων. Για να αντιληφθεί κανείς την αξία του Θεωρήματος του Στάθη, πρέπει πρωτίστως να ασχοληθεί με αυτό το πρόβλημα. Παραθέτω τη δική μου εκδοχή.
Θα χρησιμοποιήσουμε την χαρακτηριστική ιδιότητα της , δηλαδή ότι η απόσταση κάθε σημείου της από την , ισούται με το άθροισμα των αποστάσεών του από τις .
Κατασκευάζουμε το ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο με ύψος την . Έστω το σημείο τομής της , με την και η προβολή του επί του ύψους . Θα αποδείξουμε ότι το ανήκει στην και όμοια μπορούμε να ενεργήσουμε για το σημείο τομής της με την και την προβολή του επί του ύψους .
Έστω οι αποστάσεις του από τις αντίστοιχα και οι αποστάσεις του από τις αντίστοιχα. Αρκεί να αποδείξουμε
Το τελευταίο προκύπτει άμεσα από την ισότητα των ορθογώνιων τριγώνων ( και ) και τις ισότητες
Επομένως, καθώς το είναι μέσο του , σύμφωνα με το Θ. Κεντρικής Δέσμης, τα σημεία είναι συνευθειακά.
- Συνημμένα
-
- καθετοτητα.png (14.55 KiB) Προβλήθηκε 1221 φορές
Re: Πρώτη καθετότητα του νέου έτους
Ισχύει το ακόλουθο γενικό αποτέλεσμα:
Έστω η διάμεσος τριγώνου και οι διχοτόμοι και το έγκεντρο. Αν η
τέμνει την στο , να δείξετε ότι η είναι συμμετροδιάμεσος του .
Έστω η διάμεσος τριγώνου και οι διχοτόμοι και το έγκεντρο. Αν η
τέμνει την στο , να δείξετε ότι η είναι συμμετροδιάμεσος του .
Σιλουανός Μπραζιτίκος
-
- Δημοσιεύσεις: 246
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 18, 2014 5:07 pm
Re: Πρώτη καθετότητα του νέου έτους
Καλημέρα!Μια τριγωνομετρική απόδειξη για την παραπάνω γενίκευση με βάση όσα αποδείχθηκαν εδώ (γράφω για δική μου ευκολία το , το και το δηλ όπως στο σύνδεσμο).silouan έγραψε:Ισχύει το ακόλουθο γενικό αποτέλεσμα:
Έστω η διάμεσος τριγώνου και οι διχοτόμοι και το έγκεντρο. Αν η
τέμνει την στο , να δείξετε ότι η είναι συμμετροδιάμεσος του .
Αρχικά αφού διχοτόμοι είναι και οπότε διαιρώντας κατά μέλη παίρνουμε (1).
Εφαρμόζοντας το λήμμα που αναφέρεται εκεί για το και το σημείο έχουμε ότι (2),χρησιμοποιώντας την (1), όμως στο σύνδεσμο αποδείξαμε ότι άρα η (2) γίνεται .(3)
Αν τώρα τα σημεία τομής της συμμετροδιαμέσου με τις αντίστοιχα,εφαρμόζοντας πάλι το λήμμα έχουμε (όπου χρησιμοποιήσαμε τη γνωστή σχέση και την (3)),από όπου παίρνουμε το ζητούμενο.
Σημαντήρης Γιάννης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1172
- Εγγραφή: Τετ Δεκ 31, 2008 8:07 pm
- Τοποθεσία: ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
Re: Πρώτη καθετότητα του νέου έτους
Κώστα εύχομαι ολόψυχα Καλή Χρονιά με υγεία!vittasko έγραψε: Έστω το σημείο και έχουμε , λόγω της διχοτόμου της γωνίας του δοσμένου ορθογωνίου τριγώνου και της αρμονικής σημειοσειράς από το πλήρες τετράπλευρο .
Στην αρμονική αυτή σημειοσειρά, σύμφωνα με το Θεώρημα Newton, ισχύει λόγω .
Από προκύπτει ότι η ευθεία ταυτίζεται με την εφαπτομένη του περικύκλου έστω του ορθογωνίου τριγώνου με κέντρο το μέσον της υποτείνουσας αυτού.
f=181_t=56953.PNG
Η δέσμη , όπου , είναι αρμονική και επομένως, η δέσμη είναι επίσης αρμονική και άρα, η σημειοσειρά είναι αρμονική.
Η ευθεία τώρα, ταυτίζεται με την Πολική ευθεία του σημείου ως προς τον κύκλο , γιατί συνδέει το σημείο = το σημείο επαφής της εφαπτομένης του από το σημείο με το σημείο = το αρμονικό συζυγές του σημείου ως προς τα σημεία .
Συμπεραίνεται έτσι, ότι η Πολική ευθεία σημείου ως προς κύκλο, είναι κάθετη στην ευθεία που συνδέει το σημείο με το κέντρο του κύκλου και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
Με ιδιαίτερη χαρά ξαναβρισκόμαστε έστω και νοερά.
Μία μικρή συντόμευση νομίζω (αν δεν χάνω κάτι) μπορούμε να κάνουμε στην εξαιρετική λύση σου. Από την αρμονική δέσμη και την καθετότητα των δεν προκύπτει ότι η διχοτομεί τη γωνία των ;
Να είσαι καλά και τα ξαναλέμε.
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2229
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Πρώτη καθετότητα του νέου έτους
Ανδρέα, καλή χρονιά με υγεία σε σένα και στους ανθρώπους σου.
Στραβώθηκα με την Πολική και δεν είδα την διχοτόμο. Στην γενίκευση όμως του Σιλουανού δεν έχουμε ως Πολική την ευθεία .
Mε το σκεπτικό σου όμως, η ως διχοτόμος της γωνίας , μας δίνει άμεσα την ως ταυτιζόμενη με την -συμμετροδιάμεσο του .
Σ' ευχαριστώ θερμά, Κώστας Βήττας.
Στραβώθηκα με την Πολική και δεν είδα την διχοτόμο. Στην γενίκευση όμως του Σιλουανού δεν έχουμε ως Πολική την ευθεία .
Mε το σκεπτικό σου όμως, η ως διχοτόμος της γωνίας , μας δίνει άμεσα την ως ταυτιζόμενη με την -συμμετροδιάμεσο του .
Σ' ευχαριστώ θερμά, Κώστας Βήττας.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1172
- Εγγραφή: Τετ Δεκ 31, 2008 8:07 pm
- Τοποθεσία: ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
Re: Πρώτη καθετότητα του νέου έτους
Η αλήθεια είναι ότι με βάση τη γενίκευση ου Σιλουανού το σκέφτηκα. Δεν πήγε το μυαλό μου να χρησιμοποιήσω αρμονικότητες στο αρχικό πρόβλημα, καθώς μου βγήκε με άλλο τρόπο.
Σε ευχαριστώ και εγώ Κώστα, όπως φυσικά και το Σιλουανό και όλη τη Γεωμετρική παρέα.
Να είστε όλοι καλά!
Σε ευχαριστώ και εγώ Κώστα, όπως φυσικά και το Σιλουανό και όλη τη Γεωμετρική παρέα.
Να είστε όλοι καλά!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης