Υπολογιστική

#1

Ίσως και να έχει συζητηθεί ξανά.

: Υπολογιστική...png (11.34 KiB) Προβλήθηκε 1157 φορές

Αν

είναι η διχοτόμος, AM=m

η διάμεσος και

η περίμετρος τριγώνου ABC

με $D\widehat AM=\theta$ ,

να δείξετε ότι $\displaystyle{dm\cos \theta = s(s - a)}$

nikkru · #2

george visvikis έγραψε:Ίσως και να έχει συζητηθεί ξανά.
Υπολογιστική...png
Αν είναι η διχοτόμος, η διάμεσος και η περίμετρος τριγώνου με $D\widehat AM=\theta$ ,

να δείξετε ότι $\displaystyle{dm\cos \theta = s(s - a)}$

Πράγματι υπολογιστική ! ( πολλές πράξεις, εκτός αν υπάρχει και συντομότερη οδός ).

Από τον νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο ADM

προκύπτει: $\displaystyle{ 2\,d\,m\,\sigma \upsilon \nu \theta =d^2+m^2-DM^2 }$ .

Από το Θ. Stewart $\displaystyle{ d=\frac{2}{b+c}\sqrt{bcs(s-a)} }$ , από τον τύπο των διαμέσων $\displaystyle{ m^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4} }$

και από το Θ. διχοτόμων $\displaystyle{ BD=\frac{ac}{b+c} }$ , άρα $\displaystyle{ DM=\frac{a}{2}-BD=\frac{ab-ac}{2(b+c)} }$ .

Από τα προηγούμενα έχουμε: $\displaystyle{d^2+m^2-DM^2= \frac{4bcs(s-a)}{(b+c)^2}+\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}-\frac{a^2(b-c)^2}{4(b+c)^2}= }$
$\displaystyle{=\cdots=2\frac{a+b+c}{2}\frac{b+c-a}{2} = 2s(s-a) }$ , άρα $\displaystyle{dm\cos \theta = s(s - a)}$ .

#3

Μία διαφορετική προσέγγιση.Είναι $\boxed{d = \frac{{2bc}}{{b + c}}\cos \frac{A}{2}}$ (1)

(Τριγωνομετρία 2, Ι. Πανάκη σελίδα89).

Αλλά, $\displaystyle{d = \frac{2}{{b + c}}\sqrt {bcs(s - a)} \mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} }$ $\boxed{bc{\cos ^2}\frac{A}{2} = s(s - a)}$ (2)

: Υπολογιστική.2.png (11.61 KiB) Προβλήθηκε 1059 φορές

Προεκτείνω την

κατά

, οπότε $\displaystyle{\varphi = \frac{{\widehat A}}{2} - \theta ,\omega = \frac{{\widehat A}}{2} + \theta ,A\widehat CN = {180^0} - \widehat A}$

Νόμος ημιτόνων στο ACN:

$\displaystyle{\frac{{2m}}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin \left( {\frac{A}{2} + \theta } \right)}} = \frac{c}{{\sin \left( {\frac{A}{2} - \theta } \right)}} = \frac{{b + c}}{{2\sin \frac{A}{2}\cos \theta }} \Leftrightarrow \frac{{2m}}{{\cos \frac{A}{2}}} = \frac{{b + c}}{{\cos \theta }} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{m\cos \theta = \frac{{b + c}}{2}\cos \frac{A}{2} \Leftrightarrow dm\cos \theta = d\frac{{b + c}}{2}\cos \frac{A}{2}\mathop = \limits^{(1)} bc{\cos ^2}\frac{A}{2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(2)} }$ $\boxed{dm\cos \theta = s(s - a)}$

Al.Koutsouridis · #4

Καλησπέρα,

Άλλη μια ενδιαφέρουσα σχέση που ισχύει για την γωνία $\theta$ μεταξύ της διχοτόμου και της διαμέσου είναι η:

$\tan \theta = \tan^2 \dfrac{\alpha}{2} \tan \dfrac{\left | \beta -\gamma \right |}{2}$

Υπολογιστική

Υπολογιστική

Re: Υπολογιστική

Re: Υπολογιστική

Re: Υπολογιστική

Μέλη σε σύνδεση