Ελάχιστη εφαπτομένη γωνίας

#1

: Ελάχιστη εφαπτομένη γωνίας.png (15.27 KiB) Προβλήθηκε 906 φορές

Δίνεται κύκλος (O,r)

και μία ευθεία $(\epsilon)$ που απέχει από το

απόσταση

Από τυχαίο σημείο

της ευθείας γράφουμε

κύκλο που εφάπτεται εξωτερικά στον (O,r)

στο σημείο

και τέμνει την ευθεία στα A, B.

Η

επανατέμνει τον αρχικό

κύκλο στο

Αν $A\widehat SB=\theta,$ να βρείτε την ελάχιστη τιμή της $\displaystyle{\tan \theta }.$

KARKAR · #2

: VISV.png (13.8 KiB) Προβλήθηκε 853 φορές

Από το ορθογώνιο OQK

, βρίσκουμε : $x=\sqrt{R^2+2R-3}-R$ . Θεωρώντας την $\theta$

ως διαφορά των $\widehat{TSA}, \widehat{TSB}$ , παίρνουμε : $tan\theta=\dfrac{2R}{\sqrt{R^2+2R-3}+R+1}$ .

Η ποσότητα αυτή παρουσιάζει ελάχιστο για $R=\dfrac{3}{2}$ ,το $tan\theta_{min}=\dfrac{3}{4}$ .

Ζητώ την κατανόησή σας για την τροποποίηση του σχήματος , την απλοποίηση του

,

τη χρήση παραγώγου στο τελευταίο βήμα και τη συνοπτικότητα της λύσης !

STOPJOHN · #3

george visvikis έγραψε:Ελάχιστη εφαπτομένη γωνίας.png
Δίνεται κύκλος και μία ευθεία $(\epsilon)$ που απέχει από το απόσταση Από τυχαίο σημείο της ευθείας γράφουμε

κύκλο που εφάπτεται εξωτερικά στον στο σημείο και τέμνει την ευθεία στα Η επανατέμνει τον αρχικό

κύκλο στο Αν $A\widehat SB=\theta,$ να βρείτε την ελάχιστη τιμή της $\displaystyle{\tan \theta }.$

Καλησπέρα

Εστω ότι $AK=KP=KB=x,ST\perp AB,PN\perp AB,\hat{PAK}=\hat{\omega },$

Απο το εγράψιμο τετράπλευρο $PBTS,\hat{PTB}=\hat{PSB}=\hat{\theta },tan\theta =\dfrac{PN}{NT},(1)$
Από τα όμοια τρίγωνα $OPS,APK,\dfrac{AP}{PS}=\dfrac{x}{r},(2),$

$1-\dfrac{NT}{AT}=\dfrac{AN}{AT}=\dfrac{PN}{2r}=\dfrac{AP}{AS}=\dfrac{AP}{AP+PS}=\dfrac{x}{x+r},PN=\dfrac{2rx}{x+r},(3),$
$AT=\dfrac{2r}{tan\omega },(4),\dfrac{NT}{AT}=\dfrac{r}{x+r},(5), (4),(5)\Rightarrow NT=\dfrac{r}{x+r}(\sqrt{x^{2}+2xr-3r^{2} }+r),(6),y=tan\theta ,\dfrac{2x}{y}=x+r+\sqrt{x^{2}+2xr-3r^{2}}\Leftrightarrow (1-y)x^{2}-yrx+r^{2}y^{2}=0,\Delta \geq 0\Rightarrow y\geq \dfrac{3}{4},y_{min}=\dfrac{3}{4},x=\dfrac{3r}{2}$

Γιάννης

S.E.Louridas · #4

george visvikis έγραψε:Ελάχιστη εφαπτομένη γωνίας.png
Δίνεται κύκλος και μία ευθεία $(\epsilon)$ που απέχει από το απόσταση Από τυχαίο σημείο της ευθείας γράφουμε κύκλο που εφάπτεται εξωτερικά στον στο σημείο και τέμνει την ευθεία στα Η επανατέμνει τον αρχικό κύκλο στο Αν $A\widehat SB=\theta,$ να βρείτε την ελάχιστη τιμή της $\displaystyle{\tan \theta }.$

Γεια χαρά στη παρέα.
Έστω

η προβολή του

στην $\varepsilon .$ Είναι καθαρό ότι τα σημεία A,P,S

είναι συνευθειακά (προφανής ομοιότητα ισοσκελών τριγώνων), οπότε $\angle BPS = \angle STB = \frac{\pi }{2}.$ Αυτό σημαίνει ότι το τετράπλευρο SPBT

είναι εγγράψιμο, άρα αρκεί η γωνία $\angle PTB$ να είναι ελάχιστη.
Αυτό συμβαίνει καθαρά όταν η

καταστεί εφαπτομένη του κύκλου $\left( {O,\;r} \right).$
Τότε, αν $\diplaystyle{ST = d,\;\;\tan \theta = \frac{1}{{\cot \theta }} = \frac{{{d^2} - {r^2}}}{{2dr}}.}$

STOPJOHN · #5

S.E.Louridas έγραψε:
george visvikis έγραψε:Ελάχιστη εφαπτομένη γωνίας.png
Δίνεται κύκλος και μία ευθεία $(\epsilon)$ που απέχει από το απόσταση Από τυχαίο σημείο της ευθείας γράφουμε κύκλο που εφάπτεται εξωτερικά στον στο σημείο και τέμνει την ευθεία στα Η επανατέμνει τον αρχικό κύκλο στο Αν $A\widehat SB=\theta,$ να βρείτε την ελάχιστη τιμή της $\displaystyle{\tan \theta }.$
Γεια χαρά στη παρέα.
Έστω η προβολή του στην $\varepsilon .$ Είναι καθαρό ότι τα σημεία είναι συνευθειακά (προφανής ομοιότητα ισοσκελών τριγώνων), οπότε $\angle BPS = \angle STB = \frac{\pi }{2}.$ Αυτό σημαίνει ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, άρα αρκεί η γωνία $\angle PTB$ να είναι ελάχιστη.
Αυτό συμβαίνει καθαρά όταν η καταστεί εφαπτομένη του κύκλου $\left( {O,\;r} \right).$
Τότε, αν $\diplaystyle{ST = d,\;\;\tan \theta = \frac{1}{{\cot \theta }} = \frac{{{d^2} - {r^2}}}{{2dr}}.}$

Γειά σου Σωτήρη ,η γωνια $\hat{PTB}$ ελαχιστοποιείται όταν η

γίνει εφαπτομένη στον κύκλο (O)

είναι προφανές ;; γνωστή άσκηση;

Γιάννης

S.E.Louridas · #6

STOPJOHN έγραψε: Γειά σου Σωτήρη ,η γωνια $\hat{PTB}$ ελαχιστοποιείται όταν η
γίνει εφαπτομένη στον κύκλο είναι προφανές ;; γνωστή άσκηση;
Γιάννης

Γιάννη όπως ανέφερα από την ομοιότητα των ισοσκελών τριγώνων OPS, KPA

η

ως παράλληλη στην $(\varepsilon)$ δίνει το

σταθερό. Συνεπώς OTAN οι TP, TS

είναι εφαπτόμενες του μπλε κύκλου σου, τότε κάθε ημιευθεία που περνά από το

και τέμνει τον μπλε κύκλο σου περιέχεται στην γωνία που οι εφαπτόμενες σχηματίζουν. Άρα ...

(*) Απλά αυτό για λύτες σε επίπεδο seniors πράγματι το θεώρησα περίπου προφανές, πάντα βέβαια με κάθε επιφύλαξη για την ορθότητα των λεγομένων ... αφού ο δαίμονας του διαδικτύου καραδοκεί...

STOPJOHN · #7

Σωτήρη ,η σταθερότητα του σημείου

συνεπάγεται και τη σταθερότητα του σημέιου

και είναι

και εφόσον $\hat{OST}=90^{0}$
καθε ημιευθεία που διέρχεται από το σημείο

και τέμνει τον μπλέ κύκλο έχει μια οριακή θέση ,όταν γίνει εφαπτομένη του κύκλου ....τα γράφω γιατί πιο παλιά βρίσκαμε και γεωμετρικούς τόπους με τις οριακές θέσεις, ας είναι ευχαριστώ για τις διευκρινήσεις

Γιάννης

Ελάχιστη εφαπτομένη γωνίας

Ελάχιστη εφαπτομένη γωνίας

Re: Ελάχιστη εφαπτομένη γωνίας

Re: Ελάχιστη εφαπτομένη γωνίας

Re: Ελάχιστη εφαπτομένη γωνίας

Re: Ελάχιστη εφαπτομένη γωνίας

Re: Ελάχιστη εφαπτομένη γωνίας

Re: Ελάχιστη εφαπτομένη γωνίας

Μέλη σε σύνδεση