O 402 AΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS 1 TOY 2017
Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2
-
- Δημοσιεύσεις: 1283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
O 402 AΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS 1 TOY 2017
Tο παρακάτω θέμα πρότεινε ο Dorin Andrica από την Cluj-Napoca της Ρουμανίας στο 1ο Mathematical Reflections του 2017. Η τελική ημερομηνία υποβολής λύσεων ήταν η 15η Μαρτίου 2017 , επομένως κρίνω ότι είναι κατάλληλο να το προτείνω στο forum μας.
Αποδείξτε ότι σε κάθε τρίγωνο ισχύει
Αποδείξτε ότι σε κάθε τρίγωνο ισχύει
Λέξεις Κλειδιά:
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6422
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: O 402 AΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS 1 TOY 2017
Δεν γίνεται να είναι ακριβώς δύο εκ των αρνητικά. Μπορεί ακριβώς ένα να είναι αρνητικό, οπότε η ζητούμενη ισχύει για προφανή λόγο. Ας είναι τώρα όλα μη αρνητικά.ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: Αποδείξτε ότι σε κάθε τρίγωνο ισχύει
Είναι
οπότε αρκεί
,
δηλαδή
.
Αυτή προκύπτει με πολλαπλασιασμό των γνωστών
και
Μάγκος Θάνος
-
- Δημοσιεύσεις: 1283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
Re: O 402 AΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS 1 TOY 2017
Ευχαριστώ πολύ το Θάνο για τη λύση.
Ας δούμε τώρα τις δικές μου σκέψεις...
Αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο τότε η ανισότητα προφανώς ισχύει.
Τα όσα γράφω παρακάτω , είναι αποδεδειγμένα στη δημοσίευση
viewtopic.php?f=58&t=38659
Αν το τρίγωνο είναι οξυγώνιο τότε οι πλευρές του ορθικού του τριγώνου είναι
O περιγεγραμμένος κύκλος του ορθικού τριγώνου του είναι ίσος με , είτε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο είτε αμβλυγώνιο.
Αν εφαρμοστεί η πασίγνωστη ανισότητα στο ορθικό τρίγωνο του , τότε
, όπου το εμβαδόν του ορθικού τριγώνου.
Όμως
Επίσης και αντίστοιχα
Συνεπώς η ανισότητα δίνει ότι
και μετά τις απλοποιήσεις έχουμε τη ζητούμενη ανισότητα.
Αν το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο , με αμβλεία , τότε ισχύει ότι
και η ανισότητα δίνει ότι
και αυτό δίνει ότι
που με τη σειρά του δίνει
Επειδή λόγω της αμβλείας γωνίας ισχύει ότι
μπορούμε να γράψουμε ότι
, η ανισότητα είναι αυστηρή σε αμβλυγώνιο τρίγωνο.
Τελικά το θέμα ήταν η ανισότητα στο ορθικό τρίγωνο...
Ας δούμε τώρα τις δικές μου σκέψεις...
Αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο τότε η ανισότητα προφανώς ισχύει.
Τα όσα γράφω παρακάτω , είναι αποδεδειγμένα στη δημοσίευση
viewtopic.php?f=58&t=38659
Αν το τρίγωνο είναι οξυγώνιο τότε οι πλευρές του ορθικού του τριγώνου είναι
O περιγεγραμμένος κύκλος του ορθικού τριγώνου του είναι ίσος με , είτε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο είτε αμβλυγώνιο.
Αν εφαρμοστεί η πασίγνωστη ανισότητα στο ορθικό τρίγωνο του , τότε
, όπου το εμβαδόν του ορθικού τριγώνου.
Όμως
Επίσης και αντίστοιχα
Συνεπώς η ανισότητα δίνει ότι
και μετά τις απλοποιήσεις έχουμε τη ζητούμενη ανισότητα.
Αν το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο , με αμβλεία , τότε ισχύει ότι
και η ανισότητα δίνει ότι
και αυτό δίνει ότι
που με τη σειρά του δίνει
Επειδή λόγω της αμβλείας γωνίας ισχύει ότι
μπορούμε να γράψουμε ότι
, η ανισότητα είναι αυστηρή σε αμβλυγώνιο τρίγωνο.
Τελικά το θέμα ήταν η ανισότητα στο ορθικό τρίγωνο...
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 18 επισκέπτες