ΠΙΟ ΣΦΙΧΤΗ ΑΠΟ ΤΗ ΧΘΕΣΙΝΗ

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Σε τρίγωνο ABC

αποδείξτε ότι

$\displaystyle cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}+cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}+cos\frac{C}{2}cos\frac{A}{2}\geq \frac{\sqrt{3}s}{2R}$

dement · #2

Το δεξί μέλος γράφεται ως $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} (\sin A + \sin B + \sin C) = \sqrt{3} \left[ \sin \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right) + \sin \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \right] =$

$\displaystyle = \sqrt{3} \cos \left(\frac{C}{2}\right) \left[ \cos \left( \frac{A-B}{2} \right) + \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \right] = 2 \sqrt{3} \cos \left(\frac{A}{2} \right) \cos \left(\frac{B}{2}\right) \cos \left(\frac{C}{2}\right)$

Έτσι, το ζητούμενο γράφεται $\displaystyle \sec \left(\frac{A}{2} \right) + \sec \left(\frac{B}{2}\right) + \sec \left(\frac{C}{2}\right) \geqslant 2 \sqrt{3}$ που είναι άμεση συνέπεια της κυρτότητας της τέμνουσας στο $(0, \pi/2)$ και του $A + B + C = \pi$ (από την ανισότητα Jensen).

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

Να ευχαριστήσω το Δημήτρη για τη λύση που έδωσε. Χαίρομαι όταν βλέπω λύσεις που δεν είχα υπ' όψιν.
Ας δούμε τώρα τη δική μου σκέψη...

Όλα ξεκινούν από την παρακάτω δημοσίευση
viewtopic.php?f=112&t=24551

Θα αποδειχθεί μια ανισότητα , συγκεκριμένα θα αποδειχθεί ότι σε τρίγωνο ABC

ισχύει $ab+bc+ca\geq 4\sqrt{3}E$ , όπου

το εμβαδόν του τριγώνου ABC.

$\left (ab+bc+ca \right )^{2}\geq 3abc\left ( a+b+c \right )=3\cdot 4ER2s\geq3 \cdot 4E2r2s=3\cdot 16E^{2}$

Αν γίνει αποτετραγωνισμός προκύπτει η $ab+bc+ca\geq 4\sqrt{3}E.$

Το θέμα που προτείνω δεν είναι παρά η εφαρμογή της ανισότητας αυτής στο τρίγωνο που σχηματίζεται από τις εξωτερικές διχοτόμους του τριγώνου ABC.

Aν ληφθεί υπ' όψιν ότι
$\displaystyle{DE = 4R\cos \frac{C}{2}}$

$\displaystyle{EF = 4R\cos \frac{A}{2}}$

$\displaystyle{FD = 4R\cos \frac{B}{2}}$

και ότι (EDF)=2sR

η ανισότητα αυτή γράφεται

$\displaystyle4Rcos\frac{A}{2}\cdot 4Rcos\frac{B}{2}+4Rcos\frac{B}{2}\cdot 4Rcos\frac{C}{2}+4Rcos\frac{C}{2}\cdot 4Rcos\frac{A}{2}\geq 4\sqrt{3}\cdot 2sR$

που ισοδύναμα γράφεται

$\displaystyle16R^{2}\left ( cos\frac{A}{2}\cdot cos\frac{B}{2}+ cos\frac{B}{2}\cdot cos\frac{C}{2}+cos\frac{C}{2}\cdot cos\frac{A}{2}\right )\geq 8\sqrt{3}sR$

και ισοδύναμα έχουμε τη ζητούμενη ανισότητα.

ΠΙΟ ΣΦΙΧΤΗ ΑΠΟ ΤΗ ΧΘΕΣΙΝΗ

ΠΙΟ ΣΦΙΧΤΗ ΑΠΟ ΤΗ ΧΘΕΣΙΝΗ

Re: ΠΙΟ ΣΦΙΧΤΗ ΑΠΟ ΤΗ ΧΘΕΣΙΝΗ

Re: ΠΙΟ ΣΦΙΧΤΗ ΑΠΟ ΤΗ ΧΘΕΣΙΝΗ

Μέλη σε σύνδεση