Εγκεντροφόρος

KARKAR · #1

: Εγκεντροφόρος.png (19.25 KiB) Προβλήθηκε 720 φορές

Με κέντρο το άκρο

της διαμέτρου

, κύκλου

, γράφω τον κύκλο (B,BO)

επί του οποίου - και στο εσωτερικό του (O)

- κινείται σημείο

. Η εφαπτομένη

του κύκλου (B)

στο σημείο

, τέμνει τον κύκλο (O)

στα σημεία P,Q

.

Δείξτε ότι η απόσταση του εγκέντρου

του τριγώνου PQB

από το

είναι σταθερή .

#2

KARKAR έγραψε:Με κέντρο το άκρο της διαμέτρου , κύκλου , γράφω τον κύκλο επί του οποίου - και στο εσωτερικό του - κινείται σημείο . Η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο , τέμνει τον κύκλο στα σημεία .Δείξτε ότι η απόσταση του εγκέντρου του τριγώνου από το είναι σταθερή .

$\bullet$ Έστω οι ορθές προβολές του έγκεντρου του τριγώνου $\vartriangle BPQ$ στις αντίστοιχα.

Τότε με το ύψος του τριγώνου $\vartriangle BPQ$ και την ακτίνα του περικυκλού του $\left( O \right)$ προκύπτει ότι ισογώνιες ως προς τις πλευρές
(γνωστή πρόταση) και με τη διχοτόμο της γωνίας $\angle PBQ$ προκύπτει ότι

$\angle OBE = \angle SBE\mathop \Rightarrow \limits^{BO = BS = R,BE = BE}$ $\vartriangle OBE = \vartriangle SBE \Rightarrow OK = SL$ (προβολές ομολόγων (ίσων) πλευρών) σε ίσες πλευρές

και από το ορθογώνιο (τρεις ορθές γωνίες) θα είναι $TE = SL = OK \Rightarrow \boxed{OK = TE = r}:\left( 1 \right)$ , με την ακτίνα του έγκυκλου $\left( I \right)$ του $\vartriangle BPQ$ .
[attachment=0]εγκεντροφόρος.png[/attachment]
$\bullet$ Από τα θεωρήματα των διαμέσων στο τρίγωνο $\vartriangle AEB \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} E{A^2} + E{B^2} = 2O{E^2} + \dfrac{{A{B^2}}}{2} \\ E{A^2} - E{B^2} = 2AB \cdot OK \\ \end{gathered} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{\left( + \right)}$

$2E{A^2} = 2O{E^2} + \dfrac{{A{B^2}}}{2} + 2AB \cdot OK\mathop \Rightarrow \limits^{AB = 2R,OK = r}$ $\boxed{2E{A^2} = 2O{E^2} + 2{R^2} + 4Rr}:\left( 2 \right)$ .

Από τον τύπο του Euler (απόσταση έγκεντρου – περίκεντρου τριγώνου) είναι:

$O{E^2} = {R^2} - 2Rr \Rightarrow 2O{E^2} = 2{R^2} - 4Rr$ $\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 2 \right)} \ldots 2E{A^2} = 4R{}^2 \Rightarrow \ldots \boxed{EA = R\sqrt 2 = ct}$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

Εγκεντροφόρος

Εγκεντροφόρος

Re: Εγκεντροφόρος

Μέλη σε σύνδεση