Καθετότητα!
Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Καθετότητα!
Έστω κύκλος με κέντρο και σημείο εκτός του. Φέρνουμε τις εφαπτόμενες και στον κύκλο. Στην προέκταση της παίρνουμε ένα σημείο .
Έστω το μέσο του και το σημείο τομής της και . Να αποδειχθεί πως .
Έστω το μέσο του και το σημείο τομής της και . Να αποδειχθεί πως .
Houston, we have a problem!
Λέξεις Κλειδιά:
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Καθετότητα!
Nice problem! Eλπίζω να προλάβω τα "τσιτάχ".
Έστω τα σημεία τομής του κύκλου από την ευθεία και ας είναι το μεταξύ των
Έστω τα σημεία και και έχουμε ότι η ευθεία ταυτίζεται με την Πολική ευθεία του σημείου ως προς τον κύκλο .
Επειδή τώρα, η ευθεία ως η Πολική ευθεία του σημείου ως προς τον κύκλο περνάει από το σημείο προκύπτει ότι το σημείο = ο Πόλος της ευθείας που περνάει από το ανήκει στην ευθεία = την Πολική ευθεία του σημείου ως προς τον .
Ισχύει
η ευθεία που συνδέει το σημείο με το κέντρο του κύκλου , είναι κάθετη στην Πολική ευθεία του ως προς τον ίδιο κύκλο . Από το πλήρες τετράπλευρο με έχουμε ότι η δέσμη είναι αρμονική, όπου
Η αρμονική αυτή δέσμη τέμνεται από την ευθεία και από προκύπτει ότι
Από και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
Έστω τα σημεία τομής του κύκλου από την ευθεία και ας είναι το μεταξύ των
Έστω τα σημεία και και έχουμε ότι η ευθεία ταυτίζεται με την Πολική ευθεία του σημείου ως προς τον κύκλο .
Επειδή τώρα, η ευθεία ως η Πολική ευθεία του σημείου ως προς τον κύκλο περνάει από το σημείο προκύπτει ότι το σημείο = ο Πόλος της ευθείας που περνάει από το ανήκει στην ευθεία = την Πολική ευθεία του σημείου ως προς τον .
Ισχύει
η ευθεία που συνδέει το σημείο με το κέντρο του κύκλου , είναι κάθετη στην Πολική ευθεία του ως προς τον ίδιο κύκλο . Από το πλήρες τετράπλευρο με έχουμε ότι η δέσμη είναι αρμονική, όπου
Η αρμονική αυτή δέσμη τέμνεται από την ευθεία και από προκύπτει ότι
Από και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
Re: Καθετότητα!
Εσένα μόνο ένας ενδέχεται να σε προσπεράσει αλλά αυτόν το καιρό περί άλλων τυρβάζει !vittasko έγραψε:Nice problem! Eλπίζω να προλάβω τα "τσιτάχ".
Κώστας Βήττας.
-
- Δημοσιεύσεις: 2770
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Καθετότητα!
Ας είναι οι ορθές προβολές του στις αντίστοιχα καιΔιονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Έστω κύκλος με κέντρο και σημείο εκτός του. Φέρνουμε τις εφαπτόμενες και στον κύκλο. Στην προέκταση της παίρνουμε ένα σημείο .
Έστω το μέσο του και το σημείο τομής της και . Να αποδειχθεί πως .
Καθετότητα!.png
Ισχύει ,
Αλλά
Έτσι, και σύμφωνα με το θεώρημα Στάθη Κούτρα
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Καθετότητα!
Γεια σου Μιχάλη με τα ωραία σου.Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε:... και σύμφωνα με το θεώρημα Στάθη Κούτρα
Αυτό το Θεώρημα "κόκκαλα δεν έχει και κόκκαλα τσακίζει".
Κώστας Βήττας.
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Καθετότητα!
Κύριε Κώστα, είχα σκεφτεί την ίδια λύση με μια μικρή παραλλαγή!vittasko έγραψε:Nice problem! Eλπίζω να προλάβω τα "τσιτάχ".
Έστω τα σημεία τομής του κύκλου από την ευθεία και ας είναι το μεταξύ των
Έστω τα σημεία και και έχουμε ότι η ευθεία ταυτίζεται με την Πολική ευθεία του σημείου ως προς τον κύκλο .
Επειδή τώρα, η ευθεία ως η Πολική ευθεία του σημείου ως προς τον κύκλο περνάει από το σημείο προκύπτει ότι το σημείο = ο Πόλος της ευθείας που περνάει από το ανήκει στην ευθεία = την Πολική ευθεία του σημείου ως προς τον .
Ισχύει
η ευθεία που συνδέει το σημείο με το κέντρο του κύκλου , είναι κάθετη στην Πολική ευθεία του ως προς τον ίδιο κύκλο .
Από το πλήρες τετράπλευρο με έχουμε ότι η δέσμη είναι αρμονική, όπου
Η αρμονική αυτή δέσμη τέμνεται από την ευθεία και από προκύπτει ότι
Από και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
Δεν φέρνω το σημείο . Έστω το σημείο τομής της και της .
Έχουμε πως η τετράδα () είναι αρμονική (γνωστό), άρα θα είναι και η δέσμη αρμονική.
Με άλλα λόγια θα είναι και η τετράδα αρμονική, δηλαδή και η δέσμη είναι αρμονική....
Houston, we have a problem!
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Καθετότητα!
Διονύση, πολύ ωραία.
Όντως, δεν μας χρειάζεται το σημείο , αφού άμεσα προκύπτει ότι τα σημεία και ανήκουν στην Πολική ευθεία του σημείου ως προς τον κύκλο οπότε έχουμε , γιατί οι Πολικές ευθείες τους περνάνε από το σημείο .
Κώστας Βήττας.
Όντως, δεν μας χρειάζεται το σημείο , αφού άμεσα προκύπτει ότι τα σημεία και ανήκουν στην Πολική ευθεία του σημείου ως προς τον κύκλο οπότε έχουμε , γιατί οι Πολικές ευθείες τους περνάνε από το σημείο .
Κώστας Βήττας.
Re: Καθετότητα!
Άλλη μία λύση, αφιερωμένη στον κ. Κώστα!
Από το φέρουμε παράλληλη στην που τέμνει την στο . Τότε η είναι αρμονική, άρα τα σημεία σχηματίζουν αρμονική τετράδα, άρα το ανήκει στην πολική του , άρα το ανήκει στην πολική του , άρα η είναι η πολική του και το ζητούμενο έπεται.
Από το φέρουμε παράλληλη στην που τέμνει την στο . Τότε η είναι αρμονική, άρα τα σημεία σχηματίζουν αρμονική τετράδα, άρα το ανήκει στην πολική του , άρα το ανήκει στην πολική του , άρα η είναι η πολική του και το ζητούμενο έπεται.
Σιλουανός Μπραζιτίκος
Re: Καθετότητα!
silouan έγραψε:Άλλη μία λύση, αφιερωμένη στον κ. Κώστα!
Από το φέρουμε παράλληλη στην που τέμνει την στο . Τότε η είναι αρμονική, άρα τα σημεία σχηματίζουν αρμονική τετράδα, άρα το ανήκει στην πολική του , άρα το ανήκει στην πολική του , άρα η είναι η πολική του και το ζητούμενο έπεται.
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Καθετότητα!
Σιλουανέ, με τιμάς ιδιαίτερα με την αφιέρωση και σ' ευχαριστώ πολύ.silouan έγραψε:Άλλη μία λύση, αφιερωμένη στον...
Έχω όμορφες αναμνήσεις από την συνάντηση μας πριν δέκα χρόνια περίπου στο ελληνικό AoPS, όπου είχαμε την ευκαιρία να συζητήσουμε ενδιαφέροντα γεωμετρικά προβλήματα.
Με είχε εντυπωσιάσει τότε, ο τρόπος που εσύ και η λοιπή παρέα ( ..., Κολλιόπουλος, Μόσχογλου, Παπαδημητρίου, Παππέλης, Ράπανος, Τσαρέας, ... ) που δεν έχω πρόχειρα όλα τα ονόματα, προσεγγίζατε τα προβλήματα με "εργαλεία" από το Συμπλήρωμα της Γεωμετρίας ( Θεωρήματα Μενελάου - Ceva, Αρμονικά συζυγή, Πολικές, Μετασχηματισμοί κλπ ), όπως το μαθαίναμε στα μαθητικά μου χρόνια ( δεκαετία του '60, στον περασμένο αιώνα... ).
Σήμερα, με ιδιαίτερη χαρά βλέπω ότι όλοι σας ( οι δεκαεξάρηδες τότε ), προοδεύετε στον τομέα που διάλεξε ο καθένας να ακολουθήσει και αυτό είναι καλό σημάδι για το Μέλλον, αν ελπίζουμε σε καλύτερες μέρες οι οποίες είναι σίγουρο ότι δεν θα έλθουν από την δική μας γενιά.
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Σιλουανέ και λοιποί φίλοι ανεξαρτήτως ηλικίας, δεν έχω μπροστά μου πολλές δεκαετίες και όπως έχω πει και αλλού, προσδοκώ την μέρα που θα με λέτε απλά, Κώστα.
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Καθετότητα!
Στο σχήμα του Μιχάλη , στο ίδιο σκεπτικό του λίγο συντομότερα . Με σημείο της διαμέσου του τριγώνουΔιονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Έστω κύκλος με κέντρο και σημείο εκτός του. Φέρνουμε τις εφαπτόμενες και στον κύκλο. Στην προέκταση της παίρνουμε ένα σημείο .Έστω το μέσο του και το σημείο τομής της και . Να αποδειχθεί πως .
και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες