Πού βρίσκεται το σημείο;
Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Πού βρίσκεται το σημείο;
Μπορεί να κάνω λάθος ως προς το φάκελο...
Έστω τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο. Φέρνουμε το ύψος . Έστω σημείο του μικρού τόξου . Που πρέπει να βρίσκεται το , έτσι ώστε αν η τέμνει την στο και την στο , το να είναι το μέσο του .
Έστω τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο. Φέρνουμε το ύψος . Έστω σημείο του μικρού τόξου . Που πρέπει να βρίσκεται το , έτσι ώστε αν η τέμνει την στο και την στο , το να είναι το μέσο του .
Houston, we have a problem!
Λέξεις Κλειδιά:
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13276
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Πού βρίσκεται το σημείο;
Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: ↑Σάβ Νοέμ 25, 2017 7:41 pmΜπορεί να κάνω λάθος ως προς το φάκελο...
Έστω τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο. Φέρνουμε το ύψος . Έστω σημείο του μικρού τόξου . Που πρέπει να βρίσκεται το , έτσι ώστε αν η τέμνει την στο και την στο , το να είναι το μέσο του .
Το ύψος με ορθόκεντρο του τριγώνου το ικανοποιούν τις υποθέσεις της άσκησης. Αρκεί να δειχθεί ότι δεν υπάρχει άλλο τέτοιο σημείο.
edit: Άρση απόκρυψης.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Σάβ Νοέμ 25, 2017 11:02 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: Πού βρίσκεται το σημείο;
Φέρνουμε το συμμετρικό τόξο του το οποίο τέμνει την στο και το τόξο στοΔιονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: ↑Σάβ Νοέμ 25, 2017 7:41 pmΜπορεί να κάνω λάθος ως προς το φάκελο...
Έστω τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο. Φέρνουμε το ύψος . Έστω σημείο του μικρού τόξου . Που πρέπει να βρίσκεται το , έτσι ώστε αν η τέμνει την στο και την στο , το να είναι το μέσο του .
λόγω της συμμετρίας και ως εγγεγραμμένες στο
και άρα
Επομένως όπου
Έστω εσωτερικό του τόξου και και
Ώστε πρέπει οι προβολές τους
Έστω (συμετρικό του L' προς AC )
Παρατηρούμε πως
Και άρα εσωτερικό της με
Eπομένως
Tώρα αν είναι εσωτερικό του τόξου τότε η προβολή είναι μεγαλύτερη της
αφού εξωτερικό του του χωρίου που ορίζουν ο τόξο το συμμετρικό του ως προς και το
Υ.Γ(1) Eλπίζω να μην μου έχει ξεφύγει κάτι .
Υ.Γ(2) Πως θα μπορούσαμε να αποδείξουμε πλήρως ότι
Έγινε διόρθωση : γωνία L'L''K' >90
τελευταία επεξεργασία από mikemoke σε Κυρ Νοέμ 26, 2017 12:02 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Πού βρίσκεται το σημείο;
Υπάρχουν 2 σημεία με αυτή την ιδιότητα...george visvikis έγραψε: ↑Σάβ Νοέμ 25, 2017 8:26 pmΔιονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: ↑Σάβ Νοέμ 25, 2017 7:41 pmΜπορεί να κάνω λάθος ως προς το φάκελο...
Έστω τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο. Φέρνουμε το ύψος . Έστω σημείο του μικρού τόξου . Που πρέπει να βρίσκεται το , έτσι ώστε αν η τέμνει την στο και την στο , το να είναι το μέσο του .
Το ύψος με ορθόκεντρο του τριγώνου το ικανοποιούν τις υποθέσεις της άσκησης. Αρκεί να δειχθεί ότι δεν υπάρχει άλλο τέτοιο σημείο.
edit: Άρση απόκρυψης.
Houston, we have a problem!
Re: Πού βρίσκεται το σημείο;
Μιας και υπάρχουν κενά στην δεύτερη παράγραφο παραθέτω περαιτέρω σκέψεις.mikemoke έγραψε: ↑Σάβ Νοέμ 25, 2017 10:45 pmΦέρνουμε το συμμετρικό τόξο του το οποίο τέμνει την στο και το τόξο στοΔιονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: ↑Σάβ Νοέμ 25, 2017 7:41 pmΜπορεί να κάνω λάθος ως προς το φάκελο...
Έστω τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο. Φέρνουμε το ύψος . Έστω σημείο του μικρού τόξου . Που πρέπει να βρίσκεται το , έτσι ώστε αν η τέμνει την στο και την στο , το να είναι το μέσο του .
λόγω της συμμετρίας και ως εγγεγραμμένες στο
και άρα
Επομένως όπου
Έστω εσωτερικό του τόξου και και
Ώστε πρέπει οι προβολές τους
Έστω (συμετρικό του L' προς AC )
Παρατηρούμε πως
Και άρα εσωτερικό της με
Eπομένως
Tώρα αν είναι εσωτερικό του τόξου τότε η προβολή είναι μεγαλύτερη της
αφού εξωτερικό του του χωρίου που ορίζουν ο τόξο το συμμετρικό του ως προς και το
Υ.Γ(1) Eλπίζω να μην μου έχει ξεφύγει κάτι .
Υ.Γ(2) Πως θα μπορούσαμε να αποδείξουμε πλήρως ότι
Έγινε διόρθωση : γωνία L'L''K' >90
Έστω τρίγωνο εγγεγραμένο σε κύκλο
Φέρουμε τόξο συμμετρικό του ως προς την χορδή
και ύψος ,
Παραπάνω δείξαμε ότι το ικανοποιεί και ότι ορθόκεντρο
1) Θεωρούμε περίπτωση κατά την οποία το είναι εσωτερικό του , όπου μέσον .
Τότε μπορεί να βρεθεί εντός ώστε με
και συμμετρικό ως προς .
Για κάθε εντός και εντός με
ισχύει ότι προβολή του στην είναι
και ότι η προβολή του στην είναι
Έτσι .Και άρα το ζητούμενο σημείο δεν βρίσκεται εντός
Aφού μπορεί να βρεθεί εντός ώστε με και συμμετρικό ως προς .
Ομοίως για κάθε εντός και εντός με ισχύει ότι η προβολή του στην είναι μεγαλύτερη του
Η διαδικασία συνεχίζεται και άρα για κανένα εντός δεν ισχύει το ζητούμενο.
Αυτό θα γινόταν αν
Γιατί όμως να γίνεται ή όχι κάτι τέτοιο;
Αν εντός τότε εντός
Τότε η προβολή του στην μικρότερη
και η προβολή του στη μεγαλύτερη
Άρα προβολή μικρότερη προβολής .
Άρα για κανένα εσωτερικό δεν ισχύει το ζητούμενο.
2) Υπάρχει περίπτωση όπου εντός . Τότε έστω με κέντρο του κύκλου και επί της ώστε .
Έχουμε .
Προκύπτει ότι τα ζητούμενα σημεία θα βρίσκονται εντός
To ένα είναι σίγουρα το το άλλο θα πρέπει να εντοπιστεί .
- Συνημμένα
-
- Σάρωση_20171126 (7).png (755.32 KiB) Προβλήθηκε 1294 φορές
-
- Σάρωση_20171126 (5).png (553.73 KiB) Προβλήθηκε 1294 φορές
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13276
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Πού βρίσκεται το σημείο;
Πράγματι υπάρχουν δύο σημεία.
σε εσωτερικό σημείο). Το πρόβλημα σηκώνει λοιπόν διερεύνηση και έχει από καμία έως δύο λύσεις. Εξαρτάται από το αν το τρίγωνο
είναι οξυγώνιο, ορθογώνιο ή αμβλυγώνιο και από το αν η είναι μικρότερη, ίση ή μεγαλύτερη από την
Το ένα προκύπτει από το ύψος και το άλλο από το σημείο όπου η μεσοκάθετος της τέμνει την (αν την τέμνει σε εσωτερικό σημείο). Το πρόβλημα σηκώνει λοιπόν διερεύνηση και έχει από καμία έως δύο λύσεις. Εξαρτάται από το αν το τρίγωνο
είναι οξυγώνιο, ορθογώνιο ή αμβλυγώνιο και από το αν η είναι μικρότερη, ίση ή μεγαλύτερη από την
Re: Πού βρίσκεται το σημείο;
Πρέπει και να αποδειχτεί ότι έχουμε το πολύ 2 λύσεις .george visvikis έγραψε: ↑Κυρ Νοέμ 26, 2017 5:46 pmΠράγματι υπάρχουν δύο σημεία. Πού;.png
Το ένα προκύπτει από το ύψος και το άλλο από το σημείο όπου η μεσοκάθετος της τέμνει την (αν την τέμνει
σε εσωτερικό σημείο). Το πρόβλημα σηκώνει λοιπόν διερεύνηση και έχει από καμία έως δύο λύσεις. Εξαρτάται από το αν το τρίγωνο
είναι οξυγώνιο, ορθογώνιο ή αμβλυγώνιο και από το αν η είναι μικρότερη, ίση ή μεγαλύτερη από την
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Πού βρίσκεται το σημείο;
Επαναφορά. Η άσκηση είναι δικής μου επινόησης (την αντιμετώπισα στα πλαίσια μια άλλης άσκησης). Για αυτό το λόγο δεν έχω δηλώσει καλά τους περιορισμούς. Λύση έχω για την περίπτωση που το τρίγωνο είναι οξυγώνιο και όταν AC>AB. Ας αφήσουμε λοιπόν προς το παρόν τη Γενίκευση.
Houston, we have a problem!
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Πού βρίσκεται το σημείο;
Αρχικά θα αποδείξουμε το εξής:
Λήμμα:
Έστω κύκλος με κέντρο και χορδές του και ώστε η χορδή να βρίσκεται μέσα στο μεγάλο τόξο . Οι δύο χορδές έχουν σταθερό μήκος, ενώ η χορδή ολισθαίνει πάνω στον κύκλο, ξεκινώντας με και καταλήγοντας με . Να αποδειχθεί ότι το γινόμενο θα μεγαλώνει συνεχώς μέχρι να γίνει και στη συνέχεια θα μικραίνει συνεχώς.
Απόδειξη:
Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρούμε πως ο κύκλος έχει ακτίνα .
Αν μια επίκεντρη γωνία του κύκλου και η αντίστοιχη χορδή, θα ισχύει . Αυτό προκύπτει εύκολα λαμβάνοντας υπόψη ότι στα ορθογώνια τρίγωνα που δημιουργούνται από το αντίστοιχο απόστημα θα έχουμε
Θα αποδείξουμε ότι όσο η γωνία μεγαλώνει, μέχρι να γίνει , θα μεγαλώνει και το γινόμενο . Στη συνέχεια είναι προφανές ότι για λόγους συμμετρίας το γινόμενο θα αρχίσει να μικραίνει.
Παρατηρούμε ότι και είναι σταθερού μεγέθους, άρα και είναι σταθερό.
Άρα και το άθροισμα είναι σταθερό.
Για λόγους ευκολίας και χωρίς βλάβη της γενικότητας θέτουμε: (με ).
Επίσης θέτουμε: και άρα . Αρχικά θα είναι και το θα μικραίνει συνεχώς μέχρι να μηδενιστεί όταν γίνει .
Έχουμε και .
Αρκεί λοιπόν να δείξουμε πως αν τότε θα ισχύει: . Έχουμε:
που ισχύει γιατί η είναι γνησίως φθίνουσα στο εξεταζόμενο διάστημα.
Υ.Γ.
Λόγω ώρας αύριο η συνέχεια στο αρχικό πρόβλημα
Λήμμα:
Έστω κύκλος με κέντρο και χορδές του και ώστε η χορδή να βρίσκεται μέσα στο μεγάλο τόξο . Οι δύο χορδές έχουν σταθερό μήκος, ενώ η χορδή ολισθαίνει πάνω στον κύκλο, ξεκινώντας με και καταλήγοντας με . Να αποδειχθεί ότι το γινόμενο θα μεγαλώνει συνεχώς μέχρι να γίνει και στη συνέχεια θα μικραίνει συνεχώς.
Απόδειξη:
Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρούμε πως ο κύκλος έχει ακτίνα .
Αν μια επίκεντρη γωνία του κύκλου και η αντίστοιχη χορδή, θα ισχύει . Αυτό προκύπτει εύκολα λαμβάνοντας υπόψη ότι στα ορθογώνια τρίγωνα που δημιουργούνται από το αντίστοιχο απόστημα θα έχουμε
Θα αποδείξουμε ότι όσο η γωνία μεγαλώνει, μέχρι να γίνει , θα μεγαλώνει και το γινόμενο . Στη συνέχεια είναι προφανές ότι για λόγους συμμετρίας το γινόμενο θα αρχίσει να μικραίνει.
Παρατηρούμε ότι και είναι σταθερού μεγέθους, άρα και είναι σταθερό.
Άρα και το άθροισμα είναι σταθερό.
Για λόγους ευκολίας και χωρίς βλάβη της γενικότητας θέτουμε: (με ).
Επίσης θέτουμε: και άρα . Αρχικά θα είναι και το θα μικραίνει συνεχώς μέχρι να μηδενιστεί όταν γίνει .
Έχουμε και .
Αρκεί λοιπόν να δείξουμε πως αν τότε θα ισχύει: . Έχουμε:
που ισχύει γιατί η είναι γνησίως φθίνουσα στο εξεταζόμενο διάστημα.
Υ.Γ.
Λόγω ώρας αύριο η συνέχεια στο αρχικό πρόβλημα
Houston, we have a problem!
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Πού βρίσκεται το σημείο;
Έχουμε το οξυγώνιο τρίγωνο με και έστω κάποιο σημείο του κύκλου ώστε . Έστω το σημείο τομής της με τον κύκλο.mikemoke έγραψε: ↑Κυρ Νοέμ 26, 2017 8:13 pmΠρέπει και να αποδειχτεί ότι έχουμε το πολύ 2 λύσεις .george visvikis έγραψε: ↑Κυρ Νοέμ 26, 2017 5:46 pmΠράγματι υπάρχουν δύο σημεία. Πού;.png
Το ένα προκύπτει από το ύψος και το άλλο από το σημείο όπου η μεσοκάθετος της τέμνει την (αν την τέμνει
σε εσωτερικό σημείο). Το πρόβλημα σηκώνει λοιπόν διερεύνηση και έχει από καμία έως δύο λύσεις. Εξαρτάται από το αν το τρίγωνο
είναι οξυγώνιο, ορθογώνιο ή αμβλυγώνιο και από το αν η είναι μικρότερη, ίση ή μεγαλύτερη από την
Παίρνουμε σημείο του κύκλου έτσι ώστε . Αφού είναι το μέσο του , άρα η δέσμη είναι αρμονική. Άρα το τετράπλευρο είναι αρμονικό και . Όμως το είναι ισοσκελές τραπέζιο με .
Άρα ισχύει και επειδή το γινόμενο είναι σταθερό, άρα και το παίρνει συγκεκριμένη τιμή, όποια κι αν είναι η πιθανή θέση του . Επίσης οι χορδές και έχουν σταθερό μήκος (), η χορδή έχει συγκεκριμένη θέση, ενώ η χορδή βρίσκεται στο μεγάλο τόξο με τη θέση του να καθορίζεται από τη θέση του . Όμως σύμφωνα με το λήμμα που προαναφέρθηκε το μπορεί να πάρει μια συγκεκριμένη τιμή το πολύ 2 φορές. Μία φορά όταν η χορδή βρίσκεται σε θέση πιο αριστερά από τη θέση που θα είχε αν ήταν και μία όταν βρίσκεται πιο δεξιά από αυτήν.
Στην περίπτωση του τριγώνου που εξετάζουμε υπάρχουν πράγματι 2 θέσεις. Είναι αυτές που εντόπισε ο κ. Γιώργος και μπορούμε να τις αναφέρουμε ισοδύναμα ως εξής: Η μία όταν και η άλλη όταν (αυτή ουσιαστικά απεικονίζεται στο σχήμα!). Η απόδειξη και για τις 2 είναι εύκολη.
Houston, we have a problem!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες