Καθετότητα με δύο παρεγγεγραμμένους
Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2
Καθετότητα με δύο παρεγγεγραμμένους
Έστω τρίγωνο και οι παρεγγεγραμμένοι του κύκλοι και . O εφάπτεται των , στα αντίστοιχα και ο των , στα αντίστοιχα. Αν οι , τέμνονται στο , να αποδειχθεί ότι .
Σιλουανός Μπραζιτίκος
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Καθετότητα με δύο παρεγγεγραμμένους
Εστω τα κέντρα των αντίστοιχα.
Από την ομοιότητα των τριγώνων
παίρνουμε
Αν είναι το ύψος του τριγώνου τότε ο Θαλής μαζί με την προηγούμενη
δίνει (1)
Εστω
Εύκολα βλέπουμε ότι τα τρίγωνα
είναι όμοια.
Ετσι έχουμε
Αλλά όπου η ημιπερίμετρος.
Αρα (2)
Αν τώρα
υπολογίζουμε όμοια ότι (3)
Τελικά οι (1), (2), (3) μας δίνουν ότι
και το ζητούμενο απεδείχθη.
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Καθετότητα με δύο παρεγγεγραμμένους
Έστω πως οι και τέμνουν την εξωτερική διχοτόμο της γωνίας του τριγώνου , η οποία είναι και διάκεντρος των κύκλων , στα σημεία . Ακόμα έστω πως η τέμνει την στο .
Παρατηρούμε πως
Όμως είναι , άρα αφού , προκύπτει ότι είναι εγγράψιμο.
Επομένως αφού , προκύπτει ότι .
Ομοίως προκύπτει ότι .
Έχουμε πως
Παρατηρούμε πως το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο. Ακόμη ξέρουμε πως , άρα προκύπτει πως .
Συνεπώς είναι , άρα είναι .
Ακόμη έχουμε πως (1)
Επιπλέον τα ορθογώνια τρίγωνα και είναι όμοια αφού
.
Επομένως (2)
Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι τα τρίγωνα και είναι όμοια, άρα , επομένως το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και αφού προκύπτει ότι .
Houston, we have a problem!
Re: Καθετότητα με δύο παρεγγεγραμμένους
Πολύ ωραίες οι λύσεις σας! Πριν παραθέσω την δική μου, να ρωτήσω: Υπάρχει σύντομη λύση στο παραπάνω πρόβλημα με το Θεώρημα Κούτρα;
Σιλουανός Μπραζιτίκος
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Καθετότητα με δύο παρεγγεγραμμένους
Χρησιμοποιώ προς το παρόν, το σχήμα του Διονύση πιο πάνω ( 3η δημοσίευση ).
Έστω τα σημεία και .
Στο ορθογώνιο τραπέζιο , από , σύμφωνα με το γνωστό Λήμμα που είδαμε πρόσφατα Εδώ, προκύπτει ότι
Από και και ομοίως, έχουμε
Από προκύπτει ότι το σημείο έστω ταυτίζεται με το ορθόκεντρο του τριγώνου
και επομένως, ισχύει
Έστω το σημείο και από το πλήρες τετράπλευρο έχουμε ότι η σημειοσειρά είναι αρμονική, όπου ( αντί του σημείου στο σχήμα ).
Από την αρμονικότητα της ως άνω σημειοσειράς, προκύπτει ότι λόγω .
Από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα έχουμε
Από
Από και άρα, ισχύει
Από και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
Έστω τα σημεία και .
Στο ορθογώνιο τραπέζιο , από , σύμφωνα με το γνωστό Λήμμα που είδαμε πρόσφατα Εδώ, προκύπτει ότι
Από και και ομοίως, έχουμε
Από προκύπτει ότι το σημείο έστω ταυτίζεται με το ορθόκεντρο του τριγώνου
και επομένως, ισχύει
Έστω το σημείο και από το πλήρες τετράπλευρο έχουμε ότι η σημειοσειρά είναι αρμονική, όπου ( αντί του σημείου στο σχήμα ).
Από την αρμονικότητα της ως άνω σημειοσειράς, προκύπτει ότι λόγω .
Από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα έχουμε
Από
Από και άρα, ισχύει
Από και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5948
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Καθετότητα με δύο παρεγγεγραμμένους
Γεια χαρά.
Έστω η επαφή του κύκλου με την και η επαφή του κύκλου με την Τότε προφανώς έχουμε (*)
οπότε το σημείο τομής των θα είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου
Ταυτόχρονα έχουμεQ
Άρα τα σημεία είναι συνευθειακά.
(*) Επειδή οι , είναι παράλληλες στις διχοτόμους των γωνιών και αντίστοιχα.
Έστω η επαφή του κύκλου με την και η επαφή του κύκλου με την Τότε προφανώς έχουμε (*)
οπότε το σημείο τομής των θα είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου
Ταυτόχρονα έχουμεQ
Άρα τα σημεία είναι συνευθειακά.
(*) Επειδή οι , είναι παράλληλες στις διχοτόμους των γωνιών και αντίστοιχα.
τελευταία επεξεργασία από S.E.Louridas σε Κυρ Οκτ 28, 2018 9:22 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Re: Καθετότητα με δύο παρεγγεγραμμένους
Αλλιώς:Αν το έκκεντρο και η προβολή του στην και
οι προβολές του στις ,λόγω του εγγράψιμου (απλό),θα είναι τα όμοια.Είναι ,δηλαδή και ,δηλαδή και επειδή τα είναι όμοια,δηλαδή και τα είναι (αντιστρόφως) όμοια,άρα είναι και ορθολογικά κλπ.
οι προβολές του στις ,λόγω του εγγράψιμου (απλό),θα είναι τα όμοια.Είναι ,δηλαδή και ,δηλαδή και επειδή τα είναι όμοια,δηλαδή και τα είναι (αντιστρόφως) όμοια,άρα είναι και ορθολογικά κλπ.
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Καθετότητα με δύο παρεγγεγραμμένους
Με η πρόταση είναι προφανής (λόγω συμμετρίας του σχήματος ως προς την μεσοκάθετη της
Έστω και ας είναι οι ορθές προβολές του και (το παράκεντρο) στην . Τότε από την προφανή ομοιότητα των τριγώνων και (παράλληλες πλευρές) για τις ομόλογες πλευρές και προβολές θα ισχύει:
Αλλά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί
Με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύεται αν
Στάθης
Υ.Σ. Θα επακολουθήσει μια τουλάχιστον ακόμα στοιχειώδης απόδειξη και ίσως και η απόδειξη με το περιώνυμο Θεώρημα
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Re: Καθετότητα με δύο παρεγγεγραμμένους
Με την παραπάνω σχέση για το
και 2 Μενέλαους στα με διατέμνουσες τις ,αρκεί,δηλαδή το οποίο τσεκάρεται απλούστατα.( το οποίο και λόγω κυκλικότητας των είναι ίσο με )
και 2 Μενέλαους στα με διατέμνουσες τις ,αρκεί,δηλαδή το οποίο τσεκάρεται απλούστατα.( το οποίο και λόγω κυκλικότητας των είναι ίσο με )
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Καθετότητα με δύο παρεγγεγραμμένους
Έστω και ας είναι το σημείο επαφής του παρεγγεγραμμένου κύκλου με την .
Προφανώς το είναι παραλληλόγραμμο (απέναντι πλευρές κάθετες στην ίδια ευθεία) οπότε οι διαγώνιες διχοτομούνται.
Είναι
Είναι και
Από παραλληλόγραμμο. Από τα παραλληλόγραμμα και που μοιράζονται την διαγώνιο προκύπτει ότι και είναι παραλληλόγραμμο (οι διαγώνιες διχοτομούνται) οπότε και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες