Πολύπλοκη καθετότητα

[george visvikis]

Πολύπλοκη καθετότητα.png (18.84 KiB) Προβλήθηκε 1549 φορές

Οι διαγώνιοι τραπεζίου τέμνονται κάθετα στο Έστω το συμμετρικό του ως προς

το μέσο της και οι προβολές των αντίστοιχα στην Αν η κάθετη από το στην τέμνει την

στο να δείξετε ότι

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Πολύπλοκη καθετότητα-1.png (20.61 KiB) Προβλήθηκε 1450 φορές

Θεωρούμε συμμετρία με κέντρο .

Το πάει στο και αφού , έχουμε ότι η είναι συμμετρική της .

Άρα το συμμετρικό του , έστω , είναι σημείο του .

Ξέρουμε πως το και είναι συμμετρικά. Άρα οι ευθείες και είναι συμμετρικές, δηλαδή παράλληλες, επομένως .

Η ευθεία έχει συμμετρική την . Αρκεί λοιπόν να είναι κάθετη στην .

Μετασχηματίζουμε το αρχικό πρόβλημα στο εξής ισοδύναμο:

Έστω τραπέζιο με τις διαγώνιές του να τέμνονται κάθετα στο . Φέρνουμε κάθετη στην . Έστω η τομή των καθέτων από τα στις και αντίστοιχα, οι οποίες τέμνουν τις και στα . Να αποδειχθεί πως το ανήκει στην .

Πολύπλοκη καθετότητα-2.png (31.48 KiB) Προβλήθηκε 1434 φορές

Αφού , έχουμε πως το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο με κέντρο ( είναι το μέσο του ).

Όμοια είναι και το εγγράψιμο σε κύκλο με κέντρο ( είναι το μέσο του ).

Έστω το δεύτερο σημείο τομής των κύκλων με κέντρα και . Έχουμε πως το είναι ο ριζικός άξονας των δύο κύκλων, άρα είναι .

Όμως , άρα .

Αφού είναι , έχουμε πως και τα σημεία είναι συνευθειακά. Άρα το ανήκει στο ριζικό άξονα των δύο κύκλων και ισχύει ότι , άρα το είναι εγγράψιμο

Αρκεί λοιπόν να αποδειχθεί πως και το ανήκει στο ριζικό άξονα των δύο κύκλων δηλαδή αρκεί:

, δηλαδή αρκεί το να είναι εγγράψιμο.

Αρκεί

Έχουμε πως

Όμως και

Άρα και το ζητούμενο έπεται.

[vittasko]

Από , έχουμε ότι το παραλληλλόγραμμο από το σημείο ως κοινό μέσον των διαγωνίων του είναι ορθογώνιο.

Παρατηρούμε τώρα, ότι οι δια των κορυφών του τριγώνου , κάθετες ευθείες επί των ευθειών πλευρών αντιστοίχως, του τριγώνου , συντρέχουν στο σημείο και επομένως τα τρίγωνα είναι Ορθολογικά.

Πολύπλοκη καθετότητα.

f=181_t=60909.png (22.56 KiB) Προβλήθηκε 1342 φορές

Προκύπτει επομένως, ότι και οι δια των κορυφών του τριγώνου , κάθετες ευθείες επί των ευθειών των πλευρών αντιστοίχως, του τριγώνου , τέμνονται στο ίδιο σημείο το οποίο ταυτίζεται με το σημείο , λόγω και .

Συμπεραίνεται έτσι, ότι η δια του σημείου κάθετη ευθεία επί την , περνάει από το σημείο και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

[ksofsa]

Νομίζω ότι έχω βρει λύση χωρίς να ισχύει απαραίτητα η καθετότητα των .

Απο το φέρνω παράλληλη στη που τέμνει την στο . Τα τρίγωνα όμοια γιατί
.
Εστω το ορθόκεντρο του και τα ύψη.

Εστω το ορθόκεντρο του και τα ύψη.

Αρκεί να δειχθεί ότι , ή ισοδύναμα .

Ομως, .

Οπότε, αρκεί ν.δ.ο. ή ισοδύναμα .

Ομως, .

Αρα, αρκεί ν.δ.ό.

Ομως, .

Αρα, αρκεί ν.δ.ό. , που προκύπτει από την ομοιότητα των .

Ενδεχομένως να μου έχει ξεφύγει κάτι.

[gbaloglou]

Πράγματι δεν απαιτείται η καθετότητα των , . Αυτό προκύπτει ΚΑΙ από λύση με Αναλυτική Γεωμετρία:

Θέτοντας , , , ΚΑΙ , έτσι ώστε η τομή των διαγωνίων του τραπεζίου να ανήκει στον άξονα των , προκύπτει ότι η τεταγμένη του είναι η : η τεταγμένη αυτή καθ' εαυτή ΔΕΝ μας ενδιαφέρει, θα μας χρειαστεί όμως η προκύπτουσα ισότητα .

Από την προκύπτει άμεσα ότι η τετμημένη του ισούται προς , οπότε από την προκύπτει (μέσω συντελεστών διεύθυνσης) η . Εύκολα προκύπτει τώρα ότι ο συντελεστής διεύθυνσης της ισούται προς και, λόγω της , προς . Δεδομένου ότι ο συντελεστής διεύθυνσης της ισούται προς , η ζητούμενη καθετότητα έχει αποδειχθεί.